何物造就了乐器？

张声语

7 j: j0 F* }5 L; G1 W9 o3 z' j5 g8 [原作：贱桥大学 Prof. Jim Woodhouse

翻译：上面那人他徒弟悲催小教主我
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, w# M% Q7 {8 J; s1 ~3 h- G特别鸣谢：感谢小蔡帮忙校对 ，感谢老肖帮忙捣乱

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) k8 |. L7 J' F+ k振动的“指纹”
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      并非所有东西敲打起来都好听。                                                   
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( X/ X1 g( m. W5 d* |$ _       许多东西被敲打起来都有声音，但大部分的东西并不会被用来奏乐---为神马呢？为了回答这个问题，我们将用涉及到拨动或者敲击造成的声音及逐渐衰减的振动理论来开始本文。简单讲，声音通常是由一系列会衰减的正弦波混合而成的，每个正弦波都与发振结构的一个特别的共振振型相对应，也就是我们要提到的“指纹”。为了给特定的声音一个特有的振动指纹，首先我们必须了解，正弦波具有以下三个特性：频率，幅度，和衰减速率（即阻尼）。频率，大概对应的是音乐的音高，幅度对应着响度，衰减速率则决定了发出的声音到底是“呯～（慢速衰减）”还是“嗙！（快速衰减）”。

: s' y# U# z1 K5 I% F3 p3 e       请听听下面这个包含了各种变化的衰减速率的例子（除衰减速率外其他参数保持一致）。发出三个声音的材质是由金属逐渐过渡到木头的:衰减速率的不同正是使这些不同的材料听起来各有特色的主要原因。
                  
                     
   

- u1 L9 }0 o; c  h: ~" |; G       对于任一个特别的物体而言，频率和衰减速率都是物体固定不变的属性。但幅度则是取决于怎样和在哪里敲击和拨动，所以它是可以被演奏者随意愿而改变的。(这种说法并不适用于弓弦乐器小提琴，它的弦振动是由弓进行持续的能量输入而引起的。这样的振动系统会更复杂，在这篇文章中将不再述及。如有兴趣，请参考《为何演奏小提琴如此之难？》一文中关于弓弦乐器的弦振动的阐述)

       我们先来看一个大家普遍认为可以用来演奏音乐的振动物体：一根拉紧的吉他或者钢琴弦。当你拨动或者敲击这根弦的时候，你总是听到一个有着明确音高的声音。音乐家们都熟知这点：这个音高，是由弦长，弦的张力，和弦的质量来决定的。那么，相对于敲响一个平底锅或者桌子，弦振动的发声有何特别之处？对于一根拉紧的弦，最简单的数学描述即揭示了振动频率的模式。一旦最低的那个频率（即基频）已经通过选择质量，张紧力和弦长被确定下来，弦的其他所有的振动频率都将是基频的整数倍：如果第一个频率为f，那么第二个将为2f，第三个为3f，而第n个即为nf。这些频率也被称为固有频率或者泛音。泛音依这个简单模式排成的序列被称作谐波序列：所以，一根绷紧的弦就有这样一些和谐的固有频率。
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        每一个泛音都伴随着一个特殊的振动模式，又称振型。一根振动的弦的头几个振动模式正如下图1所示：
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, z4 f0 H2 W5 V7 d                                                     
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                                                              图1：弦振动的头三个振动模态。
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谐波和非谐波

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( A2 W9 l: |( M. q/ j9 }5 t      泛音序列的和谐是一个很关键的特性：由经验得知，我们的耳朵和大脑会据此去识别那些由一系列很特别的谐波组成的声音，而且我们会描述它们为“一个固定的音高”。大部分振动的物体都有一些并不和谐的自然频率，所以它们没法产生固定音高。制作打击乐器的艺术和科学就正是要去控制这些自然频率，使它们（至少是一小部分）变得和谐。这一点已经被通过采用很多不同的聪明方法实现了。我们将会在本文中看到一些例子。

       不过在看这些例子之前，我们先来一起听一些声音样本，以验证泛音序列的和谐性是否正确。对于一个给定的振动指纹，即对于给定的频率，幅度和衰减速率，只需要一段很简单的电脑程序来创造其对应的声音：这个过程被称为加法合成，这也是电子乐器的基础之一。我们也可以用电脑反向操作这个过程：录制一段声音，然后将其分解成为各个正在衰减的正弦波来观察，到底是哪些频率存在其中以及它们之间是如何相关联的。（如想了解更多，可以参考我们对于音频软件工程师和计算机音乐研究人员的采访http://plus.maths.org/content/ca ... -music-researcher-0）
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8 t, W" y% L$ H2 a, x7 n       以下的声音样本都是由正弦波合成的。这里展现的是一个简单的音阶关系。所有声音样本都有相同的基频和同样的随频率变化的幅度变化模式。高阶泛音的模式则在每个样本里都不一样。（关于这些合成音的细节请参考http://plus.maths.org/content/details-synthesised-sounds）第一段声音A是模拟了一根吉他弦：有准确的谐波泛音，可被对比其他声音的参照基准。现在请听听这两组声音B/C和D/E并考虑一下，在每一组里哪一个声音相对来说更加悦耳一些。你会意识到四段声音中都有音阶关系，但如果你需要买一个用来弹奏的乐器，你可能会更偏向于选择B和E，而非C,D。
                        
                           



. S" A( i5 p: |+ w' h" w杆和木琴
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) k3 ^6 D# P7 I. h. A, S       自然频率的这种谐频序列可以解释我们的偏好。声音B和C都是由振动的杆发出的：B是常被用来做数学推导用的均匀杆，而C的频率特性则来源于一个被仔细调音过的木琴杆。相对于基频来说，B例中声音的固有频率们以如下倍数关系出现[1, 2.76, 5.40, 8.93, 13.34, 18.64, 24.82]，而C则为 [1, 3.96, 10.67, 19.17, 27.02]。两种情况的振动模态形状都很相似。以下是教科书上常提到的均匀杆的头几个振动模态：

                                      

& s7 p) d  c" |, b; D                                                         图2：杆振动的头三个振动模态。

       更多杆振动的模态请参考falstad网站（http://falstad.com/mathphysics.html）。

       那到底是什么造成了木琴杆的频率如此不同呢？答案是，制琴师削掉了杆下方的一部分木材。
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                                               图3：木琴，琴杆下的部分木材被削去了。

, _  u& I: \+ R; K       这种对杆的中心部分的削弱使得其最低频率变低了，同时也允许了第一和第二泛音的频率之间大致达到4:1 的比例。而教科书中通常用的均匀杆，则不可能有这样接近整数的泛音频率比。在谐频上这个小小的变动以足够让你体会到声音的不同，让木琴听起来更加的悦耳，虽然我们并不能使其达到完全准确的4:1。
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& q2 {, I& {" u: `/ ~5 s1 W加勒比海钢鼓
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      图4：加勒比海钢鼓。
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! ^, ~' l. a: O" O       声音D和E和另一种不同的打击乐器有关。声音D是基于另一种常被用来做数理推导的简单系统：一块边缘固定的平面矩形薄板。声音E则使用了从加勒比海钢鼓的声音测量得来的频率比。加勒比海钢鼓的声音都来自于一片薄钢板，但是这片钢板的细节都被制作者仔细地调整过，从而赋予了其头几个固有频率一个和谐的序列。相对于基频来说，D例中声音的固有频率们以此倍数关系出现[1, 1.88, 3.12, 3.35, 4.00, 5.41, 5.47, 6.65]，而E则为 [1, 2.00, 2.48, 4.01, 4.13, 4.98, 5.50, 7.58]. 请注意，E中的几个固有频率之比很接近 2，2.5, 4，5。

      钢鼓是近代才被发明出来的打击乐器之一，它有一段很有趣的历史（详情见http://www.rhythmicalsteel.com/history/history.html ）：因为持续的政治抗议，加勒比海岛殖民地上的奴隶们被禁止使用他们的传统乐器。所以他们学会了用其他废弃物品比如竹棍，空瓶子，还有饼干罐，来制作新的乐器。加勒比狂欢节正是因为这些新乐器的制作而创立。在二战末，驻扎在岛上的美军废弃了大量的空油桶。现代钢鼓就是借助于海岛奴隶之前用饼干罐和油漆桶来制作乐器的技术，利用这些空油桶经过多次的实验后发明出来的。

9 J. z# d1 M+ w       油桶的顶端会先被锤子敲击成碗状，然后再从碗的外侧不断用锤子敲击，从而围绕着弯曲的碗做成一些相对平整的补丁，由此形成独立的音。下图中，一位钢鼓制作师正在工作。
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                       图5：一位钢鼓制作师正在工作中。图中不同音符相对应的补丁区域显而可见。
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      这样的安排使得同一个油桶头部能产生很多不同的音。只发生在补丁处而并不向整个碗状扩散振动的振动模态也由此成为了可能。造成此的主要原因和瓦楞铁皮屋顶的原理类似：如果一片薄的铁皮被做成了波纹状以后，你再试图去把它向波纹的反向弯曲，会比扭曲一片平的铁皮要难很多。瓦楞铁皮的这种硬度导致振动在补丁边缘有了全内反射。这种密闭振动模式可以发生在任一个音符，而通过调整补丁的大小，形状，厚度分布，制作者便能创造出想要的和谐关系，从而发出好听的乐声。

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1 p/ N! t8 p& \5 x) }6 t* t7 e7 I. l调音鼓
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      钢鼓有时候也被称作鼓，但现在我们来说真正的鼓——用绷紧的膜作为振源的鼓。就和之前杆和平板的例子一样，一张理想的紧着平面圆膜也可以通过数学公式来分析其振动，从而推导出下图6中一系列的振动模态。如图所示，每个振动模态都有其固定的频率，而且这些频率之间并不是和谐相关的。所以一个简单的鼓（比如摇滚乐队的低音鼓），并不会拥有一个清晰的乐音。和之前的杆振动模态一样，如果想知道更多关于膜振动的详情，请参考falstad网站。

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图6：鼓的振动模态系列。各振动模态下的数字代表着相应的固定频率对基频的倍数：黑色代表理想平面圆膜，红色为定音鼓，蓝色则是塔布拉鼓。
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/ @4 L4 n, k4 s( S$ d! G3 I       由不同文化背景而来的两种不同技巧可用于将鼓的一些固有频率变得和谐相关。西方的音乐文化传统中，最为令人熟知的是定音鼓。在鼓膜的下方会有一个特别形状的碗状金属板，在这个金属碗里的空气运动将会使得固有频率们发生细微的改变，从而变得相互和谐。这些被调谐的频率关系正如上图所示。请注意并不是所有的最低模态都被调音过。上图中第一行模态里并不想要的声效将通过以下两种方法来消减。首先，你并不会敲击定音鼓的正中，而是要敲击更靠近边缘的地方。这样的方式更能激起调谐的振动模式而不是非调谐的。其次，请注意第一行的振动模态都会使得鼓内空气的体积发生变化。如果在金属碗的底部开一个小洞，这些振动模态的能量便会随着由于体积变化，空气从小洞进入和流出带来的空气摩擦力而损耗消散。


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1 i0 N: O3 S9 M6 z. W& I! C# I, N图7：塔布拉鼓。摄影：Lestat。
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* U8 u, ]3 \4 ^# Y1 a: v" C       另一种更加令人印象深刻的调音鼓则是来自于印度的塔布拉鼓（严格来说，塔布拉鼓是一对一起演奏的鼓，但是为了本文讨论方便，我们将只叙述其中的一只）。在其张紧的膜中间，塔布拉鼓拥有一个暗色的黑米圈。这个黑米圈是精心嵌入鼓面的粘土材料构成的，由其带来附加质量的分布改良了振动模态。所以经验丰富的调音师才能在低频振动模态之间得到一系列泛音关系，结果正如上图6中最后一组频率比所示。为了达到这个效果，需要使用100多片粘土薄片。

       通过下面的声音样本F,H和G，你可以比较这些没有调音过和调过音的鼓的声效。这些乐器的音阶听起来会有一点不自然，但是调音的效果已经很清晰地展现出来了。塔布拉鼓由于有如此之多的调谐模态以至于它的声音听起来更像声音样本A中弦发出的声音，而根本不像一只鼓！

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lucase

MATLAB画得真好

张声语

lucase 发表于 2013-3-18 05:43
MATLAB画得真好

) Q! C6 J/ c- f那是，之前还用matlab画了菊花送给老肖

PenPen

张声语 发表于 2013-3-18 06:25
/ f. _  }# l' e* `2 b那是，之前还用matlab画了菊花送给老肖

好有深意啊。。。

不爱吱声

好科普，给满分

猫元帅

文科生表示看不懂。说说自己的感受吧。
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/ b2 U! h* f, u/ v
快衰减需要短节奏来调和，慢衰减需要慢节奏来调和，这样在听觉上才会感到和谐悦耳。实际上和音高没有什么关系。

) n; j) p0 ~/ c" @, {( T. [5 e在实际应用中正好可以利用这个效果。比如我们说的“悠扬”“激昂”。或者反过来用，“听起来揪心”“躁动”。

夏雨

让小孩学小提琴是最大人的一种折磨和考验，太幸苦了。。。

如有神助

好高端

啸天犬

这里的知识和我以前接触的有相通之处，不过完全不是一个行业的知识

张声语

夏雨 发表于 2013-3-18 12:45
让小孩学小提琴是最大人的一种折磨和考验，太幸苦了。。。

' O5 k8 L2 N% x: }如果大人没有乐理基础也不会拉琴，小孩学琴对大人孩子肯定都比较折磨，实在太痛苦没必要死扛，说不定并不一定适合练这个，如果小孩是真的有兴趣，可以继续坚持下去，大概一年左右就会在听感上有好转

张声语

猫元帅 发表于 2013-3-18 09:48
文科生表示看不懂。说说自己的感受吧。

$ a/ U3 \6 m% ?6 }/ d- f
) F- i3 a  Z6 Y/ z5 r! T音高和悦耳程度之间的关系又不是我说的，心理声学已经做出相当多的实际实验有了相关的研究内容尤其是著名的图表了。而且听觉的悦耳程度本来变化就很大，音乐也不光取决于音高，还有节奏，还取决于听众本身的偏好，甚至可以说因人而异。怎样会觉得悦耳实际上是心理声学的研究范围，要通过大量心理测试实验，才能针对不同background的人取得不同的阈值。

猫元帅

张声语 发表于 2013-3-18 15:29
音高和悦耳程度之间的关系又不是我说的，心理声学已经做出相当多的实际实验有了相关的研究内容 ...

( D- B$ ]  J  ?2 b  S好像自相矛盾啊。
% M, p, U/ Y6 @8 r4 \2 i  B
又说因人而异又说可以经过大量的测试得到趋同的结果。

groovy26

lucase 发表于 2013-3-18 05:43
% h7 p2 Y+ ~" F% u' k8 rMATLAB画得真好

我也想说这个…

不打不相识

长知识了。

北京阿新

膜拜教主啊~~~

燕庐敕

猫元帅 发表于 2013-3-18 15:49
$ F  {6 I) n3 ?  c好像自相矛盾啊。
5 M; ?) h' }4 E$ Z" ]& {7 v- S
" ?5 F1 M( c2 H5 l  F2 t+ X9 t- `又说因人而异又说可以经过大量的测试得到趋同的结果。 ...

不会有趋同的结果，而是有不同的阀值。

燕庐敕

半个同行向你致意！

张声语

猫元帅 发表于 2013-3-18 15:49
& \4 w1 a' N, p. H& G  K5 J  R好像自相矛盾啊。

又说因人而异又说可以经过大量的测试得到趋同的结果。 ...

  t0 Y. H+ b% W我说的是阈值，不是一个同一的值或者平均的值，而是阈值，类似于一个最低门槛。而且这要建立在对objects仔细分类的基础上。不同组的objects得出的阈值相差也可能很大。

togo

受教。多谢。能否把木屋教授的东西多搬过来一些。
原来我们乐队的地鼓声音“咚、咚”的，后来往里面塞了一件棉大衣，踩出来的声音就成了“噗、噗”的，共鸣没有那么大了。这个是否就是衰减速率提高？

丁丁咚

就是说声音听上去和谐，是因为声音序列里面包含的音频是某基频的整数倍的原因？感情打造乐器的实质就是要使得一个实际物体具有类似简谐振子的频谱啊？