1. 欧氏描述 v.s 拉氏描述。

作为学习传统流体力学的人，有一个必需知道的常识，那就是当描述流体流动时，我们采用的是欧拉描述。与其对应的是在固体力学中使用的拉格朗日描述。

通俗的说，拉氏描述关注对象是物体，比如高中物理中的的神物-----斜坡上的小木块。而欧氏描述的对象是场，是空间位置，这个就比较抽象了，形象地说就是你研究一根水柱，你看到的其实是一个水柱形状的空间。当水流动时，这根水柱里的水（一群连续的质点）每时每刻都是不同的，但是空间是固定的（水柱状）。

这里要提醒，传统牛顿三定律都是拉氏描述，而且拉氏描述下的牛顿定律在低速条件下是普适的。

为什么会出现这两种不同的描述呢？

传统固体力学的对象是固体，方法是线性的。线性固体力学的对象是一群位置相对不变的连续质点，外部力向内部传递的方式是相对固定的（这是线性固体力学的小形变假设，没有这个假设，非线性固体力学和流体力学本质上是一样的），所以受力分析相对简单。也就是说，整个计算过程，我们关注的是某一个或者某一群质点，从头到尾我们都是在分析这群质点的受力。

而流体力学无法这样分析，因为流体的形变是很大的，当你对一坨流体做受力分析，实在太复杂。而且当你对不同形状的流体做受力分析，外部力向内部的传递方式是不一样的。因此，欧拉描述就有了大作用：与其关注一群质点，我关心的是一个固定的空间（控制体），不同的质点可以进出这个控制体，但是质量守恒与动量、能量平衡在控制体内必须得到满足：流经这个控制体的流体，在期间收到多少力，动量就改变多少；收到多少功、热量，能量就改变多少；而流进流出的流体质量必须守恒。换言之，我不关心某一个特定的质点了，我关心的是在某个时间点，位于某个目标位置的质点。质点A这一刻在我的目标位置，我研究它，下一刻它流到了一个我不关心的位置，而质点B流了进来，那我就研究质点B。受力分析无法运作了，因为你研究的质点时刻在变。

：为什么流体力学中没有Freebody Diagram （受力分析）这种东西？

对于质点的受力分析是拉氏描述特有的，欧氏描述不具备这样的特征。因为拉氏描述关注的是物体 （质点），欧氏描述关注的是空间 （控制体）。你的目标质点时刻在变，而你对空间本身做受力分析是木有意义的。

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从连续体力学和张量分析的角度，这两者是互通的。根据研究对象要求随时变换使用。

小形变或者无形变时，比如静止液体、等液面分析，拉氏描述是更占优的，因为它避开了NS方程中随流项带来的非线性从而使问题线性化，解决了解的存在性和唯一性问题。

流体力学的教材中，对欧氏描述介绍比较多

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2. 雷诺输运定理。

提到欧氏与拉氏描述，就必须要讲雷诺输运定理。简单地说，雷诺输运定理是连接拉氏描述与欧氏描述的桥梁。

直接摆公式：

等号左边是物质导数，拉氏描述。而等号右边，就是典型的控制体分析。用通俗的语言来说，就是：

物理量m的变化量=控制体内物理量m的当地变化量 + 物理量m流入/流出控制体的量。

很多人不理解为什么左边的d/dt项要在积分外而等号右边的d/dt（偏微分）项要在等号内。这其实也是拉氏与欧氏描述的差异与精髓所在。搞清这点，才算之真的对两种描述有了一定的认识。

正如之前所说，拉氏描述关注质点，那么等号左边的时间导数是针对某些特定的质点而言的，那么当时间变化，这些质点移动后，他们所在的位置是改变的，换言之，由这些质点组成的空间也是随时间改变的。所以，将时间导数放在积分号外，是因为拉氏描述下，对象空间也是随时间改变的，时间导数需要将空间的变化也考虑进去。而等号右边的时间导数，因为是欧氏描述，目标空间（控制体）固定， 所以空间不是时间的函数， 于是时间导数符合就放在了积分号的里面。

雷诺输运定理的重要性体现在其桥梁作用以及在欧氏描述下的普适性。传统流体力学的NS方程就是由雷诺输运定理结合牛顿三定律与质能守恒律推导出来的。

3. NS方程。

鉴于篇幅，只推导动量方程了，质量与能量方程请大家自己看教科书。

在之前说过，欧氏描述下的控制体分析，精髓在于流量守恒。对于一个固定的控制体，以质量为例，在没有源的前提下，流进和流出控制体的质量，必须是相等的。类似的还有动量与能量的平衡。