数学家刘绍学自传（转帖）

 

    按：数学家刘绍学先生是北京师范大学数学科学学院教授。刘先生专长代数学，文艺素养也极好，文章写得简洁而有趣味。本博转贴刘先生这篇自传，稍有删节。                                         

 

    我于 1929年11月6日出生在辽宁辽阳。“九一八”事件后随父母到北京，就一直生活在北京。

    我的大学生活是安静、单调、平平庸庸的。那时数学系课程很少，如线性代数、微分几何、概率统计、偏微分方程、泛函分析等，我在大学期间都没有学过。然而听 过许多名家的课，如傅仲孙、张禾瑞、段学复、王湘浩、闵嗣鹤、赵访熊、胡世华、秦元勋等。特别是傅仲孙先生的那种深挖教材，讲体会、讲联系的教学风格深深 地影响着我，我一生都在努力模仿他。

    自学是大学生活中的重要部分。至今仍能记得当年自学高木贞治的《解析概论》，弄懂了隐函数存在定理的证明时，自己的那种得意忘形的神情。更难忘的是，在 1948年的炎热暑假中，苦读硬译了吉田洋一的《实变数函数论》，我把译稿拿给闵嗣鹤老师（他当时教我们实变函数论）看，他细声细语，想说又好像不好意思 地说出的那两句表扬我的话。老师对学生说在心窝上的表扬是非常有分量的。我又记得，在莫斯科大学学习时，有一次向导师A.G.Kurosh汇报自己的论文 工作时，他对我说：“您要像这样乱用超限归纳法的话，您大概会给我带来很多‘漂亮'而‘杰出'的定理来。”现在想起当时的尴尬场面，仍有无地自容之感，然 而这却是使我受益终身的“骂声”。

    我第一次听到群的定义是师兄王世强在 1948年全系跨年级的学生讨论班上作的报告中。他一上台就在黑板上写下群的四条公理，然后就是一些天书般的语句。虽然我当时没弄懂什么是群，然而自学加上讨论班，使我对数学学习很自信了。我再也不怕数学了。我开始“怕”数学是1982年我已做了两年数学教授之后的事了。

    我于 1950年在北师大毕业后便留校工作一直到现在。新中国的成立和傅仲孙先生的厚爱，使我有机会于1953年9月去莫斯科大学学习。

    我的留苏生活（ 1953-1956）仍然是安静、单调、平平庸庸的学习生活。这实际上也是我这一生的生活模式，这该是我“少无凌云志，但求闲散心”的生活态度的自然结果。

    在国内留苏预备部中，我申请的学习方向是实变函数论。至今我也不清楚如何改成为近世代数的。我乐于接受这一改动，甚至今天想起来还有点后怕：若是我真的在苏联学起函数论来，不可想像现在的我该是一个什么样子。出国之前我曾在傅仲孙先生那里第一次学习近世代数课，用的是 G..Birkhoff和S.Mac Lane的《A Survey of Modern Algebra》，后来又听过张禾瑞在北师大讲体论。1950年起和袁兆鼎一起去北大听张禾瑞先生的代数的结构课以及参加他主持的代数讨论班，在那里认识了谢邦杰和张芷芬。1951年，张远达、袁兆鼎和我在北师大组织讨论班读E.Artin的小书《Rings with Minimum Conditions》。我是喜爱代数的，当时只是觉得函数更接近人间烟火，而群、环、域太远离尘世，为了更好地报效祖国，所以才选报了函数论方向。所幸没能实现。

    在导师 A.G..Kurosh指导下的三年（1953-1956）研究生生活中，有三件事印象深刻。第一次见导师时，就指定他1953年刚出版的书《群论》叫我 读。这是一本厚厚的、总结从有限群论向无限群论发展的著名的书。在之后的两个月里，我从头到尾地把它读下来了，对于数学中的“推广”以及代数中对“结构” 的研究有了感受。其次是，当确定我将在环论方面做论文时，我几乎细读或粗读了20世纪40年代以来的关于环的结构方面的所有论文，这些正是 N.Jacobson在其1956年出版的《Structure of Rings》一书总结的成果。去莫斯科前我最怕的就是做论文。然而读了这一批文章之后，我的感觉已是：熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟了。这种感觉当然是 “好极了”。第三件事是梦中得解。我曾猜想，局部有限代数借助局部有限代数的扩张仍是局部有限的，这命题对Jordan代数也应该是成立的，因为对交错代 数情形我已证明，对Lie代数情形虽然这命题确不成立，但我也已给出它成立的充要条件。但长时间冥思苦想这样一个小的具体问题，却始终不得其解。然而一天 夜里梦得一想法，喜醒时记下，第二天上午终得一证明。这是我一生中仅有的一次。

    Kurosh有他自己的科研想法，然而我从他那里学到的科研之道是：手中掌握一些研究对象（如结合环、Jordan环、Lie环、群等），还掌握一批结构 定理，在学习一些新的结构定理时，对它们作各种推广或平移到其它一些研究对象上。我一生就是在这个框架下写数学论文的：一方面不愁没有问题考虑，另一方面 自己也深知这样做是得不到有深度结果的。

    1956年获苏联副博士学位后，回国在北师大数学系继续工作。我的数学生活和我的同龄数学工作者该是类似的。具体说我的时间表如下：1956年学习代数 （环论）后回国，1958年就放下代数去搞实际问题，和学生们一起摇计算器，计算刘家峡水坝的应力。1959年回到代数，协助张禾瑞先生办了一个代数研究 班。半年后，班散课停，再搞实际问题，和学生们一起再摇计算器，计算北京电视塔的震动频率。1960年改搞计算数学。1962年北京龙王庙会议后又回到代 数。1964年我招第一个代数研究生漆芝南，并一起下乡搞四清。1965年和研究生一起回校念Lie代数。1966年至1976年是文化大革命。1979 年开始招代数硕士研究生。1979年成为教授。1981年成为博士生导师，1982年起招环论方向博士生。1999年我的最后一个博士生朱彬毕业。我也就 结束了我的数学教学生活。

    1982年开始指导第一位博士生罗运纶，使我在教书生涯中第一次感到不能胜任愉快了。这得从我的科研领域谈起。我搞代数三起三落，再加上我的闲散和满足， 使得在1978年起又重新搞代数时基本上还是从1956年我当时的那个水平出发。环的经典结构理论的基本框架就是Wedderburn结构理论及其各式各 样的推广。我的副博士论文就是对结合代数、Lie代数、Jordan代数以及交错代数的Wedderburn-Malcev型定理的推广，因而我对它是熟 悉的。然而我对1958年出现的Goldie定理、Morita对偶、等价理论以及后来的环（模）论中的同调方法就不熟悉了。这些在我1983年在科学出 版社出版的《环与代数》一书中可以清楚地看到。借助在环的结构理论中搞过一些科研的经历，如果说在教本科课和指导硕士生时，还有点胜任愉快感，在指导博士 生时我就力不从心了。我深知科研领域对博士生的重要性，我深知我熟悉的科研领域既纯又窄，像在沙漠中流淌的小河，对有漫长前程的年轻人不是一个好的科研方 向。为学生选择和我不太远又是好的领域，这使我真的怕数学了；数学是简单而确切的，弄懂它不太困难，但数学的单纯和精确使它比任何学科都走得更深更远，因 而理解它，特别是能在数学世界中具有洞察力和想象力，对我是高不可攀的事，选择领域谈何容易。在学习一些PI-代数和Torsion Theory，仍觉不合适而放弃后，我接触了一点代数表示论，又想起段学复先生的话（大意）：“只搞结构不搞表示，不够全面。”在没有太多可选择的情况 下，便贸然选定代数表示论。当然我对此领域的前途是没有把握的，但搞懂它是有信心的。学习曹锡华先生在华东师大取得的成功经验，我和四位刚入学的博士生一 起于1985年组织代数表示讨论班，苦读这方面的基本文献，同时又请来外国名家，如M.Auslander（美）、C.M.Ringel（德）、 I.Reiten（挪威）、V.Dlab（加）等在我们的讨论班作系列报告。近15年的坚持和努力，中国代数表示论小组终于得到国内代数界和国际代数表示 论界的肯定，站住了脚跟，还在1991年得到北京市高校优秀教学成果奖一等奖。当然我心里很明白，没有学生们的顽强努力，没有国际表示论俱乐部，特别是 Ringel教授的帮助和友情，我们的工作是做不好的。在代数表示论之后，我还曾提倡过微分算子环和Gr·bner基理论，应该说这也是从环轮能够转过去 的好领域。

    科研是我教学生活的一个有机组成部分。如果有人问：你搞的那些没有一点应用价值，也没有什么科学意义的科研，有什么用啊！我会理直气壮的回答：对我的教学 非常有好处，我的教学是非常离不开我的科研的。我这里指的不仅是研究生的教学，更是指我给大学生的教学。我几乎教过本科中的从解析几何、近世代数到偏微分 方程的所有课程，我在教学上对我自己的要求是模仿傅仲孙那样的讲体会、讲思路、讲来龙去脉。数学中的那些美妙的和谐、神奇的联系，常使人感到这不是人做出 来的数学，而是一种“神学”。应该承认，在课堂上有许多时候我是把数学作为“神学”硬着头皮搬给同学们的，对此我心中是有歉意的。多亏我的科研经历，它在 许多情形下帮助我理解或设计出书上的定理是如何在人们的手中试验、摸索和制作出来的。当学生们听着这样的讲述而面露会心微笑时，我最认识到自己科研的价值 和意义。

    我对自己的科研是有自知之明的：当一个人对数学世界的认识就像是只摸到大象耳朵的一小部分的话，那么它很难理解大象，更不用说帮助大象了。1950年前后 大学毕业而在北师大工作的人都认识到，要把在北师大创造一个好的科研气氛作为自己责无旁贷的责任。为了证明自己的“存在”，也为了创建科研气氛这些“世 俗”目的，在我时断时续的科研生活中曾硬着头皮强行做出和发表一些我自己也不太喜欢的文章。然而另外一些文章，它们虽是生长在数学世界边远地区荒芜园地上 的一些小草，由于是我亲手栽培的，我对它们是喜爱的和有感情的。人是要保持一点孤芳自赏的情趣的，否则生活会变得太缺少花色了。这种情趣鼓励我写出下面这 些结果来。

    在副博士论文 [3]（指论文目录中的3，下同）中，如前面已经说过，我证明了局部有限代数借助于局部有限代数扩张而得的Jordan代数仍是局部有限的。在此基础 上，K.A.Zhevlakov和我独立地证明了Jordan代数（环）的Levitzki根的存在性，这构成了由K.A.Zhevlakov、 A.M.Slin'ko、I.P.Shestakov和A.I.Shirshov这些Kurosh的学生们写的书：Rings that are nearly associative（俄文书、1978，英译本，1982）中第四章的主要结果。在[3]中我还证明了，局部有限代数借助局部有限代数扩张而得到的 Lie代数，如果它还是代数的Lie代数，则它必也是局部有限的。由此结果立刻可知：可解Lie代数是局部有限的。但我对此毫无感觉，而我的师兄也是我的 论文的审查人A.I.Shirshov却对我说：“这个结果可视为Lie代数中Burnside题型中的一个有趣结果，而你毫无反应，这一点在你的答辩会 上我是要骂一骂的。”1981年我在芝加哥访问时看到K.A.Zhevlakov和I.P.Shestakov的一篇文章On local finiteness in the sense of Shirshov，Alg. And Logic 12:1,(1973),其中在一页上引用我的论文[3] 5次，都是涉及上述两结果的。我当时的感觉是：在中苏关系很不好的情况下，这样多的让刘绍学的名字在自己的文章中出现，这只是为了向 Kurosh的唯一中国学生表示一下友好的感情。1989年在新西伯利亚和这些师侄们共同洒泪Shirshov墓前，是这种友谊的又一次宣泄。

    一个组合代数，如果它的每一个子代数都是理想，就叫做 Hamilton代数。我在[12]中给出了这种代数的完全刻画。美国人D.L.Outcalt把它推广到幂结合代数情形，而R.L.Kruse、D.T.Price的专著Nilpotent Rings（1969）把我的这个结果收入到他的第九章中。我喜欢它是因为它虽然简单，却是我第一个非推广非平移的结果。一步步摸索前进，最终得到结果的过程是使人非常愉快的。

    我们给出了有向图的路代数的同构定理 [25]和赋值图的张量代数的同构定理[38]。这样，例如关于有向图的几何研究就可归结为关于其路代数的代数研究。P.A.Grillet在Isomorphisms of stratified semigroup algebras,Comm. in Alg. Vol.22（1944）4417～4493一文中指出我们上述结果是仅有的两个关于半群代数的同构定理后，开始了他对半群代数的同构定理的系统研究。

    我们在 [31]中把群G-分次环A的Smash积A#G的概念推广到G是无限群的情形，并得到相应的对偶定理和上对偶定理。M.Beattie做了同样的事，证明方法不一样。她的文章是A generalization of the smash product of a graded ring,J.Pure Appl. Alg. 52(1988) 216～226。1988年后国际上出现很多讨论A#G而G是无限群的情形，并多引用Beattie的文章。实际上这两篇文章的主要结果是一样的。

    我和 Beattie等给出了分次本圆环的结构定理，其证法是平移Jacobson关于本原环的证明，再加上两个小引理，但结果是非常完整而漂亮的。我在一些场合报告几次，大家都很喜欢分次本原环的这个简明自然的刻画。之后，C.Nastasescu、J.L.Gomez Pardo在Topological aspect of graded rings,Comm. In Alg. 21(1993) 4481～4493中引之为例，对有限分次拓扑做了进一步的一般讨论。

    我的最后一篇文章是 1996年在巴西圣保罗大学访问和F.U.Coelho合作写出的Generalized path algebras，在西班牙的Murcia城召开的强调环论与代数表示论联系的国际代数会的会议录上刊出。见[57]。

    我在国内外的数学杂志上发表了 50余篇论文，获得过1988年度的原国家教委科技进步二等奖，获奖项目是“环的结构与表示理论”。

    “数学家”是一个美丽的称号，虽然它没有一个清楚的定义，但许多人都有一个自己的理解。我心目中对数学家有一个非形而上学的定义，我说不清楚，但我可以说“王世强是数学家，刘绍学是一个合格的教授，是一个好的数学教师，但不是我心目中的数学家。” 1999年在北京郊区龙庆峡那高山秀水的大自然美景中，我向袁向东谈起这个想法时，他是很感兴趣的。

    无论在校内外还是国内外，我始终生活在和谐愉快的代数俱乐部中。和数学名家、代数同行的交往，是我数学生活以及友谊生活中非常美丽的组成部分。这些是我经常重温而常重现的在我面前的宝贵镜头。

    在 1950年刚留校工作时，傅仲孙先生对我说：“助教是一个过渡的岗位，上不去的人就应该走开。”1955年在莫斯科，Kurosh对我说：“不能还是像大 学生那样按功课表学习，您是研究生了，您的主动学习在哪里？”我从未见张禾瑞先生在任何场合炫耀自己非常出色的博士论文，而段学复先生对我说过：“我钦佩 张禾瑞做学问的实实在在。”张禾瑞和Kurosh两位老师对周围的人友好和善，从他们身上我感受到教书育人的力量。师兄王世强的话：“凡事要经得住历史的 考验”这有时使我愧对人生，但却令我终身受益。我一生搞环论，也始终带着问题：环论有什么用？我不敢去问Kurosh，从在讨论班中我对他的理解，他一定 会是带着不屑的神情回答我：数学中不能谈问题的有用无用，只能谈这些问题有没有水平，修养高不高。在莫斯科做论文最困难的时候，我和师兄 A.I.Shirshov（后来的院士）谈及这个问题，他说：“对数学问题最需要的是，不搞出它来，你就觉得心里不舒服、难受、睡不着觉。”也许他这话对 我克服论文中的难关起过一点作用。1985年在奥地利的Krems参加根论会议，参观一个教堂时，我问起我同行的一位根论名家这个问题，他开始不知所措， 之后便说：“在我搞根论买了汽车又买了房子后，就再没有人向我提出这样的问题了。”后来偶尔有人问我这一问题时，我总是客观的转述上面意见而没有创造性的 回答，只是反复强调：搞环论研究无论如何对教学质量非常有好处。与此有关的是在20世纪90年代初，有一次在打完乒乓球漫步时，曹锡华先生对我说：“对范 畴定义和讨论Jacobson根（指我发表的文章[33]），有什么意思啊？”当时我还解释了几句，但事后一想，这除了证明我的“存在”外，也真的说不出 来有什么意义。

    1962年在颐和园龙王庙会议期间，万哲先学兄对我说：“搞经典群研究我们掌握一些基本手法和招数，你们搞环论的有哪些基本手法和招数？”问题提得很好。 大概因为我不明确（也许根本不存在）搞环论有什么手法，当然也就回答不上来。我在会议上介绍了范畴论后，万学兄对我说：“对这样的东西（指范畴），我感到 不知如何去搞它。”我当时却感到，对它还是可以下手去搞的。20世纪80年代，一次出数学竞赛题，我与华罗庚先生在他房间闲谈，他对我说：“国外把我说 （骂）成是玩矩阵的魔鬼……表面上你看我搞的是多复变函数、偏微分方程，实际上骨子里还是我的矩阵技巧。”联想到万哲先学兄的话以及1955年华先生在莫 大研究生宿舍和我们的聊天，当知道我是来苏学习代数的，他非常果断地说：“学代数不必出来，可以在国内学。”我清楚地看到，不同导师、不同领域、不同学术 观点对青年学生的影响是巨大的。也许先具体再抽象，先深入再宽厚，更适合年轻人的发展。与华、万的交谈，对我20世纪80年代转换领域是有潜在影响的。

    除了做了将近两年（ 1959-1961）的计算数学教研室主任外，我一直在北师大代数教研室。北师大的这方代数沃土是由傅仲孙先生开始，自1952年起在张禾瑞先生的主持 下，以后由王世强、郝鈵新、吴品三以及我等协助，经长期努力后形成的。张先生的书《近世代数基础》，以及与郝先生合写的书《高等代数》，奠定了北师大以及 高校代数教学的基础。张先生在20世纪50年代主持的几个代数研究班，还有进修班和本科，培养了许多代数人才，如湖南师大的李传和、陕西师大的雷天德、福 建师大的陈昭木、哈尔滨师大的周汝奇、张之凰、广西师大的程福长、河北师大的朱元森、山东聊城师院的杨子胥、上海师大的孔宗文、席德茗、北京师大的蒋滋梅 等等。他们在“文革”前是全国师范院校的教学骨干，“文革”后是培养环论方面硕士生的积极力量，培养出许多优秀学生。我是又高兴，又带有几丝惭愧地享受着 张先生营造的这个代数大家庭的温暖。张先生的这些学生以及其他代数同行组织了我在各地（哈尔滨、西宁、乌鲁木齐、屯溪、杭州、西安、桂林、大连、烟台等） 讲环与代数、群论等，有时是和吴品三、许永华、谢邦杰、曹锡华、丁石孙、冯克勤等中的一些人一起讲。从20世纪80年代初开始每两年一次，我和吴品三师兄 主持了顺序在江西师大（陈培慈）、扬州师院（方洪锦）、云南大学（王俊民）以及陕西师大（雷天德）召开的根论或根论环论学术会议。在最后一次会上，我是带 着一种误导青年学生进入根论的歉意说出了如下建议：“在既纯又狭、前途不太光明的根论中取得一些科研经验是好的，但不要在此领域久留，特别是年轻人要及时 开拓出路。”1991年秋在程福长教授的大力支持下，我和H.Tachikawa在桂林广西师大主持了第一次中日环论国际会 议，C.M.Ringel（德）、B.J.Müller（加）、M.Beattie（加）、李白飞、方圆、万哲先等也参加了会议。1992年在日本非正式 地出版了会议录。1994年夏在朱元森教授的大力支持下，我和朱在石家庄河北师大主持了国际根论与环论会议，来自11个国家的五十多人参加了会议。 1996年出版了这个会议的会议录[著作，8]。第二届日中环论会议已于1999年在日本开过，而第三届已变成韩中日环论会议而已于1999年5月在韩国 召开。1999年10月全国代数学术会议在北师大召开，北大的张继平和北师大的张英伯两位教授紧张筹备的。这次代数会喜逢周伯勋、曹锡华两位先生80寿 诞，又正好在我70岁生日的前夕，届时会议参加者也带来各地代数朋友们对我们生日的祝贺。生活在这样一个和谐友好的代数大家庭中，谁能不感到愉快和幸福 呢!

    20世纪90年代初，当张禾瑞先生培养的代数大集体由于成员的老化退休已渐衰落后，由我的学生们汇成的代数小家慢慢形成起来。我的19名博士生中有四人经 联合培养在国外取得博士学位：张英伯、林亚南、朱彬在德国，导师是Ringel，邓邦明在瑞士，导师是P.Gabriel。15名在国内取得博士学位，其 中郭晋云、彭联刚、章璞以及邓邦明还在Ringel教授的指导下获洪堡基金，肖杰获1997年国家教委“跨世纪优秀人才”基金，1998年国家杰出青年基 金。北师大的张英伯、肖杰以及川大的彭联刚和中国科技大的章璞已成为博士生导师，这使得全国有环论博士方向的学校从4个（南京大学、吉林大学、复旦大学和 北师大）增加到6个，不久郭晋云（湖南师大）和林亚南（厦门大学）也成了博导，届时这样的学校将会多起来。1997年川大组织第一次代数表示论讨论 班，2000年湖南师大将办第二届，20世纪80年代初张先生的学生组织讲学活动时，我是站着讲，20世纪90年代末我的学生组织学术交流时，我已是坐着 听了。这就是历史。

    我还享受着国际环轮大家庭的温暖。我们的一生没有追星族人的情感，只是向往着世人不感兴趣的数学家：能够和自己念过的书或读过的文章的作者见见面、聊聊 天、交往交往，那是非常愉快和有益的事，似乎还能帮助你理解数学。在国内我已接触过许多名家，特别是能和 20世纪50年代初代数四大名家——华罗庚、段学复、王湘浩和张禾瑞都有过面对面的亲切交谈。在苏联留学期间我接触了差不多所有的国内翻译出版的苏联教科 书的作者。∏.C.AлekcaдpoB在1956年全苏数学会的一个报告中讲道：“数学中有许多美的东西，美是不会失落的。”至今仍似看到他说话时的坚 定神态。20世纪50年代读环论文章时，对N.Jacobson、I.Kaplansky、S.A.Amitsur三位环论大家非常敬仰，改革开放后才有 机会和他们见面交谈。和Jacobson教授在北师大、新西伯利亚见过几次。有一个小插曲：一个朋友告诉我，Jacobson在南京大学讲学时，闲逛书 店，翻阅到我写的《环与代数》一书，凭借书中的一些外国人名，猜到书中的内容，并在课堂上推荐给大家。我在1981年访问芝加哥大学时，每星期都有一小时 固定时间和Kaplansky交谈。半年后临别时，我问他：环论似乎不是一个好方向，如果我想选择一个新方向，你有什么建议吗？他的回答简单而明确：你还 是搞环论吧！我理解为：50多岁的人了，改方向谈何容易。1989年6月我访问以色列时，在耶路撒冷J.S.Golan的家中见到了Amitsur夫妇， 一位身材不高的老人，和我从他的文章得到的印象是很不一样的：我想象中Amitsur该是一个很潇洒的人。

    1985年，我对欧洲的访问，对于我和我的学生们进入国际代数俱乐部非常关键。今日回想起来是一个稍纵即逝的难得机遇。我收到两封邀请信，一是比利时教授 F.Van Oystaeyen第二次邀我去比访问三个月（这是曾在比留学的师弟李文琦推荐的，Van Oystaeyen想邀一位中国代数学者访问比），一是R.Mlitz邀我参加在奥地利召开的国际根轮会议（他是查Math.Review看到许永华和我 的名字，向《数学学报》编辑部了解到通讯地址后向我们发出邀请的）。是年初，我突发较严重的心脏病，幸经人民医院胡恒慧大夫的精心治疗，住院三个星期，又 征得阜外心内科专家刘力生教授的同意，我才能“毅然”于五月份按期去欧访问。这次访问使我和Van Oystaeyen、Mlitz、C.M.Ringel（当时在德的陈家鼐除安排我对慕尼黑大学F.Kasch的访问，还替我和Ringel取得了联 系，Ringel邀请我去Bielefeld大学访问）建立了联系和友谊。他们三人顺序作为环论、根论、代数表示论的引路人使我进入相应的国际俱乐部。之 后我多次出国访问，去欧洲、北美、南美、日本、苏联等地，都是与这次访问有关的。

    Fred（即Van Oystaeyen）是一位热情、透明、正义、非常聪明的代数专家，有十多本专著、二百多篇论文，我和他也有合作文章[31]。当我第一次看到他和学生们 在咖啡馆谈笑中提出数学问题、解决数学问题时，是很感慨的；我们太习惯于在图书馆、在杂志堆中低头想问题了。我的英语是向Fred学的：无论在火车上、汽 车上、街道上，他总是把我当作英国人那样不断地、快速地、带着感情地说英语。这样，我好像也真的听懂了英语。我对Fred谈起，1984年以来我讲了 Torsion Theory的课，已编写四章的讲义。Fred对我说，Torsion Theory没有什么前程，不值得写这方面的书。这促使我放弃了这块鸡肋似的工作。1994年在石家庄的国际根论与环论会议上和J.S.Golan谈起他 的巨著Torsion Theories，Longman Scientific and Technical，Harlow（1986）时，我说，你的这本书可看作Torsion Theory这一分支的结束吧！看来他也同意这种说法。我和Fred共享我俩之间的美好友谊：我对他说，我们是“two heads with one mind”；他对我说，“I only complain about life to my very best friend(s).”

    Claus（即C.M.Ringel）可以说是上帝在我们转变科研方向的困难时期给我送来的“援助”朋友。我六次去德，他六次来华，虽相隔万 里，但自1985年至1999年几乎每年都见面。Claus热情、勤奋、正义、善解人意，对中国有一种特殊的感情，除上面已提到的，我有三名博士生在他指 导下获德国博士学位，有四名学生在他接受下成为洪堡基金获得者外，还经常邀请我的学生们去访问或参加国际会议。自1990年以来每年都有我的两三个学生在 他那里。1997年-1999年在“大众汽车”的资助下，在Claus和我的主持下有一个德中代数表示论学术交流三年协议，这使得我们的交流更加密切而富 有成果。1998年9月，我和我的15名学生居然同时在德国Bielefeld大学参加Claus主持的一个代数表示论国际会议。中国代数表示论小组的所 有文章都和Claus的工作有关，他所引入的Hall-Ringel代数和倡导的拟遗传代数在中国得到充分的发展，国际代数表示论系列会的第九次会议在 2000年召开，又是20世纪末，且是联合国命名的数学年，所以大家都对在2000年开的这次会很看重。波兰同行很希望承办这个会。看得出，Claus经 过多方协调，冒着得罪波兰同行的危险，最后在1996年在挪威召开的领导小组会上决定委托我在中国组织这个会，并接受我为该系列会的顾问委员会的成员。我 当时在匈牙利，事后得知，我受宠若惊，没想到中国代数表示论集体和我本人能够享此殊荣（第9届国际代数表示论大会（JCRA）于2000年在北京师范大学 召开）。从这里我再一次看到，Claus对中国的情感，对我们小组的支持，以及对我本人的友谊。

    1987年在苏黎世，P.Gabriel陪我去看列宁曾住过的房子，路上谈起科研时说：“搞科研好办，自己去做就是了。学习别人的东西是困难的。”这和我 对科研和念书的感觉刚好是相反的。记得1982年在芝加哥，I.Kaplansky对我强调的是：“一定在搞科研的同时学习一些与你的科研题目不同的知 识。”这使我理解了，为什么他的路愈走愈宽。1994年，M.Auslander在挪威去世前，他和I.Reiten和C.M.Ringel参加在南开大 学举行的中国数学代数年的讲学活动。他在兴致勃勃地讲完课后，在去饭厅的路上非常安详自然地对我说：“我有前列腺癌，没有多少时间了。”也还是在这次相聚 时谈起数学来，他说：“你相信有限单群的分类定理是已经被证明了吗？”这突然的问题使我张口结舌：人们太习惯于少数被尊重的权威说对的事就是对的这样一种 规则了。还是在南开，我和Auslander、Reiten在一起时谈到他俩发现的AR-叙列时，他说：“我们最初发现它时，并没有派上用场，但对这样一 个有特性的叙列，我们确信它一定是有用场、有力量的。”现在大家都清楚，AR-序列是研究模范畴结构的好工具，是代数表示论的命根子。大约是1990 年，S.Montgomery陪她的丈夫在北大访问时，在北大的外宾接待室中我们一起回忆了她的老师I.N.Herstein之后，她对我说：“如果再重 新开始搞代数的话，我会选择代数几何的。”看起来不止一位环论专家都向往着博大精深的代数几何。看起来，搞代数的人不把自己的工作和Lie理论联系起来， 或者和代数几何联系起来，是不太会被人看重的。1993年，D.Passman开车把我从Madison送到Iowa去访问K.Fuller。我和 Fuller谈起环论在美国和中国不太被重视，像Fuller这样的环论专家在美国是得不到基金的。他对我说：“我搞环论，就是为了告诉后人，这几个问题 已有人解决了，你们可以不必搞了。至少这个目的是可以达到的。”我是带着同情和怅然的心情听他这样谈论自己的科研的。1988年在日本 H.Tachikawa开车带我去了Tsukuba山玩，在途中我向他提出召开中日环论学术会议的建议，他欣然同意，并说：“日中合作起来是可以和欧洲 （在环论方面）抗衡的。”我很赞赏他的这种心态，但同时我也感到惭愧：我想到的只是中日交流而已。应该承认，在国际交流中，在考虑一些问题中，在我心灵上 总有一些穷、弱、殖民地式的阴影，挥之不去。其实想想，特别是改革开放以来，国家走向富强，我们也已有了一个想吃什么就能吃什么的生活，但在我身上这种劣 根性的阴影，总是挥之不去，特别是在西方学者面前。1989年，在新西伯利亚召开的纪念A.I.Malcev的国际代数会上，遇到Rings that are nearly associative一书中的在世的两位作者A.M.Slin'ko和I.P.Shestakov，他们都是Shirshov的学生，见到我这位“师 叔”分外亲热。我向Shestakov提起他文章中引用我文章的事，他说：“那不仅是为了友谊，你的（副博士）论文是作为必读文章来学习的（该是指有关局 部有限性质的那部分，其余都是实质上照抄别人的证明的形式推广之作，不会被要求必学的）。那时就觉得你很亲近，是自己人。”群众的眼睛是雪亮的，我的被引 用的几篇文章都是我花费了心思，自己感到有一点新意的东西，那些照抄别人证明而得点“新”结果的文章，虽然也发表了，甚至是在不错的杂志上发表的，也是无 人问津的。

    学代数的人要有一点孤芳自赏的情趣，同时也需要同行们的鼓励，否则生活就太缺乏色彩了。我一生中永远忘不了我的中国、德国、挪威、比利时、美国、俄罗斯、 巴西、西班牙、日本、加拿大、匈牙利、墨西哥等国家的代数同行们，以及我的学生们对我的鼓励：“一个在环论上已经站住脚而在 56岁的时候和学生们一起转攻代数表示论，是值得敬佩的。”“在中国创建一个坚强有力的代数表示论集体，是有意义的，是难得的。”这些都是私下里说的（不 是在报奖或提职的推荐信上说的），在面对面的个人聊天中说的，很真诚，很美丽，我从中得到巨大的力量与难得的生活乐趣。

    最后应该补充的是：我在 1979年加入中国共产党。曾任《代数年刊》、《数学进展》、《数学季刊》的编委，《数学进展》的副主编，《数学通报》的副主编和主编，《高等数学研究》 的名誉编委，湖南教育出版社《中学生数学视野丛书》的主编。曾任国家教委高校教材编审委员会数论代数小组的副组长，北师大数学与数学教育研究所所长。还曾 在莫斯科大学当过中国留学生体育班长。

    还该补充一点的是：我于 1996年冬至1997年夏一气呵成的为大学数学系本科写了一本教科书《近世代数基础》。这是我写的唯一一本大学生教科书，它反映着我对这门课的内容和教 学的理解，可以说用尽了我的心思。此书作为九五国家重点教材、面向21世纪丛书中的一本，于1999年由高教出版社出版。我现在以一种考生等着发榜的心情 期待着读者和教师们的反应。

                                                              1999年