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多年前关于欧式几何的困惑
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注：成为一个现代人，除了敏锐的思维和对本质的理解外，对工具和流程的重视也是不可忽视的一方面。
牛顿在他的著作《自然哲学之数学原理》的序中写到：「从那么少的几条外来的原理，就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣」（It is the glory of geometry that from so few principles, fetched from without, it is able to accomplish so much）。二千年间，千千万万的人通过《几何原本》的逻辑训练，从而迈进科学的殿堂，可惜的是，中国人对此却一无所知。
若干年以前，当我还是一个学生的时候，就对欧式几何非常不解，当年教我的老师是一个像王志文一样的青年才俊，他也没说清楚。当时由于父母的逼迫老是跨越式学习，考试的时候出了这么一件事情，就是我用后面学到的定理证明了前面提出的问题，老师给我吃个零蛋，但是我一直不知道所以然。
后来上大学的时候，教我们数学的是我们学院的副院长，老师不是那种死板的老师，曾经批评教科书上的一些错误，并给出了自己的证明。副院长还经常到社会上捞外快，记得一次他跟我们说，他接了一个活，忙活了3天，挣了22万。具体详细的数据记不清了，我只是想说这些老师都不是死读书的人。
不过对于欧式几何这一套东西，却没人给我讲透。我是一个迟钝的人，时常不开窍，也希望诸位不要笑话我。
但是我找不到一本科普书籍，可以讲解我心中的疑问。
其实真说透了也简单，
几何学是从制造器皿、建筑、土地测量等实际问题中产生和发展起来的。石器时代的原始人，已懂得将石器制造成较有规则的几何形状。例如在北京西南周口店的猿人遗址中发现的五十万年前的石器、在山西省襄汾县丁村发现的几万年前的球形石块均证明了这一点。随住人类文明的进步，人们不但关心物体的形状，他们还对物体的大小有具体的要求，这就需要懂得测量及计算长度、面积和体积。这导致一些几何计算公式的出现。对巴比伦、古埃及或中国古代数学文化有认识的人都知道，这些几何公式并不像现代的教科书般以「定义—定理—证明」的方式写出来，而往往是隐藏在例题中。那时的人似乎不重视证明，公式很多时候是靠经验或实验得出的。正因为这个原因，那些公式有时只能给出一个近似的答案。例如巴比伦人以 A = c2/12（其中 c 为圆周长）作为圆面积的公式，从现代人的角度来看他们取 3 为 p 的近似值。
在《几何原本》出现之前，许多希腊数学家已做了大量的前驱工作，这些工作大都建立在实验之上而没有严格的证明。（既使是二千年后的今天，很多重要的数学结果最初出现时都没有完整的证明。）欧几里得提倡的公理方法，是一种用来证明命题正确的方法。它不但可以证明命题的对确性，往往可以给出一般的结果。举个例说，埃及人早就知道以3、4、5为边长的三角形是直角三角形。希腊人却可以证明若一个三角形的三条边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 的话，那必定是一个直角三角形。若试图用实验的方法去验证这个结论，便需要无限次的实验，这显然是不可行的。
到底什么是公理方法？试想象你现在要说服其他人命题 P1 是正确的，一个很自然的做法是找出一个你认为大家都会同意的命题 P2，再由 P2 推论出原来的 P1。若大家对 P2 仍有怀疑的话，你便会找出一个比 P2 更简单的命题 P3，然后由推出 P2……如此类推，直至到达一个人所共知的命题 Pn，你便无需要再解释了。
倘若你不能达至一个人所共知的命题，你便会陷入一个无限倒退的困境。公理方法的精神就是要避免这种困境，所以我们定下两条规则：
规则一
接受某些被称为「公理」或「公设」的命题，对于这些命题我们无需要作任何证明。
规则二
同意何谓「P ==> Q」，即协定一些推论法则。
欧几里得的成就在于他精心选出 10 条公理，然后从这些公理出发证明了 465 个命题。这些命题当中，有部份（例如毕氏定理）是绝对不明显的。区区 10 条公理，便反映了欧几里得对这个世界的理解，便解译到千变万化的几何现象，这确实令人感到惊叹！
欧几里得采纳了 Aristotle 对公设和公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何。
Aristotle 说公设无需一望便知其为真，但应从其所推出的结果是否符合实际而检验其是否为真。Proclus 甚至把全部数学都说成是假设性的，就是说，它只是推导根据假定所必然得出的结论，而不管假定是否为真。
公设
1、从任一点到任一点作直线[是可能的]。
2、把有限直线不断循直线延长[是可能的]。
3、以任一点为中心和任一距离[为半径]作一圆[是可能的]。
4、所有直角彼此相等。
5、若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
公理
1、跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
2、等量加等量，总量仍相等。
3、等量减等量，余量仍相等。
4、彼此重合的东西是相等的。
5、整体大于部分。（注：当集合内有无限个元素的时候，该公理的正确性有待讨论）
这又是个鸡巴什么玩意，我勒个去，呵呵
其实这出自亚里士多德的《后分析篇》，呵呵，不熟悉是不是，不过亚里士多德的另一本书《工具论》，大家应该很熟吧，《后分析篇》就是《工具论》中的一篇。
《工具论》是亚里士多德所著的6篇逻辑著作的总称。公元1世纪由亚里士多德学派的安德罗尼科编辑出版。
亚里士多德学派的逻辑学家认为逻辑不属于理论知识，也不属于实际知识，而是一种认识的工具，因此，这6篇逻辑著作被总称为《工具论》。
《工具论》中的6篇逻辑著作是:《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》和《辨谬篇》。《范畴篇》讨论范畴；《解释篇》主要讨论命题；《前分析篇》是亚里士多德最重要的逻辑论著，主要讨论三段论；《后分析篇》论述证明、定义、演绎方法等问题；《论辩篇》讨论“论辩的”推理；《辨谬篇》揭示和分析各种谬误和诡辩，并提出反驳的方法。
用现代数理逻辑的观点解释亚里士多德的三段论，看这一本商务印书馆的《汉译世界学术名著丛书——亚里士多德的三段论》
入门资料：《几何原本》第一卷的定义与公理
http://www.mathdb.org/articles/elements/c_elements.htm
牛顿在他的著作《自然哲学之数学原理》的序中写到：「从那么少的几条外来的原理，就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣」（It is the glory of geometry that from so few principles, fetched from without, it is able to accomplish so much）。二千年间，千千万万的人通过《几何原本》的逻辑训练，从而迈进科学的殿堂，可惜的是，中国人对此却一无所知。
若干年以前，当我还是一个学生的时候，就对欧式几何非常不解，当年教我的老师是一个像王志文一样的青年才俊，他也没说清楚。当时由于父母的逼迫老是跨越式学习，考试的时候出了这么一件事情，就是我用后面学到的定理证明了前面提出的问题，老师给我吃个零蛋，但是我一直不知道所以然。
后来上大学的时候，教我们数学的是我们学院的副院长，老师不是那种死板的老师，曾经批评教科书上的一些错误，并给出了自己的证明。副院长还经常到社会上捞外快，记得一次他跟我们说，他接了一个活，忙活了3天，挣了22万。具体详细的数据记不清了，我只是想说这些老师都不是死读书的人。
不过对于欧式几何这一套东西，却没人给我讲透。我是一个迟钝的人，时常不开窍，也希望诸位不要笑话我。
但是我找不到一本科普书籍，可以讲解我心中的疑问。
其实真说透了也简单，
几何学是从制造器皿、建筑、土地测量等实际问题中产生和发展起来的。石器时代的原始人，已懂得将石器制造成较有规则的几何形状。例如在北京西南周口店的猿人遗址中发现的五十万年前的石器、在山西省襄汾县丁村发现的几万年前的球形石块均证明了这一点。随住人类文明的进步，人们不但关心物体的形状，他们还对物体的大小有具体的要求，这就需要懂得测量及计算长度、面积和体积。这导致一些几何计算公式的出现。对巴比伦、古埃及或中国古代数学文化有认识的人都知道，这些几何公式并不像现代的教科书般以「定义—定理—证明」的方式写出来，而往往是隐藏在例题中。那时的人似乎不重视证明，公式很多时候是靠经验或实验得出的。正因为这个原因，那些公式有时只能给出一个近似的答案。例如巴比伦人以 A = c2/12（其中 c 为圆周长）作为圆面积的公式，从现代人的角度来看他们取 3 为 p 的近似值。
在《几何原本》出现之前，许多希腊数学家已做了大量的前驱工作，这些工作大都建立在实验之上而没有严格的证明。（既使是二千年后的今天，很多重要的数学结果最初出现时都没有完整的证明。）欧几里得提倡的公理方法，是一种用来证明命题正确的方法。它不但可以证明命题的对确性，往往可以给出一般的结果。举个例说，埃及人早就知道以3、4、5为边长的三角形是直角三角形。希腊人却可以证明若一个三角形的三条边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 的话，那必定是一个直角三角形。若试图用实验的方法去验证这个结论，便需要无限次的实验，这显然是不可行的。
到底什么是公理方法？试想象你现在要说服其他人命题 P1 是正确的，一个很自然的做法是找出一个你认为大家都会同意的命题 P2，再由 P2 推论出原来的 P1。若大家对 P2 仍有怀疑的话，你便会找出一个比 P2 更简单的命题 P3，然后由推出 P2……如此类推，直至到达一个人所共知的命题 Pn，你便无需要再解释了。
倘若你不能达至一个人所共知的命题，你便会陷入一个无限倒退的困境。公理方法的精神就是要避免这种困境，所以我们定下两条规则：
规则一
接受某些被称为「公理」或「公设」的命题，对于这些命题我们无需要作任何证明。
规则二
同意何谓「P ==> Q」，即协定一些推论法则。
欧几里得的成就在于他精心选出 10 条公理，然后从这些公理出发证明了 465 个命题。这些命题当中，有部份（例如毕氏定理）是绝对不明显的。区区 10 条公理，便反映了欧几里得对这个世界的理解，便解译到千变万化的几何现象，这确实令人感到惊叹！
欧几里得采纳了 Aristotle 对公设和公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何。
Aristotle 说公设无需一望便知其为真，但应从其所推出的结果是否符合实际而检验其是否为真。Proclus 甚至把全部数学都说成是假设性的，就是说，它只是推导根据假定所必然得出的结论，而不管假定是否为真。
公设
1、从任一点到任一点作直线[是可能的]。
2、把有限直线不断循直线延长[是可能的]。
3、以任一点为中心和任一距离[为半径]作一圆[是可能的]。
4、所有直角彼此相等。
5、若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
公理
1、跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
2、等量加等量，总量仍相等。
3、等量减等量，余量仍相等。
4、彼此重合的东西是相等的。
5、整体大于部分。（注：当集合内有无限个元素的时候，该公理的正确性有待讨论）
这又是个鸡巴什么玩意，我勒个去，呵呵
其实这出自亚里士多德的《后分析篇》，呵呵，不熟悉是不是，不过亚里士多德的另一本书《工具论》，大家应该很熟吧，《后分析篇》就是《工具论》中的一篇。
《工具论》是亚里士多德所著的6篇逻辑著作的总称。公元1世纪由亚里士多德学派的安德罗尼科编辑出版。
亚里士多德学派的逻辑学家认为逻辑不属于理论知识，也不属于实际知识，而是一种认识的工具，因此，这6篇逻辑著作被总称为《工具论》。
《工具论》中的6篇逻辑著作是:《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》和《辨谬篇》。《范畴篇》讨论范畴；《解释篇》主要讨论命题；《前分析篇》是亚里士多德最重要的逻辑论著，主要讨论三段论；《后分析篇》论述证明、定义、演绎方法等问题；《论辩篇》讨论“论辩的”推理；《辨谬篇》揭示和分析各种谬误和诡辩，并提出反驳的方法。
用现代数理逻辑的观点解释亚里士多德的三段论，看这一本商务印书馆的《汉译世界学术名著丛书——亚里士多德的三段论》
入门资料：《几何原本》第一卷的定义与公理
http://www.mathdb.org/articles/elements/c_elements.htm
