小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
" L$ U  Y& ^. Y: ]' v( f2 Q
他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
, @' ~, Y' v0 I2 u
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

7 X) R* t5 Z, T( L# b* yIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
7 l* T" o- w8 V
, Z! N" W, W5 c3 Y( L8 k0 K幸运数的定义
% ^3 b0 Z5 }# l# i; f% hFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
" w5 e) L9 V6 O; M; T, N
+ K; l# P6 K+ a1 V% v# f2 o初始，从1开始的自然数列：
- f2 R- U! p4 I! J: uBegin with a list of integers starting with 1:
) B* E5 w0 Z7 [! L: n, }4 \1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

! E$ N# S) u) L开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
% U1 A+ {4 l8 f
- ^- m" y; k% c* S. X) t接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
0 _1 C& q/ J7 z' _8 ?( I" X4 |+ K这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

( b; G# p3 y$ C1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
; \! x& \! |) l% {5 L/ `/ f上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
/ }; A% {( Q9 u- N2 y3 X1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

/ b) \9 l2 o2 U+ j
3 ^/ j5 W) M; [: S) W3 J0 g
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
5 D/ J# |7 x# U& Z; }; y
5 z* t$ e# S( D3 P; n) B数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
! Y: v  z6 ?$ K+ E幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
! I4 c7 v1 P% y* ~& `0 K另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
! N" g" R- I7 l
: s' K  W: ?6 W' m/ P' g**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
' W* V5 U  Z8 W- a
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

% T6 l( ~& S6 ?' V" }3 Q当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

/ E; H, I& Q! C6 s$ _, X猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
- r5 u! j3 K- y6 I) q  C4 W+ G
& z$ g7 ]5 P1 R, `3 `  k( ^/ M" ?假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

6 Q1 P2 p6 o% e  d7 u
**约瑟夫斯问题    都教授

' h0 \5 Y$ a. G, F% t$ v我们来聊聊约瑟夫斯问题。

7 l" A% u" ~' f有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
$ [0 q  f, f* ^4 R2 b7 o
; A) P, G: |# v9 Z
# V7 X2 {1 f$ M# w! u6 H---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
& F% T4 o& l0 W: J* _5 l* [据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

9 q: w8 n  @- _8 X. g3 K8 I, }---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
3 g+ Y9 i, u: @& z. C据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
' P# b  A8 \! _8 H) h! s**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

+ A; I! ~. V& W' u1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
. x$ Q. d+ R7 z* c
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
+ l* n/ K' u# P( |n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
+ ~% A8 Y- f2 T5 {

我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

4 }  H" ^; q  ~  L: l) D

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
4 c# V5 }$ ~3 U  d; j1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
* w9 F9 r$ y( b& d% A- B3 F
/ [1 r& D2 G7 |( p2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

# u) `- b' Z0 q* u! J% p" k兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

  g# N/ ]3 X2 Y2 {, z  }" @还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
5 j9 V% I7 U2 {0 j8 F
/ |& [- h, H' O" K1 t) G-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：
6 T0 ^. ~# ]2 a* p& `) S+ r5 {* l
int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
6 p- N" h0 L- w* m& o" ?% X  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
  }& a# X' q0 w) S1 m6 N      if(n == 1)
6 \: ^4 R2 p) A- q          return 1;
% k0 }- ?* Z' E% h9 {7 u/ |      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
2 g- a* o- W. k7 s( t* p8 e
; o) [/ s) C! A! n) `3 s5 F      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
4 |3 ^' b3 t% r2 l" j7 y  }

6 H9 D6 R$ J! v* ?. g另外有个更简洁的例子
+ W9 E- `# ~+ u6 n7 E5 ^( y' s  c  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
6 t( |! a9 A0 ?3 u2 ?0 ^    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

. v/ R/ w% w/ Z: m, X以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
5 C, R  z& ]4 B
" H( l3 {: n$ d. [9 U4 R+ F; D; N
' G" @- e' y) k- e. K( c关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
% f5 b% \" y* U2 Y( x( P如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
, Y( o" g0 [* T+ M# @
f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
. r# {' d6 w# C/ c1 H2 n+ n; p% ?
$ R. _  P1 A* G5 R6 {3 Pf(2n+1)=2f(n)+1

: C7 o( ~5 s2 y) Z4 ^+ b. |! E6 y
7 B5 W) }0 g$ F% ~, z* i7 C如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
1 p/ ]7 o) ]; r, ef(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
9 B# ~9 I: W4 F% [) b: W0 s
( n% }( Y3 b4 A8 a! m从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

/ C3 y% \2 w) y. a7 _  x定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
6 L2 j- m5 E* f; c. \( s: U. [) M% r
# S* B, }  j$ u9 P
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

我的推法就是这个：
0 _9 N% Y+ q: D5 [4 a5 A& j
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

1 R4 [) e. w# e  h' L$ M我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

6 p* H  {) Q! S) P  _+ ?4 X2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
* }2 F2 U" u1 s" I不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
  {  }2 P  C6 A, K8 ^5 R: a不过今天不幸运数是17

8 B! j) T* v" t7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

4 ?+ w* _/ V5 N- K* J/ P4 e$ R以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

6 E% E5 H4 _) V6 Q6 O( {13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。