TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼6 u$ y3 N- s( W* l8 P1 @: a
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”$ h; l7 ]; w, W- }1 f( E) C- G
% G3 o: W4 w, p6 B: x3 {他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
& q8 U+ Y0 v1 W7 i7 a
. h4 k2 m4 Z9 Y' T0 j y) ~所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。" O4 L1 s+ |9 F8 [/ F" o/ e# l
- m, ^' ?: {( k4 F: C
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
, Z, ]1 i7 u9 b1 B. r
9 l/ t$ g& d- W; }& T! j8 d幸运数的定义
4 `! f4 Q$ A$ T8 Q1 N+ H `1 b2 S* oFORMULA
- ?& I4 w; i+ v* E+ H" Y7 ?Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
, S" U9 K R: W8 x7 y$ V/ E' P
' E, ]* Q: W9 Z' Y7 Y具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
7 M" E8 f$ ^$ h/ e) b: H4 E. l0 G+ b
初始,从1开始的自然数列:
! t" G, ^) c; _6 e8 R) ZBegin with a list of integers starting with 1:6 {" G% @8 J$ X+ x% L& }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……% N& R' q, J3 a: P$ F
: o4 S+ |1 b0 q* ^
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~& ?1 m1 O8 t0 W. j" V9 U( H2 i
剩下的数列如下:1 H5 m2 U# m' K
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1 c! V+ m3 S; Z+ P$ z1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
- F4 \ @, h o% t7 F& a2 h9 D4 f3 G& ~$ k& F' A
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:: v& L- `- T9 }) z L, v
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:( e8 D2 l, g$ e* X( ]
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
: g5 g9 V) `6 b7 U' S2 o! v' k8 ~/ e
" l5 O+ _) |8 G8 j4 R+ m现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
4 }% l( Z6 s4 N9 y# G4 l' {2 fThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
" w$ X( i4 G, ^. Z0 m; P1 3 7 9 13 15 21 25 ……
2 q2 b9 a- U4 _# L, o( i8 k( l+ V; t
3 G3 F; i2 r; P2 ]6 ~' a9 A4 j8 p接下来是9,……3 R, a5 B3 U% y/ S( w
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。8 U8 V( H, W4 |, l$ v0 h
B2 x; H' _! J% S+ r$ b" M
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- x" Q, A+ d5 }: O& @$ U
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
$ P; A+ e2 g) `1 {, n上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
" Y% e" B. g% E( t" e& B8 Y1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……% `6 p, F& r) N$ c) u5 ]
8 O3 }. ?. O' u有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
/ m: Q' x/ E( n% E
% L1 ]; B- F# }0 B+ K, q& |; {$ Q8 _* F4 Q
! P3 ?; K+ Y: l8 V- j9 B
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
3 v& R/ P( Z+ n8 M [1 u: K& ~' y
# C+ _4 Y* r! S/ d数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。3 F8 ~/ @! r8 K) _- {+ v
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
/ @5 n) v7 i+ ?, k( N6 \另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
7 @+ \- \$ I' E' Z. t
* V4 Y# x" p5 i8 V/ i8 M1 S暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?0 P3 P" z7 ]0 m6 h1 _# a. n
' h' T: n( n% A' D. o8 W: ~**什么叫做Conjecture?
8 I' g) H0 r) Z' J! g" J, c: A**约瑟夫斯问题。 |
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