TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
4 p ~# |9 T; p1 W( J看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
% S1 ]4 E! S Y+ Y+ a' b
: o+ i/ p! M& N6 v# P他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。5 X6 `) c5 ]3 [
8 Y) Y+ f. _6 {9 |: t: s所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
* O" Y: e1 v4 P6 w
; ]. f! a% D8 X& }$ m) }In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes., i, c+ z- m+ A% L
: j4 `, V, U- ]1 @* ^2 \
幸运数的定义5 E( K( u! f* u; E
FORMULA
$ r% y/ w! M+ f% ]# s4 zStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
9 t1 q, J' g7 ?7 ?% X [. D$ Z: T- Z( g
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)( [, T& J. D5 J$ g) a, s4 \8 s
/ U/ [% A/ j. e9 y6 K% ~& c初始,从1开始的自然数列:
# k% {0 v' @4 Y2 `# s) e' V" ~Begin with a list of integers starting with 1:
) w, z. }2 z% _4 E% X: x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
! k4 i3 B- `3 V# X9 h8 A+ c! H6 p- m; W: x* [
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~. y- c* K$ {" | Q$ Y
剩下的数列如下:7 }4 F" \& Q' V
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:+ i L' f; C: K$ I
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
0 C# o! L8 M) a/ I# [5 Q# ]% g+ {' V$ w. m& h# t1 E
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下: J2 @4 P2 G0 [8 X& ]8 Z
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:7 J) R" K- q2 m6 O9 V
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……& o: O/ o0 p! Q3 u
5 K$ C4 l) \; s
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:! C7 z/ W( ?3 S) O% @$ j
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
! S- |! d4 e/ M3 {2 d/ b1 3 7 9 13 15 21 25 ……
+ b! [7 S. X s- Y5 N6 J2 |
- j2 o1 q6 P: p; o/ N$ G4 \接下来是9,……
: n1 m. J( U* A1 U; r+ Y r这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
( c* d6 i( j9 a/ i9 |0 W- F# Z7 l4 h) ?% k
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
( ~ H+ x5 m$ v在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
6 p$ V0 v/ w; g# O上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
. n3 R9 r1 w; m$ S7 V9 `- @; C1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
' d5 P3 F( v8 s+ [4 U
. C- p! J( H2 a: r有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
; u, T( A5 `) \7 g2 l) W9 i6 j
5 \& g9 L) ^8 g/ w2 b& a
( Z4 `) n- j5 `! }( M3 X! i/ A9 d6 ]* k0 I
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。% T" H+ X+ z: q. I7 a' g& s
( n. b- l& P, {数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
# Q, `9 z7 ?% j& m; r) w* ?幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。& n( O' z* Q: d$ o4 [. Z) q
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。; m, B) M$ J3 v$ L/ L$ ~: r3 W6 Z+ d
" u; R7 w3 @9 g2 s4 G9 P暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
, @1 {; k8 I/ u7 \- Z* c8 c# m, [& G
**什么叫做Conjecture?: Q/ |( F" h) N) F
**约瑟夫斯问题。 |
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