小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
! K) r: X/ l9 Y1 u0 C看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

! n1 N. I6 d) X他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
8 {! f6 q+ R2 s" I" {
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

! M9 z& J" G' A, ~! M2 k  o5 LIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
- j0 P: M: n5 L3 o
幸运数的定义
: O  ^7 I6 S! CFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

2 P& Q) b* _/ |* H/ K! n% L# L具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
7 G2 q" J& A! e% z5 t$ d! XBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
! s  U* ~& P% ]+ Q, {1 [
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
8 `+ z2 m6 Q$ v( P4 G/ jThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
  ^4 N" e- }8 R6 W( S( d. I& V
  q* J9 v4 P( J6 K& m现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
/ J1 E: _5 g! B" [1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

( l0 P. c2 J8 U" S7 ?) }接下来是9，……
' C3 {+ @/ L5 q  c这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
4 m% O$ P+ k& C
& \4 k$ }, x) A5 o9 r- r2 ~' U1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
) {; R; P' h/ g/ `2 b在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
- X$ K1 Y5 R* M+ g( b上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
, a0 u! B# g2 r1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
4 @1 H( s5 _' L4 s9 i6 ?% q
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？



5 ^' u1 _. h5 Z# `: |( J# W第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

2 ~% ?. O. b2 |9 e数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
; A* b2 v: N  U  r2 a幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
2 Z& U7 }4 S( z9 ]; ~# z* z
+ l! L: Z0 {' d! L1 ?2 |) w/ b暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

/ T2 u3 l* p8 Y1 Y# i; X0 D- o) n猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
. W! a4 _+ h) Q4 t
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
8 K& {, ^" i" N
' \6 ?) l& w& O猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
: g3 T( I, r. `
. s+ R5 \/ r, w( m有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

1 N5 `/ u5 v0 }8 l, w  N
**约瑟夫斯问题    都教授
& {; c  N. u: g7 X* b9 A$ F
我们来聊聊约瑟夫斯问题。
) W( a. u1 b( Y, y" X. \. e! n6 ~  n6 w
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

/ X1 a% k5 i2 Y问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

, X) S" K0 m' m6 `
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
" e- L; @7 L3 R$ B据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

  W6 M. e$ l" v1 y( E5 j6 u---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
0 k1 H) c0 b. w6 l* a$ R( X这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
- E2 p7 _1 i% p/ b( ^
; Y5 ~& R! X# v, B我们来聊聊约瑟夫斯问题。

5 G0 h; J1 E% d8 i& V' ^8 k1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

1 `: D8 D9 c( a3 \+ d推的方法如下：
! S  F$ X8 C( W3 K4 f; n
* ~: s# g8 e) r  v% Mn=1，就一号，跑不掉的
! h" B2 U( T$ N- e8 [' R! N/ }/ x( dn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
2 u6 `9 \) f7 e+ Y+ B" P
% i3 u6 D; C" Q: b5 ^$ P1 Q
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

& ~, V/ j! r3 q# g  s  G2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
7 f" I8 T' R: H- H1 _# i6 [7 Y$ X
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

. j; p5 M+ {$ o3 K! z, e一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

+ [( x: U# @+ Z2 ^      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
+ v9 z# Z7 e# d8 B' B0 N      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
% b/ N8 g* h- a$ O  }

另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
8 d* Y% |0 C  ~+ J    if n ==1:
# L4 O& `; |; @# F      return 1
1 h) |& ]- s! D; c, G    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
% t* p# G9 ~. Z
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
" i& _3 t$ I$ }9 R% V- y0 ?
) x$ x  u0 v1 |: v' q; @以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
) J" u  z5 L0 c9 ~9 o, m4 S6 I
; W% r( J7 t& r- {( {f(2n)=2f(n)-1
0 k: c* G  C5 r, t如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

9 w" f, v6 H/ Vf(2n+1)=2f(n)+1
4 N4 S' h: ^* t; C3 e  Q6 L

$ k$ r: {1 y' q6 G+ z$ U: K如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
  S' A" Z' H- ?: \3 ]" u
$ U* O- C  x6 ^5 yn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
. K  S* l% ?  g% g/ W9 Af(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
0 ~/ a% m1 _- n+ A2 N& m

6 ]8 e+ A! _% \. W3 ~3 D1 L答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
) D0 r5 |& _7 L) V
在 ...

$ V8 J5 }* T8 N2 ^  M: i7 [, I: ~' ]我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
2 Q: i$ i, A, W& b  `8 v* g
! {. `! l. m* ^2 x6 K我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
8 ]3 l: g& C$ l, A. v
2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
1 H# I/ o4 `1 e" l+ @2 d看不懂
不过今天不幸运数是17

& t0 l5 a1 X! G6 v* X8 p& q7 C7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
0 J" D  |( ?, r* b( t# ]# W
; ~" r& h  J8 G, n; K) M3 Y以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

9 b" ?% s! ?* @6 f9 ~  y6 @% }13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。