TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼, r0 v9 n, y+ a9 D- X+ b& u
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
" A" R) e- N6 G
( u d+ {5 }, o- j: i他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。) G6 k( V) S/ n" Y/ G
: `* y* @8 P& }9 |
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。6 G, ^- y; N/ q( d, k& j+ w8 j" x& C
; R( p/ T. J7 S6 z- R7 i
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes." S: j4 z; ~- s, w) q8 m
2 Z; l0 @) l/ X, C' x( U; ~幸运数的定义
# `8 }8 _! \5 q" a: a! c/ k, p1 pFORMULA
( A7 T: ]+ l% Q# A( J/ ^" MStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
; a/ |" a1 G- U3 @" U2 C) [
2 A0 ^ Y/ k6 q+ J具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
6 m( M) P& X! Q* h, j3 @) r3 e$ \8 X% Y+ U# p
初始,从1开始的自然数列:
" @$ R5 `0 u. c* N' O+ {# U2 nBegin with a list of integers starting with 1:. U+ k+ P/ r# F1 I$ b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
) t/ I# V4 H, J. z& m+ v7 t2 E8 r
5 h( n0 a- O7 j开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~% M8 e6 L. B7 N# _. Q4 g5 I7 M6 i
剩下的数列如下:
$ r0 S/ g$ Y) N2 M8 ? WEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
' I, j$ c% k6 C/ E$ _9 O3 l1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
- J) ~5 c/ ?$ i1 \; L0 {3 c% [, K6 F, ~' t5 E- U
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:( i6 F. |& h2 E3 `) D1 N3 H
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:7 I8 c0 }6 l* A$ K% ~9 a
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
2 A U& _/ y3 Q9 s6 P8 z& ?' L/ O
* @0 @( ^' ?! g# k* h" o1 H现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:. b9 R A; }+ h' j( O
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:( E1 ~; |) G7 v( A- }5 Q8 k
1 3 7 9 13 15 21 25 ……2 h; @$ T2 M1 r5 |, J* h; i
/ M2 f$ b6 B2 f6 T: |2 `
接下来是9,……! A. W( F! a6 i$ V; }* [6 o
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
6 j1 R, \/ T# D- y- }6 a
! h6 {% o7 p* C& Y1 {0 X1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
% i5 \" V" T, o7 Y7 p0 D在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
! C( H+ f4 f* s上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:. s, F, H8 I ~" `9 O; F
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……. h* e# A/ r$ M ~8 ^+ _+ w
2 f8 ] b7 D" K1 q, ^( D! E有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
; M3 z; `! f. ~. T! t: e9 |% U0 d0 |1 f2 J) o
% G! g) F0 Q2 P# {0 j; g; s+ ~6 \+ v
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
- F" M9 F7 H0 w' ?. t) M. }- W% {' v/ H5 H `* ^4 |
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。* N/ H( @6 M k B! D/ k2 a1 o
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。- z- L' r3 \" ~
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。7 b5 ^. T# ], s+ ~1 d; F# B
& S- v7 Z" `! y3 w1 r暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?$ I$ Q1 |; V9 {: I! n8 _0 O/ |* X
) b/ M7 H! Z7 ^2 J% u: Y& Y, b5 a**什么叫做Conjecture?
! {/ ~5 @! a! V. q5 \( F4 u" O$ k**约瑟夫斯问题。 |
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