小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
3 @1 @; g. @, ?: _% L+ o+ r- P4 @# M
2 e3 t2 s2 ?( r' e' \8 ~他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
% k' p' E: y; ~& h4 r
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

- l& g5 Z6 m& T, Q幸运数的定义
! Q+ q* H. Y: `, HFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
8 a( v/ l' V$ q: \1 M" }9 G
# _+ t8 d$ v0 x  T; {1 Y/ X具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
# x0 g+ q6 A, }" L2 Y+ z
5 l  @. s) R4 H& U3 p) y初始，从1开始的自然数列：
% i( Y' g' G* EBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
8 d3 d/ N0 G4 U4 I
" j; Z* G6 i8 g8 L开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
+ ?* u# C- N$ p6 g4 h( H; pEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
3 m4 n4 }- m2 o6 p' c
# Q& C6 C6 U' k; O6 }接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
* T; L$ k( Y- j. ~- c& V; P5 Y% ]The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

6 J- d& D# L9 }. g现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
% D/ X9 {  @  \- QThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
  V. t2 w* c/ M) {这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
9 e) D! q% k' F3 p
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
: T; Y. R( F; p! R$ a4 ?% B在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
" D2 o0 n1 _/ r, ?9 G上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
) x& M3 f* J8 [4 @8 Q


+ v; Y0 r# M" H7 Z& K6 p, p0 h第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
* \: |- K+ K; ?, k- \1 r
# Y, s% b& N9 P) l- {. C' v8 ]$ f数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
5 z8 o5 m4 F1 I, o幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

2 d" U0 b0 p% P- q# j% f暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
0 O8 J  c3 R' r8 ?6 A4 \5 F: t/ y**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
( M* G0 {' K# H" M5 O( s5 _5 o
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
1 B# t  P' l  }& W+ b
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
; g$ F, E+ o, J$ U+ O. U
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
# _- ]$ U1 V3 D" W3 _5 e
假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

3 ]$ _' L1 `* R有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
) W. K1 _7 e2 S5 Y1 X
+ U$ `  ]2 N, u" `% M
& m4 s2 v" k& [* Z4 X( z---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
4 n4 m# v& w9 Z3 f; R; X# q
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
9 i5 {+ e- I+ k" _**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
0 D( s, P/ Y& f( ^4 In＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
! q& O& }* q' c, c

我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

0 K# I+ W& G* d2 x

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

7 v0 O- Z+ _' s% C6 o3 d2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

' K2 D; h! X. @/ g# X, v% S兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
% g) V% T/ Q6 X& p# b: y
$ s8 S" Q0 l* x在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

1 T6 f2 U% u" _: }-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：
( n# l4 _" \- X, N
% D' D0 j. o7 V: V% O9 _5 R. [6 a int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
0 J3 V6 _9 y. ^  }
% S  O9 A, o% y4 ], h  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
: i! b$ \! G4 B2 \( f6 w      if(n == 1)
          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
! h4 M3 f& w  A# x, ]          return survivor;
% p# j9 R# b% h1 `% q6 p4 I      } else
          return survivor + 1;
  }

另外有个更简洁的例子
$ Q' O2 k4 f1 x4 J7 I1 Y  def josephus(n, k):
    if n ==1:
' J, f. j- V# L  A, f      return 1
. J/ G3 `; y4 w/ ^) s4 D0 u3 k3 D    else:
* g& }6 y# _' t: B) ^      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

: h6 Y; c" B3 s' x7 O（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
7 x4 @$ z- @; J' Z5 w
( D% b/ z* P1 Z8 l以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
0 J5 \2 x2 f3 F+ h# @) g- z

* f) f+ I! P2 I( y" U& u) O关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
+ m! A& `& M. }3 \如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
2 {" a' A: u( J9 c$ e2 Z如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1


如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

4 g- Y, ^/ g7 y* o5 Xn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
/ Z+ L! @5 C$ j6 R& X. zf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
! v  R2 f# Z/ T) d# a
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
4 K  Y2 W  G6 j) L9 Y$ G8 A

/ V8 V" j6 U- H! B答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
: M- k+ B0 F6 o+ V5 b兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
) r- a2 n! l/ s; B5 n9 m* |$ i
在 ...

+ h  h; q0 w# p1 |- j我的推法就是这个：
+ ]0 D9 T& U' {* }" V* P
3 B, J! q) U9 B3 P$ \- t  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
+ J' [( _' y# i
. |& _; ?# t5 F0 H5 M* r我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
6 E1 w  Y2 g. q$ {
2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
. Q. @% f( O, y不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
( x# h5 n$ h# s3 v: l8 g看不懂
, W( c; U4 y0 k) w; t不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
2 F  |* [% T1 P0 t# h- ^) j
; N% `3 }, j6 ^! ~0 c9 _. J13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。