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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    / y) o3 m6 F4 @* M看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    % L$ X0 N9 U. `3 ~9 a7 T
    $ i( i" l  @& y8 B0 A他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    - A+ O4 t" M  p7 _. t* v, C( e
    ) Y1 N& p2 b4 d所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。6 c% H2 ^1 L* E

    , V. F* p/ u( K. x6 o5 [' r7 @" uIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    7 Q6 g! s1 l: F% g4 x0 ^9 O# ?5 f! z* d/ r# o; N
    幸运数的定义3 M. L! B2 H- \8 q( ]$ u+ S. d
    FORMULA        & W( g! |6 j) v/ g& R' w) k
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    7 Z( ]4 Z+ [0 O9 X2 Q4 N+ g' x# i/ v; j3 |  v! U' h$ G+ s/ i
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)- }. F0 p  W, |' ]3 b% H6 V
    / m0 Y$ X; ~: I! g5 x6 ?" V# Z  \
    初始,从1开始的自然数列:
    7 Y% k+ c2 r6 R" HBegin with a list of integers starting with 1:
    # g8 _( g8 }; A# V: U' T+ a& I1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    6 p1 W- q6 i. S' A; Y/ }% C  @" e2 Q
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~8 S* o/ @! U& C9 G, Q# j/ o; e
    剩下的数列如下:8 D7 N" z- e, G1 K& F: P' w
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:* U- N4 H' T, T4 _7 E: D
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……/ q6 [/ ?+ ?' C
    $ F+ _8 `$ a, k) T) x3 t, Y5 x- x
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
      A2 f" q7 x2 K, u. Y4 F9 x2 [The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    % h( M. |7 V0 k1 i/ X1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
      h' I$ v* h) P) d, b- k/ k
    - y1 x" x) L, I; c" ~  [+ [8 y2 N现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    2 t4 E2 v. A6 }( M; }) L$ XThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:0 \) O% X% @# E$ s5 o
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    ; G& j# o3 G# Q/ y# i" x* Z
    ) N9 }& x& e5 {0 z8 {$ P+ n7 d接下来是9,……
    / u; l; a7 w+ {: @这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    7 z+ U6 h7 X' y2 L0 ^4 E/ D% j# n# v$ N+ h& X4 s# V4 X$ X
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    ; C& l5 l$ F, y$ V2 ]在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers3 O# ], _2 [1 u( T/ C1 f, t
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:. @6 {8 f3 y+ `+ f+ }
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    0 {) o0 [: [6 j6 Z
    3 P/ V8 U0 k) W6 r有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    4 b" `2 R& t2 J9 D: t9 y7 h
    9 Q) f- P6 S, f3 A
    $ S: j& j6 q! u) |5 ?. w. s4 K4 e3 q8 ~2 e9 Q0 Y
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
      j$ D: w8 k0 r) n: S' A. j  m
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    4 S5 {0 y/ J+ r) W" P2 Z幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。  _: H4 b9 v2 I0 C3 d
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。' S+ S8 E$ m6 M& O) T; b4 l9 t# u
    , O4 ^( S' Z: m" q; |
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?3 x/ g! ^9 N7 j# ?7 l8 N& k
    9 e# g3 ~  Y1 g9 Z, S# z+ B
    **什么叫做Conjecture?
    ' n- o3 O3 N4 e( u) n: |4 {' |: `6 ]**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)# R4 r( i; N. |# z" w* Q$ g2 M

    ! O- {4 G1 V$ H3 h# o猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。( d$ Q2 u# k) G( s
    / N- u- N" _3 J  [! V# r' m' w: ~
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    9 f4 G+ k) Y: ^/ \* \; ?  P/ g% _: |9 x0 R
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)( F/ Y; a0 T4 V3 u7 p5 }5 T) O
    ; f; m4 h" v! j/ x* V
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。5 p" |) c# B9 D& X% L, w, Y

    0 ?: v# C6 p% v有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    " q" Q& d8 |3 g  `
    5 J; O5 o, i$ y2 G2 m**约瑟夫斯问题    都教授
    0 P; k# l1 z& y% c* L" R' B
    5 M, W1 P' M* C  z* G: [) a' e, B3 H我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    ! V7 E" ^$ P4 `9 i5 m! r! u1 t# u4 b' D; r4 f. s
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。6 f+ Z, S$ z5 N! t" z/ f1 `& T
    ) a; x, d9 I2 H; \  @
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?, b0 \, H  M; S8 K  X

    # g+ E# m- `' p" o
    " j& U0 d% U5 d, \1 K3 p' o---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------* B; G- T* I3 I6 N2 c$ b8 m
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    8 J$ o: s& N! S4 |; r- G3 \& o" w
    . \* j6 s7 P% y2 I. q! W---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------$ K5 ^: J; o- ~( d
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。( q4 A( m! P5 R! x+ c" X% M* Q2 ?
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    " x/ N" x3 N, n6 b  O& ^**约瑟夫斯问题    都教授 4 ~: i5 {7 z/ W, h
    1 Q% D6 }  _2 A  [* }
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    2 k8 G# G# N% y" ^
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!1 [3 e1 L  k8 b$ @" n+ U4 J: c
    : {  b% y9 m) c
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。7 S. h1 R3 F8 ]' [

    5 _, t. p4 t+ ?4 ?* x. y4 W推的方法如下:
    ; w4 J% X0 S  N/ U+ b+ Z/ G- R4 W8 X+ ~3 G4 ]
    n=1,就一号,跑不掉的
    ' O2 ?$ a. l# {2 m- Zn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 3 w8 m6 C9 e- e& ~' F% U5 _
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    ' x2 w; I: g% n7 f
    9 f( H1 w8 A( W8 O4 x, b  i% k# H, n
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    3 q7 \" F0 i% @& a: O
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 , r& S( y& B; P, [; S
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!) h* D+ F1 M! I  D, r
    3 Z5 G) c2 _. q6 L6 r' b
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    9 o- A/ p1 \& U5 H" {4 |- W) Z. f7 D/ s5 m. x
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ) [! ?5 U2 P# w1 K& Z# v8 w0 P* E$ w$ }" I: _# N5 y
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    4 H, P; Q- P- ~% {( ]8 X  g- W5 K8 d4 F) k& z$ p" B! w* P# q  m
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?6 O5 Y( g9 `) m  ~
    ! x9 c- t: q: n8 b% H
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------& |* O3 O4 v8 P$ U8 w; D% a7 V
    : B0 V1 n; s4 z) Z) l
    一个小心翼翼的Java例子:( k/ {0 l1 g& P& Y5 x  `, x
    7 a) N/ _: y" |; j, S: B# b! p
    int josephus(int n, int k) {* W0 K( S6 T2 r! V- v6 t
            return josephus(n, k, 1);9 C( n" h! P; B9 Q+ ]
      }
    " @' B/ {" P7 b$ L( ~  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {; E$ \, @! _9 A" Y/ o3 @
          if(n == 1)
    & ~6 }. B! P! _3 O. Y          return 1;
    / L) o  v0 L0 h) w      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    4 x' Z/ C* a( x
    ! y; Z: p( o6 p& o1 \! W2 T" R& |      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    ( m% y4 Z/ U2 m      if (survivor < newSp) {
    4 g6 O0 X/ J5 j, ?: z9 m1 ~          return survivor;
    / \, |( Q7 M( s; X  M- i      } else) _7 G0 ], M3 \( X
              return survivor + 1;
    ( B$ t1 {: ]8 X1 @: o" |  }% b+ @' {3 A/ _' `0 N4 D" e

    : X1 u% _5 l. U- x9 {9 ]另外有个更简洁的例子% Z3 V- B/ Y! N8 o% a* q
      def josephus(n, k):; Q, ~7 v& h7 S: y4 g; L* {9 e
        if n ==1:! B2 z) v# p+ v
          return 1
      V: ?  u  d( [$ q' F    else:
    " ^7 G; Z4 z* M      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1! F" U5 Y- w/ ?$ E6 ]$ E
    6 w7 D# I/ o8 v: r1 K
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)0 f9 g  K" K$ w4 B0 k$ r& w1 r

    . w! G5 W" L' \' A" O' Z% x以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution& D, v3 ^8 f) o& \: U8 D/ w
    $ W3 v7 u6 x8 C5 s# }. n( C

    2 O% q3 _2 `; k# l$ K/ O; Z关于n的分析:) R2 W  r  |& K* F
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。. I' T: O+ l/ ~+ j. ?% t5 }
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:/ e$ x3 G/ G/ |4 ~$ v

    : R. U+ ?; P/ e* gf(2n)=2f(n)-1, L/ l( \1 s$ j/ W
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    9 a, Z6 i4 ?" p1 R+ a" ?9 H
    + o, l$ \( L/ f; ff(2n+1)=2f(n)+1
    8 F: _8 p. K$ l& Z# a8 j0 g* `* Z: R
    * s* y9 {; F1 _: u9 J6 f" m5 O" q; ]4 R* z& q
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:' x6 A9 P- E5 q% A8 K# a9 X% O

    # {! n2 i5 J0 Z! q6 S# Jn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16, i* Z7 U. N4 U1 v; N$ F" j5 i
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    ; _4 W. m6 B  R' F- S4 E5 m& ?" ^% h# m0 t" K& u4 @
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    # R6 \, c" P" v& ^1 C1 e
    & \" {  L% x8 [" T- G定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    % ~2 n4 V! i4 V) ^# h! w" T
    % s2 I) l$ C! T8 ?; u( K
    7 b0 W! c9 l  P# a4 B" A* r答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    & F4 a" f  q7 ?2 c* {/ I+ h3 D兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    4 s+ ?1 z- a: |" V  P3 _& m
    , q- _( g3 E1 L' i! H' t1 b  z) K在 ...

    $ k) q: W  }5 E1 U1 o2 `- l我的推法就是这个:1 ^' W- j4 t! ~  P

    , m) i  x- }8 T; z  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1, H6 o& }; M" r; d: D
    % n  M. A, m6 T* b+ o% Z
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。' v6 g! z8 r" k/ O* F
    6 G3 O# t" Q( J* D, i
    2的情况我没单拿出来搞。
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 01:44
  • 签到天数: 2299 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂% I# {! c! r1 z9 L* N% S% b
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    ( Y+ \# s4 B* r1 F7 Q% b1 s看不懂
    9 t) x6 r( U) c3 `  \不过今天不幸运数是17

    . N$ m/ b: c% @- Z5 B5 b7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    # X+ o5 y" E( k! G2 v9 ?% R6 b" l7 d
    ' m9 Q( g  I7 c以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,311 r0 ]9 d! O' K8 ?1 Q

    - I9 l3 V+ k8 c" O/ O13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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