TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼- a' M- |+ \$ I' e* |4 o2 ?
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
8 p- m, D1 o! t! E
2 U4 T$ ?$ o$ T+ T$ D) B他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
7 k+ Q q' `, z6 p5 D* ]" b$ G+ Z/ z! a; ^' W3 P8 J
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。7 Y9 l/ v& f# A+ M7 h
A! n, k: }5 b' {
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
% Y. B' _, X/ @4 J& Q M3 A! U( }/ \
. N9 l& K5 M: v% H6 J幸运数的定义
2 S: y' l+ N4 y9 I0 [4 e k1 a7 ]* sFORMULA
( O4 w" k0 e' Y2 Z3 g: NStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.. T! D( z. T7 x( U0 u
" k3 E4 Q/ O6 B( N/ x# T具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)5 b- m0 {7 `) W5 E% O8 z& H. Y
" w# \9 f4 b) x- n9 }+ Y" @* t
初始,从1开始的自然数列:) |, }$ Z5 T1 d6 s9 H
Begin with a list of integers starting with 1:1 A' L4 T4 r! f! {& }9 p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……8 c6 ?/ ^( W1 X9 P: ^0 K: n
. [/ U) q+ o1 ?/ p3 k开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
* W& Y5 c9 M1 m, I: A# y5 @/ `* W' v, V剩下的数列如下:% D3 `8 z% ]( v" z* V# d
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:) z# }5 ~( o( q; a
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……4 \8 E1 G7 i' O+ m+ O4 N
; d, X: n' D1 R3 A& g
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
- O, [* |* @; A6 F! U, l+ HThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:$ b# n+ N3 Y/ A/ ]
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……: }+ G3 i* X1 _ G0 X$ x$ P' `
0 {- S4 K0 [: R& ]' p现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
# Q) n) `' W5 j1 N6 H0 M" dThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:" T# g4 ]) P$ q) Z+ O
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
9 A2 ?. q" ^6 o- O9 e
6 m3 L5 P$ b/ t7 g" d" J接下来是9,……
( K& |- O1 b' E& t6 r这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
( ]# W8 t( Z, v2 c) G8 t0 x0 n* M6 u% Z7 o, q6 s# a; j* b
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).: Y& B, X6 h1 e. I: L
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
5 p3 |& x2 D! ~% j, g) a上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
) S$ I* B0 l1 v4 R! m" q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
" N7 M4 w, H! s& r9 v* \
/ b" k+ K% {6 @) Q6 g有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?, L0 `- A* E6 g( |4 W& [$ `# A
) S- U& m& k% z; E1 Q
2 m1 G4 s2 D. b
: b7 `" c( Z$ A2 h. [
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
- O2 `$ N+ l7 n# x3 j0 R$ D! P5 T! @$ T5 {# s+ z
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
0 x" T2 z. \& m9 @ U/ m幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。 R6 O2 K1 v9 K4 d0 E
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。1 A" r+ L' x0 W# K" n
' |( Q0 [& r/ K* G, o
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
6 A( Q M( z) q) x1 e+ |- _/ a$ b
# y6 w; I7 [9 M( `2 U1 I/ X3 L**什么叫做Conjecture? f2 T/ l6 o+ g5 _
**约瑟夫斯问题。 |
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