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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
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    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    - d* O- @6 d# g! W; h; Y; y- m看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”- k7 `$ k0 W: L

    1 h- a. `% w5 m: U- v他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。1 S% K$ j1 m' ~' j# z4 o* [* @3 d

    & w% H& j4 W4 V' g& g( ~1 N所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    " `! T- l$ a3 W+ G, A3 e0 L+ R) k8 j  G" v
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.) v+ I( S8 H* }+ x0 z9 B1 c
    ) D4 W; c3 c$ a! d4 K- v
    幸运数的定义
    / c8 V. U1 ~" }4 c5 G. {FORMULA        # Q% ~5 j9 j) @6 z  k0 O
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    6 }8 m) c: O7 Z0 F/ P" B% ~! K" u4 {6 ~6 D5 j
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    ( O' V- m1 n# g( _1 X' D
    2 S8 _! @/ v( ?7 n; W- T' f初始,从1开始的自然数列:
    9 X1 [5 @% K( u# g- f, f1 gBegin with a list of integers starting with 1:2 N! Z" u; z' }& \6 r
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……( V9 N; y- p% R" Y) x  {) `! _& _$ U

    ) K9 S. L# L* W/ e0 H' L4 J开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    : @: h. W* e: s4 D0 J5 o3 s9 `剩下的数列如下:
    - e. m- m0 N: w, P& q, bEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    - s4 P7 _% Y+ m8 y1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……5 t7 t* U8 u- l+ t

    3 d$ }8 ?3 P! H接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:  Z7 j1 q5 h% ~) I5 ~2 I
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    2 d' d2 e) H8 z& ]: \+ A1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……8 Z' H- u% M2 n1 @' P
    + U+ P% K" V) q$ h- k$ C& }) ~1 i' t
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    7 T: j, q$ m1 _! D9 i4 R: j$ @4 X  d% OThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:# k$ k5 B, B; M
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    1 S9 v# _+ V3 L& _) ~9 {: H6 @& M: c( x
    接下来是9,……
    $ a% Q: B8 m1 Z" g7 c) D这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。+ Z. i5 t- D2 s& H- A
    3 S6 U' T) Y! ^9 Q
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- ?$ |0 A9 C% W) @4 c! E. z6 ~* E
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers3 G2 F/ }- M& {  L- n, h2 C
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:! n/ ?4 L* i+ F. W6 J  s
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……7 I! z: I5 S) V5 [2 ]3 k8 M& |

    ' Z* u' v) g" u8 u; V+ C& ?有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    % B  k& I: }1 }( N  ]& p+ R' {4 A* V6 I

    # `4 N. T9 s9 i; r
    2 `  i  v+ K/ @, |; B) H第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! ?. D1 c. q: I0 U: @

    ! F: e& f( A2 h- p& K* y- }* n. Y数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。( o- k9 X+ e1 R4 V& T3 n
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。) K- n4 I3 E; h5 `* k
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    , x- `6 f; \, N5 {( Z) @; G
    1 o# I5 \7 D+ E6 U3 u, f暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?6 W$ Z1 P: X6 `! A8 U% e3 z$ o. b
      ]+ c7 B& E* U  `( }
    **什么叫做Conjecture?
    % Y/ G  _5 L7 S: v$ M: M( d**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    ; g: y% h+ @; s) c! G2 T. Z: [& O+ e2 z
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。" H' Z" `& a; A3 m
    1 h) M% u4 d. k, o. P: R+ r1 y* D+ Q
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。: @& e/ s2 R0 X& y/ [8 H5 B

    : ^) p! Y$ M# X3 e2 Z猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)0 e- R* A$ b( U0 S* j
    ' `! H- {; N' Z4 r
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。: V+ t* v" H3 Z
    * I! A, R& ?- h& S) o" J
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    4 [8 j, i7 x9 Q) T
    6 S8 Y* S$ E# K+ m3 p7 Z5 Z! O**约瑟夫斯问题    都教授 , {, I7 e$ P! {/ {+ U  t: S

    " M" a/ r( g6 p5 t6 u/ ~: J! }我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    7 h' {- T7 a% O& h7 e
    ' Z, @2 d" n" w2 P6 r有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。% d$ T) P" s; l9 W2 G9 ^6 B# n
    ! |- U$ `: P- `+ d' z) \5 X
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    # L0 @9 d# ~" f8 n) j" A; h0 J8 [4 Y5 [

    " m* e9 p% h6 w+ s. H---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------( b" T0 v1 P4 A, G+ h
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    9 p8 f6 b5 C* Y5 E- A
    : T4 _! A0 x4 D+ G5 a---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------' l4 e- o4 H# P0 m7 z. j! P" M
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。5 p. P% B: t2 n4 T: ]
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 1 s2 Q! T) z' U# }' O& l( F$ i; _( I
    **约瑟夫斯问题    都教授 : ]# q3 i  q$ E& S

    0 F+ ^( H' Q/ i* q4 i( ^我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    & n& h& [. \9 t3 x; L1 j$ P* h% h1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    " V& ^1 z" B$ @- l% ~+ |9 [; Q
    $ W1 U$ x/ H/ y+ a# ]2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。( i, K, M' k$ O" u$ \# @! }8 D

    # O- }9 W. ?, L推的方法如下:
    ) Y" w5 F* u% |
    ( s" J' G/ k( e; |* yn=1,就一号,跑不掉的
    / G( G3 w! b  M* An=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    ) i! y0 P9 _1 J1 J% _, }: B. P/ F如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。1 v& w( p, D2 L4 F4 G$ a

    ' ^+ y1 V" P2 l3 z
    8 ^$ `8 b/ ^+ }+ m( j/ J我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
      D6 t6 d7 ^$ F% m8 v2 d9 K- H7 [
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 / H# ~" y3 J* l' ^$ w# q6 D
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    5 u8 I+ G1 l4 l3 p
    $ ]  ]: E5 B6 @8 o2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    ) Q0 n) P) t$ G8 u* G- e( s6 X" y1 \, y+ s, Q, Y  ]
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    * I4 D5 n6 N" a# [( I; I
    ; G+ e+ i+ B. ?% u/ C在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
      e1 i' f7 [; V* t7 o+ E' H! ^
    2 X; K! @& Y- K1 L' u+ h还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?. B9 ^" @: h1 L( P9 L2 M

    - P3 Z* h& E- c* n-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------: H! I- p3 Q3 S7 k
    / H: a+ y7 [' e% U9 h
    一个小心翼翼的Java例子:
    ' _$ s0 H- a% m4 y4 s# i+ }8 v4 L2 k7 {. k! t7 l. S
    int josephus(int n, int k) {
    8 R8 @2 x$ ~( s, P0 A        return josephus(n, k, 1);
    - t" x- F) N9 W# t2 Q  }3 Q' J" M- f4 _% H; m# Y3 r
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {( Q& E0 \2 {4 P8 {/ ~- a& [7 E+ K; W
          if(n == 1)
    * `2 |, h- z) k5 @( Q          return 1;4 E# `$ W, X' H- E9 l1 Y8 F
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;$ }8 q  s  H6 g+ C$ L1 D

    ) f. f5 l- O+ ~' b* n" a      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    5 I3 ?( k, O( O9 N  t      if (survivor < newSp) {% M7 e: L5 c, F( |' v, o) G& J! D
              return survivor;9 J  ]$ T0 f/ [# x
          } else+ ]7 q1 \2 A( H
              return survivor + 1;' x4 A1 j6 W+ J. B' E9 Z
      }
    9 Q3 f9 |& Q2 m3 Y& V- y* b1 X
    - S2 @8 t9 ?0 c- @. Y' l' \另外有个更简洁的例子# P& {4 V" c/ r" R1 _
      def josephus(n, k):( z- I+ J. r8 }0 N. O. s% F7 k
        if n ==1:# P* ^3 y& C; Y2 O/ I6 U! p$ q
          return 1
    , ^9 d  S/ r5 U8 n5 j    else:
    9 C0 ~3 L& P+ a# P4 {      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    6 }+ D, R4 _. g: B) Y% M; `( S1 o; _/ V( Q8 t4 h
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)+ E4 \7 V! H2 r  Q; z( p) v+ T# B% Z
    2 T1 h+ p7 B" p. p
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution. X& T& G9 V8 U( R1 S" D4 m( L

    2 X; X  o$ ?7 v6 R0 s: s" G+ y  s% [( A" ^0 y& {% r1 x* W+ M
    关于n的分析:5 \4 ]6 H5 C; m/ P5 s7 f
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。" c5 ^7 ?% {3 q6 I+ X5 _7 R0 b
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:  U6 T+ [, ~$ Q) Y+ ^

    : f1 O; p0 h% X% y3 Tf(2n)=2f(n)-1
    + u3 b+ Y3 s% R1 S5 a如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    , ^) g9 D! I: ^& T/ E( y4 q- N" z  `9 D
    ! e5 V. [& E4 K7 |( ef(2n+1)=2f(n)+1
    0 t: k4 e- k( \! K: A3 O
    " _9 m6 q. \2 g. W" ^( g& y6 \! t- C# k: y2 l% Z" y
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    - ?% J# c8 _. |6 O3 C
    2 C/ W; }" ]! l" \. G8 hn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    166 F( Y6 \2 O) S, A9 B7 r
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    9 @" l- w5 s  e" J) F/ P2 J& x) i. n5 U' A. D  j; C
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    ) _4 |5 }1 S( y( w" b* {& B
      g. Z6 g* `& ]9 y& ?定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。' I' E5 t' i- G' k8 G/ T* {
    * n( x( R8 T& e- f- v# K
    , ]8 [. J) Z* s2 o. d
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    + }; g3 b5 H0 r4 J1 N: d兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    * }, M3 `. V9 ]: M" H
    # r3 y# L; h& R8 L. R  F在 ...
    + S% B" F8 s) p& M# v  ^
    我的推法就是这个:( X3 n9 K/ D7 V3 `$ Q4 w

    & ^# T( a4 z3 W. V: ^8 f  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1& s5 e8 j2 v% j' g0 c0 C4 y

    ; v9 X8 M7 H( I" ^4 o; h我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。+ d0 [1 a1 I. ^" |
    : G, N$ M* Z# O; @! m
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 20:58
  • 签到天数: 2118 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    6 E0 }4 E5 p1 o* s不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 ; J- L4 s+ v. |  {: x  Y+ _6 `. P
    看不懂8 ]0 ]% n2 {. F% I' ~' f
    不过今天不幸运数是17
    0 O$ u5 Y- r/ p+ Y
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    ! l$ [) B1 {3 P2 e  u) {" ]
    # P5 P6 @6 _8 M! P以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    + i% z! k3 Q0 M& \, V# d9 G
    * o) T' l3 q" y  H# E5 ]( k13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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