小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
. ~# ~: A0 P1 P5 p7 ]$ {$ \
他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
- k: y# t- x) ?8 E
幸运数的定义
FORMULA       
: D% g5 a2 J6 }6 k1 `- _  PStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
5 {; N8 X* ~" e1 Q) E. n
* f) B* R3 k9 Y初始，从1开始的自然数列：
5 P& Q" g& @. Y) M. mBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
$ [" b) z% \% m
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
0 N; m9 `4 s/ a0 u/ H/ ~1 G1 A剩下的数列如下：
; E1 A) I% Z) M1 L2 U: qEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
6 F. N1 C+ y1 }" p& t- c9 k  p1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

0 ~5 ?* }9 N4 f  u7 f接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
, `2 u/ H" C# SThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
" z  O4 y# m, n3 Z: ?4 ~* GThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

  t% C! p) Q3 x* R- N$ \! |1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
, R  b5 b& T8 w6 k2 N9 l; b上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
+ Y  G' q" v) Z$ Q7 ]- }  U1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
# Q( x) R$ w5 q2 s, `6 U
& I* @0 m+ k) W7 A6 J. _& k有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
8 I+ W6 m+ ^( R- u: C
8 |( [0 ]& r- l
- s' q) R) j0 H2 x, x
" r$ p( A6 C/ i$ ~. _; h第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
3 _- X: M) ~, o0 d9 Z* V
% c2 D( S+ Y+ }; b$ s4 C. n数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

% L4 m6 u8 U- ?. W9 r9 e# P+ L' r! {**什么叫做Conjecture？
" u  a/ |; r; t**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
# z; T: O8 f- p& v6 u# U: C
/ W6 [; p, p# }2 ~& I猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
( o8 }, L* m! u2 _* B! D/ w& ]
4 k2 C' S: Q% Q' \8 F" p当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
; ?" ~6 ]4 I2 u$ A) Z& Z
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
* k. \) G; u$ k+ Q+ Q
假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
$ l5 R" Z) u, N4 I
% m; d( F  ?/ x: @8 l; [) O1 S& }' g有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

1 G4 x& t$ l1 m% d6 q
3 [4 R, k. h2 Z* Q**约瑟夫斯问题    都教授

% b; J8 e0 U! U5 H+ s/ s; L我们来聊聊约瑟夫斯问题。
7 l& v0 v, }  o3 O
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
2 \6 h, N* g+ f+ X' A* o
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

. ?5 {$ V3 x8 R! G0 r9 i- n
/ B( L" v. A$ a3 B---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
8 m& z1 r6 N2 E7 [( q$ Q据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

' {3 W1 B6 Y% ]4 ?---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
: n. [2 Z# X3 a  o0 ^+ E据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

" f( f" O# W7 w6 m' F我们来聊聊约瑟夫斯问题。

- o7 b( v" @! [; s1 J1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
8 W. b, [. p) e% L% X9 d
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

' _6 ]! I- e2 H9 A7 G& L$ }. Q+ W推的方法如下：
! S6 x$ _' D, a+ i' X- c1 F) \
n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
; E: S0 G4 A% @  E* G+ d
; c8 K" f6 `0 A! R
5 \8 l' ~% S& s% j. D: `) {& X我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

5 K8 r# a! A& P! a8 t2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

! q0 R  C$ s9 u
# G7 l$ l( }. i# r兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

# f5 f1 w0 P  t7 k9 v还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
5 l/ C9 M* C- `
一个小心翼翼的Java例子：

/ @% Y* I/ G( M4 h7 H int josephus(int n, int k) {
6 F) z. m, b( e0 T* \        return josephus(n, k, 1);
( y0 M3 n5 r& n6 _2 Y  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
  D" e' u4 h- F' I. Z: E1 Y. f) H      if(n == 1)
          return 1;
5 [4 k5 _8 g' K      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
! ?2 ?; o: W; D      if (survivor < newSp) {
0 f- o% I* K  ~, T# d7 G& T4 s6 ^          return survivor;
+ j" o7 h3 C1 C      } else
          return survivor + 1;
5 c* Q0 M; `5 R7 J  }

另外有个更简洁的例子
3 i' c* L; ^: Y# P7 x* u  def josephus(n, k):
* i9 t0 C4 F9 a    if n ==1:
      return 1
2 }8 E4 E: x, O" Q    else:
3 w' |6 W- @8 [1 q. S  i- `% \; F      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
& ~. B- b' \' T( |* b
6 d1 [" I8 u, j% f. e, K' P（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
& n( b) ^5 Q& \/ o! d
4 ~- g6 f. E) w9 [8 s) g2 j' t以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

8 q: X# M+ J4 s9 D: D4 `) ~
7 z2 g* ?0 \7 o- C: c! K: a关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
/ f! \- l+ J% X7 X- U. m' b
5 o. s  c- v5 @2 }$ a. qf(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
% q4 D% Y0 {, T' J) Y' Z" H6 Q, H
+ q1 V" k: J. @' B3 p  yf(2n+1)=2f(n)+1

+ z$ E  c) ?2 ~9 a( C# A
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
  `9 e* R6 n1 J
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
5 @0 e! N; w0 g. L, [1 b- v  @/ M
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
$ X8 b" ^4 k# |1 v6 O2 Z, U+ W1 t
" S/ x! [& ~& ^+ H1 S7 S5 y
( ]3 C- j% X, a; |) |% u8 H答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

) B' F* S4 F' Y; Z3 d5 b我的推法就是这个：

! n1 b, T1 y: t3 f( ?' v  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
) g  @% n! d% b. o, D5 H0 v) s
( A! c% `" p- L" C我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
/ s0 f: z: j, e# g
3 L4 e; w3 P% ]. N+ A2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
+ V# G- s7 z3 b2 y4 N2 r- S* Y+ J看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

  {- z) P& y! |2 \  \以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。