TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
- X3 @. o0 }$ D0 s9 }7 p看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”4 i2 i/ a1 j$ d4 b2 Z8 ?- w
+ Z+ A( j5 Y1 p1 f
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
* t/ I, E9 J- p# O
; A- W5 ]' j' j- _# e3 }6 E2 L. H$ y所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。 d% P5 ^3 `/ H8 F+ m) h
4 i; @. T* t. o, vIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
9 B+ g3 S2 c/ c6 K) P. |9 J& V3 H2 h$ n( i: i
幸运数的定义 u9 |: o: ~$ a% V$ G
FORMULA $ U. R f5 x% F) a
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
* F( s) ?. I( B5 i
9 m2 \3 M+ d! Z2 ]具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
: ?: b z: A4 f$ O( U
& w. c$ g% j" R4 W9 j" J初始,从1开始的自然数列:
! [: I- Z6 ]9 q# X' yBegin with a list of integers starting with 1:
& l1 _3 R7 `' T* w& d; m% M% c1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
4 s' O* E/ y8 L+ } Y5 v# @/ K
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~7 v/ O5 _: ^& Y& f2 v$ H8 m
剩下的数列如下:
& A0 l# \9 W2 J9 J, ~* {Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
5 a w6 D& T# I4 c1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
P1 v4 {; @/ t+ R7 n6 D
9 a% ^2 Z$ z a ?接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:3 v1 ^7 C0 a, @0 ^8 ^
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
, ]2 {3 A$ n6 v1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
! L$ X+ y" F4 @: r8 ~1 }) K# @" q
0 @2 Q e/ e- l现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:* I5 ]. @7 |- T3 H7 \1 g- s; q# m9 P
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:- ^ W; C8 s4 g7 P! G7 A
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
4 A2 q0 I5 N. \3 k. G$ a( p7 o3 P" I. |' _ P1 I/ Z4 @
接下来是9,……
# ^! q* N. ^/ ?$ N1 A c; b这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。) H8 m& \2 A' A: H- W1 v3 @
6 d; O6 Z# C# H! }1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' i% n, U5 Y2 s! ^9 x
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers7 z/ q) V4 A! i) N5 ^
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
$ H5 G# c5 L4 P5 X1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……3 F' |: u& f3 [/ o$ [
! T, N, Z* ^6 A有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?& i& A. Q7 \& ?* l6 \8 g0 q0 |( [
- q. }+ U" S% Y! W5 u$ S4 Y
( j' b" ?7 I( d6 U0 W8 @2 \" f& A7 R( s
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。- `5 @5 O+ I& b" J3 ?8 w: q
5 {( S9 ?! K& g# e( Z4 E
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
b9 p3 z/ _ p1 l9 ^, ]幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。0 {, O1 [ Z7 O. V3 B
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
- {# D R4 q! L T
+ L. c+ ^3 y+ t5 P9 g0 V暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
) U( e( s% P0 ]5 d0 ^; h) a
7 ]( E1 H+ |: G1 B2 x**什么叫做Conjecture?$ e( f" o) T. I: S5 r; X# L
**约瑟夫斯问题。 |
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