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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    % c- o# p3 V! [; E6 T看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    % U9 e" r- d( h* r0 K' [
    ! \4 k9 e: c: c! p他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    / m+ V5 R6 t6 ~
    : H+ G5 D! ?3 v6 [2 v: u所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    ; e4 {  \8 V: C  u- B
    ! k7 R) E9 g. O4 dIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.2 E, D3 ?9 K$ H
    - a  i8 H  B* ^2 L2 M$ H
    幸运数的定义" _3 p& v+ {1 ~2 v
    FORMULA       
    ) G  a/ O( E. G" P: V3 sStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.* T" Z4 b; l; ^5 j9 _' Z# c# R
    2 x2 D/ E0 |+ P. Q* g
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)3 m  M7 Z( _3 {+ a
    2 Q- H( Q# p' Q6 m* D( ?
    初始,从1开始的自然数列:/ x) w  ]- J2 ^; I* X4 ]$ A: P
    Begin with a list of integers starting with 1:
    # S* R9 E& l: `& l% s4 V* O' i1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……! u! t1 ?& y: R: c

    ; g2 S+ |% E; O% I; o# w2 d  [开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    " w7 e1 [* V0 r* V- u% q剩下的数列如下:/ D* L7 I, j, C1 Y
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:' W% e6 B. L) E1 K
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    7 V7 @) T" [! \' x- ?& y" u$ e* W. a6 C; s5 k+ H( q# T# ?
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    9 d5 k8 P+ T/ i( u: r8 q' cThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    : y8 b5 L) y( z$ {6 B  P  p1 Q* e1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    + j' O* u4 }( Y  G1 K$ P* j' G. F/ s8 [( U2 x$ e1 K( R. _' E
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:- d4 b0 p) z! {2 V3 X( A9 l# |
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
      o" p$ @" m. }. B- @& j" t1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……) B5 h' H5 p: o7 I* _
    % r5 l& L6 h3 {# h
    接下来是9,……
    ( E0 R9 _7 U. \6 U* U+ \这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    3 w7 n7 T2 e7 z2 o
    ! J0 n+ s# E9 l( l1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    ( E. N0 i5 }7 W0 S$ t4 B在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    / k  B" P8 ?/ R' D3 n上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    & d6 Q/ ]) L) J# t1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    5 l& m9 T9 S- f* W1 r& ]7 V! u+ N1 N  N/ D
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    . `0 Z/ S* D1 Y# i% x# Q- v) J2 a0 i3 z" V
    1 }, l1 [( ^6 z( |" g( ?1 A% @: X
    ' g: x6 u  D8 ^/ ]9 p
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。: t4 q. G* x. q

    2 O/ A$ b: H5 \  P7 L数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。0 H3 m5 G# N; W1 @* m- L3 I
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    5 f" |& Z+ ^: P/ j$ N另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    * e2 Y8 o9 U4 g- ?3 A5 {. C# m% H
    ! J, L2 H& r% [5 w暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?4 ]8 i4 x9 A0 @

    2 s8 c( b. h+ A( o& K**什么叫做Conjecture?
    # @( d, S( g2 m) X% h**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)  x8 x  ?3 d9 t$ z0 Y% C! E

    ) }  d0 E, \7 S猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    - X2 B, k+ G: s6 \- n5 G5 L5 k, W! s& F& H0 n+ A6 p* O, x# j' r
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。- R" a" D( z' b0 q% P/ G5 F. ]
    . H2 E. U: p; k7 q; N' s* d
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    ( q) p: g- p) Y8 u3 E3 X1 i6 ]! J& \% c: |" F3 q. W1 _
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。- [) e0 i1 G! P5 I  ^& W$ ^; a' c7 u

    % t5 E, ?+ J; Q有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    0 @1 I, S( F( \! Y( l
    5 s) E: j% w4 z  n3 B**约瑟夫斯问题    都教授
    ( {! |3 S/ k5 l/ E, `7 w. N% L! \% g4 [; M9 h  S, a$ C
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。1 {5 ?/ g: N+ d+ [; X, L# A
    / |* b3 j8 i0 N8 t
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    & z8 F" J0 O# p9 D8 O) r' w- F2 y( G& M& R; t0 A+ e- X  @
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?: a& t. j$ ~7 j0 H# j2 ^; ?& c& _

    & N- }  d" I' k# Y  \
    6 x1 ^3 K8 Y$ Y4 y7 H3 w# y---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    8 S5 S& x! e, S" r' U; `据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    6 f5 @1 d6 G: A$ j! ]$ _, B& l7 d3 ]6 u8 A6 h; {* P
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------% \$ F2 E+ z: w7 p0 @. g1 B
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。/ w% @6 i8 _$ S
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 # ^5 x  `1 A) r( z& W6 y
    **约瑟夫斯问题    都教授
    & S! ]& i. K$ l; L  f" z; w8 C5 l# J6 i% D' Z
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    1 D# [$ G6 V3 O! E1 a1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!8 `6 b; M  t4 j1 Y$ W0 z; o1 R
    4 A2 I* \$ p' Z. @
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。6 Y7 G1 L% J7 a- y: f) O* n

    2 U$ g0 F' u6 O( j3 T推的方法如下:
    ; l- X  \- i& G' m+ \( b1 l! I% U! _( R/ B
    n=1,就一号,跑不掉的. `4 C4 @$ u! `. W( a8 |
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 3 n$ {+ f" O3 Z4 T
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    6 d; a: q+ a& Y) E. e4 |8 J( b
    4 }4 s0 ~6 K1 X8 v) w( H4 @$ v! X+ ]( s, n% q
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    5 U4 X  e- _. J1 |
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    6 f# B) b% |9 [6 Z1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    & p/ ?- q5 N5 b% \/ K! F
    * }6 S& y* t2 P0 b1 A2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    5 b" s. l) e3 \  \$ h

    ' M& |. J8 T3 |5 ]2 Y' q, |1 I8 Z兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看6 D9 P1 }* F) B

    5 o( S6 F# C4 A  d; f在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    + k; h6 Z( B, t% M+ G
    + K. A' c0 D5 W" f* W& N# X5 g还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?- U: ]) P% {. i

    ' f0 f5 N* j  I, `* E-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    ( c3 e' ~1 ]6 c" }7 a8 b" n& j% I7 }  ?
    一个小心翼翼的Java例子:
    # l! q9 g4 f( |' c: L7 n  [8 \; E7 V% J# n
    int josephus(int n, int k) {
    $ Z: [2 @* s2 u( ]- y0 u" e        return josephus(n, k, 1);' i2 R- D) h2 B
      }
    - K; E/ K/ d9 i* |, Z8 I0 Q+ {& y9 {  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {6 S2 h  o$ o: f. S1 G/ r6 _
          if(n == 1): u1 y1 N, e: W6 n0 a- H, B% r
              return 1;. k' u! r) y( p# {* G- Q! K
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    % X7 V( w8 B: p6 S- L) V 6 z+ K( S$ F! V( N
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    ; ^4 r! o& j, _      if (survivor < newSp) {
    & t( `' p" z" H* Y          return survivor;8 L. k$ x* {. E# F! ^7 C! ]
          } else/ e) F) |( J& S. Y" I/ d- t4 |
              return survivor + 1;
    . @+ O# Q, ]2 F  q) r! B  }
    0 J' y# v0 d1 i! c9 K7 Z8 a& Q. K: w9 ]( B, G' J1 @
    另外有个更简洁的例子* d4 Q6 w2 G% J3 G
      def josephus(n, k):. R% k  W3 C- K
        if n ==1:2 ^. i  k9 p0 I
          return 1: H/ k6 m, \# H
        else:
    # J6 ?: x/ `+ ^      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ( _( p4 O* m' ^: l( N  u4 {8 O7 D' U/ Z
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    : ]& L- {9 x' E; Y
    . V: ]% E" U8 z3 ?& X以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    6 w& q# _5 m6 y2 J; l5 A( A+ j4 t
    ! ?0 R3 P2 d: K0 d0 m
    , t5 J7 ~$ c7 C# M6 ^关于n的分析:, o% s+ Q" n: n4 m4 V
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。3 S) T4 q+ \9 Y; }2 u* u
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:- P+ s& V/ v2 k) a8 p
    , J/ E1 Z+ D' a3 Z4 f
    f(2n)=2f(n)-1% P4 [% \3 {1 y+ t: E8 y
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:2 S) P" i. e! E: N

    " x4 w. y- D1 l% e- N" @) Nf(2n+1)=2f(n)+1
    8 m& e  a: r) R/ D4 j& d) G
    * K* y5 P) x2 C2 w; o% @, Q6 p5 Q- _2 w! K* l
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:+ a6 Q/ v1 z/ `. a) W

    6 N1 T- U5 l+ N# l+ d. c8 _7 An    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    165 G" c0 m+ \: S+ ?
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    & W( N4 p# e4 n0 B4 y% {
    & B' x( `! q4 {1 i从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。! P% a6 Z5 G: H0 j; b: l1 H/ r  v

    ) s) m/ q' v! l6 H  E8 V3 Q0 v2 W; @定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    ( F$ z! A$ B  m4 Q: @5 C
    : S1 z! ^. p6 v# e/ j' C0 O" @% _3 z; p) Q
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    # g" @7 ~% Z0 N6 i# K兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看6 B' p: z, C9 y' p+ l, w$ a+ k

    , [- [6 R- o# J/ e# @5 x在 ...

    0 H" X" u' a: c' K我的推法就是这个:
    . P1 r; L3 K3 j. Y, w
    : \1 U( p. D+ W3 v  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    & w- N& S' g6 G: K: z. ~& s. h" m+ h1 ~" \; R) A# O) z' f
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。& R2 [5 j" v" e% I' i* F2 B

    3 C/ p, K: d, m8 H3 m2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    3 天前
  • 签到天数: 2154 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    * I- r7 ]% u0 N9 I不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 7 c0 b1 y- y: ?2 N
    看不懂
    ( b: _$ m; s" I' H6 |/ v& {不过今天不幸运数是17
      X% Y4 `' W/ L( i% y/ j# n
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。& Z) `" K6 |# J; {  s2 R

    % B' w$ H' h0 A5 O( {以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,315 r; l8 u3 G6 J0 {0 ^* f

    3 o, y8 s4 ^: a3 D; N13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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