TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼! d7 p+ y1 I" a! C
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
7 l1 M3 \! p6 `( [1 k# M T* C! m' d+ e9 U# y
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。5 N: e1 v6 T _. o8 K/ p; |
) K; }: L, m$ t8 E/ n6 ?, U; M- m
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
/ j# d6 B3 ?( o/ \/ v5 A+ r2 B; _: H$ C( W
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
. u% p6 I7 y5 v0 p: W
0 P0 G, d6 B8 p0 z+ X幸运数的定义' [# u) X1 A% l( \% g
FORMULA
5 ~& U3 w1 k9 S' \# YStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.: h# q0 o' Y) Z% |. E
( P$ }# \- l8 y# @8 e0 U
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)& D9 r. b% M& I
1 w F" U# n' m7 B2 }
初始,从1开始的自然数列:
0 T0 l! D' {* l7 C& o+ i! ABegin with a list of integers starting with 1:
m& {) S* ^$ N4 Q. x2 N1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
0 B I X0 r. ?: r- |/ A2 x3 O/ J0 E( D( m* ]- Z: S* V8 r8 j9 ~
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~: M( @3 C4 y6 G: c; n
剩下的数列如下:2 ^) ?! Z, ~ Y- s2 W- i7 v/ q
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:, T4 m9 a/ q9 N: ^$ C
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
% G( q$ I/ u6 M+ L+ u0 i
$ Z6 ]" H2 X2 W3 Y& n( x接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
$ [* k! }- K5 x0 e# g: VThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
+ F' r7 e/ S, F/ j! F2 o+ K1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
) ] y/ V9 K, Z* P; l d9 @4 W2 ~
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
- y. W3 B# o! Y( cThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:9 B7 d V6 f+ ^1 X
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
2 u0 E& m. \6 G6 w) l9 ~6 N$ {8 J7 o7 m' T3 B( k; v+ G# V9 H
接下来是9,……
1 l% j4 P- k5 s% c. P, J- q这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
; p) g) o1 T5 w6 O1 p; x1 L3 q/ k( R0 c
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
3 c4 E+ t, I. M d* l4 i+ X; \在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
4 E( }8 k5 {/ \# w$ l/ j上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
7 H" v$ `. J7 F+ W v1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……; F/ P3 f6 L7 c% V/ r m
+ j6 t1 N5 F# K+ O/ S有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?, l7 C4 H C0 K) q$ x) J
: `* B8 a! |3 `! r0 e0 Q) K
/ K$ J9 i0 j, V/ C9 E, @# W0 g6 \6 w; I
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。: y# m0 M) m' k: T- K: \6 H4 t
/ @1 j+ S s8 ^* R' Y0 l' S数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
' {- Q/ Z- u, ]' m; O幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
5 @5 V \- X3 m7 y0 n! y4 b% X另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。. b9 J- C$ {, M- P# W
+ @5 X+ X$ Z5 {+ `4 l9 o
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
) ], i, J+ u' p/ c: a. y
1 R+ c& d6 U1 ?7 _% M' \**什么叫做Conjecture?2 |! q% ]2 h. B4 `8 }" X2 m! m
**约瑟夫斯问题。 |
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