小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
" A" R) e- N6 G
( u  d+ {5 }, o- j: i他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

2 Z; l0 @) l/ X, C' x( U; ~幸运数的定义
# `8 }8 _! \5 q" a: a! c/ k, p1 pFORMULA       
( A7 T: ]+ l% Q# A( J/ ^" MStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
; a/ |" a1 G- U3 @" U2 C) [
2 A0 ^  Y/ k6 q+ J具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
6 m( M) P& X! Q* h
初始，从1开始的自然数列：
" @$ R5 `0 u. c* N' O+ {# U2 nBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
) t/ I# V4 H, J. z& m+ v7 t2 E8 r
5 h( n0 a- O7 j开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
$ r0 S/ g$ Y) N2 M8 ?  WEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
' I, j$ c% k6 C/ E$ _9 O3 l1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
- J) ~5 c/ ?$ i1 \; L0 {3 c
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
2 A  U& _/ y3 Q9 s6 P8 z& ?' L/ O
* @0 @( ^' ?! g# k* h" o1 H现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
6 j1 R, \/ T# D- y- }6 a
! h6 {% o7 p* C& Y1 {0 X1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
% i5 \" V" T, o7 Y7 p0 D在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
! C( H+ f4 f* s上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

2 f8 ]  b7 D" K1 q, ^( D! E有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
; M3 z; `! f. ~. T! t

% G! g) F0 Q2 P# {0 j
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
- F" M9 F7 H0 w' ?. t) M
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

& S- v7 Z" `! y3 w1 r暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

) b/ M7 H! Z7 ^2 J% u: Y& Y, b5 a**什么叫做Conjecture？
! {/ ~5 @! a! V. q5 \( F4 u" O$ k**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
. D9 M7 W. U* C+ B! V
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

# [! k+ c: e% Y  }猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

; B: O& N  U( m: e3 C" l假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
$ Z+ ]) r8 q" l
) X, p1 a+ f7 X6 R有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

( o& l" u7 [5 f2 O: n, g
4 x( \' t: I; O**约瑟夫斯问题    都教授
8 S3 t& x8 P& {: ?0 H
* \$ g" G5 b% u7 G' v6 F我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
; g9 Q& x* q5 X/ v: B0 z) o
5 d$ X1 d- D# a7 ~% y3 x问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？


---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
* F5 j3 W. d0 H) k; N9 G% e/ b
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

1 Y, K+ p/ p1 G) z& w- h我们来聊聊约瑟夫斯问题。

# C. z2 I: H) r( z! R1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
- [8 K6 C  U0 g
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
  V# T5 \# w7 V- p
) Z: E# V+ m$ l+ T" e# E7 l推的方法如下：
1 q: M% Z1 `* g2 q8 b2 h5 Y
n=1，就一号，跑不掉的
/ w/ G( ?5 `1 p, L2 pn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
$ b; ?6 n) [: W1 c; R2 n如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

) S8 r7 g$ n" S: B* ?" H
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

7 m  I' `. X1 w- _! v" @, U

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
3 y; Z/ R( Y9 L' ~: U( L
! O1 V, g) a/ Z5 w# e$ D0 W/ _7 x2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

# r7 f) O! E7 c3 P" U& R
9 S( l$ k" j6 t% r( [* L兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

+ O! P/ ]& v& D1 K+ F; w还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
  E9 }# {6 V( E2 u0 r( V  C. q! _+ V
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
" O8 h: A5 {% d7 Q* k! e
一个小心翼翼的Java例子：

  l! Z7 J; D$ J* j% J! g int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
: p* T3 k/ q" D5 }1 Y# l8 f  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
& h) u5 D- S+ F; m1 M      if(n == 1)
' M7 I% l) \( @9 O          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
5 }- c# q  {& h2 {' R
      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
- T4 B$ Z& D9 o4 ]7 _+ b* K8 F          return survivor;
; B0 Q5 a$ {1 M      } else
          return survivor + 1;
9 D% J- X! a+ H+ {% S* Q  q  }
+ _& }0 w8 y1 r* h, e5 F+ B3 @
另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
9 g$ H7 }, b* B8 o
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

$ s9 K4 x! I* _- b3 [
+ C  ^, l/ r- ^4 ?, f关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
7 H  V* G7 r! H* x1 p! l/ X. b# o如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

, z: ^- c3 E) y& a  L- i' M  ]f(2n)=2f(n)-1
" E. V# B: T$ o- q; H如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1

4 [+ E) i% d; \! Q$ T$ E
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
- @6 f8 d7 ]3 t: p2 D
/ ~+ b8 k5 ~, ]0 h2 R定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
( U1 v# ]- n8 o6 S6 ]$ x
在 ...

; V" y& y" |+ S! @5 @; E; t我的推法就是这个：
0 q8 @' w: d9 }; R2 i0 ?: E# z
/ v" P& R7 F( r; ]5 s0 [( ]  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
  O! e: u. j" b
* u7 b, K/ v+ ]( f: \3 m我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

7 |* ]- v8 t. [1 I& A6 O2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
/ w7 j6 W) v2 `不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
1 W+ }' \0 F) b' z不过今天不幸运数是17

* Y* c. b; D3 y8 i4 B7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
. u: N4 g- _4 D: o4 E
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
, U" K" T9 Y0 `1 }
" m2 q8 `# Z9 o6 M  |1 S13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。