TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
- d* O- @6 d# g! W; h; Y; y- m看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”- k7 `$ k0 W: L
1 h- a. `% w5 m: U- v他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。1 S% K$ j1 m' ~' j# z4 o* [* @3 d
& w% H& j4 W4 V' g& g( ~1 N所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
" `! T- l$ a3 W+ G, A3 e0 L+ R) k8 j G" v
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.) v+ I( S8 H* }+ x0 z9 B1 c
) D4 W; c3 c$ a! d4 K- v
幸运数的定义
/ c8 V. U1 ~" }4 c5 G. {FORMULA # Q% ~5 j9 j) @6 z k0 O
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
6 }8 m) c: O7 Z0 F/ P" B% ~! K" u4 {6 ~6 D5 j
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
( O' V- m1 n# g( _1 X' D
2 S8 _! @/ v( ?7 n; W- T' f初始,从1开始的自然数列:
9 X1 [5 @% K( u# g- f, f1 gBegin with a list of integers starting with 1:2 N! Z" u; z' }& \6 r
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……( V9 N; y- p% R" Y) x {) `! _& _$ U
) K9 S. L# L* W/ e0 H' L4 J开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
: @: h. W* e: s4 D0 J5 o3 s9 `剩下的数列如下:
- e. m- m0 N: w, P& q, bEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
- s4 P7 _% Y+ m8 y1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……5 t7 t* U8 u- l+ t
3 d$ }8 ?3 P! H接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下: Z7 j1 q5 h% ~) I5 ~2 I
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
2 d' d2 e) H8 z& ]: \+ A1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……8 Z' H- u% M2 n1 @' P
+ U+ P% K" V) q$ h- k$ C& }) ~1 i' t
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
7 T: j, q$ m1 _! D9 i4 R: j$ @4 X d% OThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:# k$ k5 B, B; M
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
1 S9 v# _+ V3 L& _) ~9 {: H6 @& M: c( x
接下来是9,……
$ a% Q: B8 m1 Z" g7 c) D这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。+ Z. i5 t- D2 s& H- A
3 S6 U' T) Y! ^9 Q
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- ?$ |0 A9 C% W) @4 c! E. z6 ~* E
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers3 G2 F/ }- M& { L- n, h2 C
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:! n/ ?4 L* i+ F. W6 J s
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……7 I! z: I5 S) V5 [2 ]3 k8 M& |
' Z* u' v) g" u8 u; V+ C& ?有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
% B k& I: }1 }( N ]& p+ R' {4 A* V6 I
# `4 N. T9 s9 i; r
2 ` i v+ K/ @, |; B) H第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! ?. D1 c. q: I0 U: @
! F: e& f( A2 h- p& K* y- }* n. Y数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。( o- k9 X+ e1 R4 V& T3 n
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。) K- n4 I3 E; h5 `* k
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
, x- `6 f; \, N5 {( Z) @; G
1 o# I5 \7 D+ E6 U3 u, f暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?6 W$ Z1 P: X6 `! A8 U% e3 z$ o. b
]+ c7 B& E* U `( }
**什么叫做Conjecture?
% Y/ G _5 L7 S: v$ M: M( d**约瑟夫斯问题。 |
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