小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
( b& W9 |( [# ~3 I( m  F
% M9 b" h) p, Z# S所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

6 J1 u3 I1 |6 D/ x- OIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
) z3 @/ R! h  J: |7 c) i
# d/ ]7 H0 y  t9 V& [幸运数的定义
# B6 O( [* E) GFORMULA       
( k/ M3 A; d, {# bStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
' Q$ }! ~+ H: k4 m1 y) o/ H
0 @# B' H) f+ u4 ?: l/ |具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

8 n* F* v3 N9 s0 O+ r初始，从1开始的自然数列：
% o' Z1 v- V( y  jBegin with a list of integers starting with 1:
$ l- Z' F) K3 ]! C1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

& y9 [( r2 W( c0 D9 {7 t开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
4 [* b7 i3 r2 J) b' v* M剩下的数列如下：
. z; n/ w3 M$ s0 ?  T! p/ hEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
5 ^8 L5 ^- x, m: M# D' o1 I. o/ M1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

6 ]2 N% M! X  d% D' L接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
* L7 V+ N2 P" \- i6 _
5 h4 s* `, S3 _4 U! f# r7 ~现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
6 P( L. ^. C8 D" t' J4 B1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
, e2 N0 \: R) C
4 U: O# y) X0 u接下来是9，……
+ F- _% Q- [+ v5 e3 n( n这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
: V: O; ^' y, s% q( X2 k上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
$ m6 X! t' G) C6 |* \7 J3 c* Q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

9 K1 u0 g( o. n: y# p# e有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？



第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
/ m4 d6 y9 \! l4 o
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
( P6 r  g/ s: c幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

4 S2 A/ X7 [/ l( |+ o' I暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

' n& l5 M7 i* Q' {**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
1 E9 ]) B8 Y5 D  z) u, f
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

0 ~% {% i% m" T& Q& l; r% _当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
% E1 q  {8 p2 G
* L3 m" W+ Q. `8 V) J, p, X有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

, B& v* X2 h4 y8 I! `**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。
. T3 g- ~8 r9 d8 y  J$ q' {8 S; e
2 n3 t" C: Z' K+ h" A有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
2 E5 k/ I" V5 f$ X0 A3 G& \# W. G

% b# h% W, J" Y; K7 ~---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
2 W6 ?" O0 H4 l7 x* L0 y据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
+ I" g" }7 G. x0 w5 m这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
; [1 q- f5 ?- R8 L
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

( u7 K$ a/ M& Z- R# F* R, j1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
0 w3 f8 H- T; e# l
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：
1 |- e) k  S! I9 n
n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。


" \! p6 m& N; ^. x( k9 }我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

9 h% @+ [6 q2 X! h6 f: U
  Y& P6 g4 O1 d% M' A2 _3 w  H& Q兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
2 L: Q  |/ c- l
- E* i* D1 y% s" R) ~在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
3 P1 e% G$ i- H! i/ C
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

% n, e) ~0 L& `-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

2 Q- B* G. W  M7 j/ X. b一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
, a# f' p0 S7 ?; y8 g; u+ S        return josephus(n, k, 1);
  }
3 @/ P1 H/ H7 K# a' m  T  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
& l  F0 y" [# [& {$ J      if(n == 1)
* L) f/ h& X0 z3 Y          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
! J# m: c: O, q, y  N9 Q      if (survivor < newSp) {
0 r" ?0 X8 ~5 E" n8 w2 e7 {          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
  }
% H3 H+ X+ e" Q, w
另外有个更简洁的例子
/ O* o! W1 N4 w  V9 v  def josephus(n, k):
: q! P$ s6 ~$ S    if n ==1:
      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
8 t$ n7 a. D4 @8 [
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
" [4 u3 _0 Y% j1 S3 p0 w

关于n的分析：
& ~- t/ j. X" t! a5 V3 H5 D设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
5 ]& n5 ], J. k" G! a* ^如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
6 b1 d& i4 u2 }7 K
f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1


如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
' D) Y. o# r3 K5 z  Y5 a7 `- }
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
5 p: l+ x/ q: s, h  ]
6 y( B- L6 Y5 o  ?" r从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

- P  R1 A5 L# Z" @定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
, l; a- g% K; W' q% B

7 \8 M9 r, Q& X: V, T- _0 E3 E7 c8 v答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
4 K* A$ A" z* {3 x( ]6 a兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

我的推法就是这个：

4 a. a' n8 G% V3 X; I  j  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
. Q3 a/ H. c8 [$ E( Y8 W' R. g
- C' f* r9 g0 w; _0 y我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
* e0 O& R4 ^& R1 `* W
3 I  |, F  b4 C, v( ?" z  U, e2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
8 Y, _1 [7 P2 p# o9 L不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
8 ^( W- n( c" l- N) L, r看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
) ^% P  H7 f" ]4 c7 N
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

* n. R5 d6 H6 k& D! H5 a13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。