TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
5 j& Q0 a8 U2 S0 ]8 ]. `看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”6 F8 [* d2 [! o- k j
2 ? o5 K" z' M& P! G7 r8 i% F他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
" r- @% A6 \6 w) f q1 b6 |% Z$ E Y! X5 u% N
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ I% a* M- d8 ]% d2 d
v# S3 ?0 _/ y/ R# E' a
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
& K8 x# d: j! q" p8 ~8 A/ O: P8 j
7 h/ b4 n. R: b E. J幸运数的定义
1 G0 E& Q1 L& P8 u5 \. t8 Z) nFORMULA $ b0 A% W- `0 e8 ]8 f. ~
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
* t/ C# M2 s8 y7 d/ s6 _2 u2 l+ O o0 @9 x; x) {
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
8 G A. z+ o- f6 x: G
5 u) d; o) z% \7 {, x初始,从1开始的自然数列:
% R0 v: q2 `- mBegin with a list of integers starting with 1:( z6 m6 V- v+ n6 P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
6 }/ M& y4 d) E: f/ Q N
8 _8 i. I$ V1 H( _! z2 {0 k开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
5 p/ }3 M% \3 i/ n) w1 R9 k5 \剩下的数列如下:2 N: e L A6 e. a
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:6 J9 E$ ^( w( F2 `6 o/ A. r; W
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
+ t! M: @. r8 G0 m5 t
0 R c c! r% t5 W0 K接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:4 n# I* v! U1 j0 v5 ?# }
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:: K) ]0 i; [" g) t- \: U- I
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
0 d0 E2 s% r/ ~9 ]) J" C/ I* \1 H% W: ^* p6 n9 L/ X; U
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
" J, o8 |: F9 M1 S3 A. i- _5 GThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:8 a2 s7 A$ z# O: Z; c0 m3 Y9 z
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
2 h5 v4 ~6 O g8 J( ~ _# m' U. J M- g3 N
接下来是9,……
, S2 |6 @# E8 J, m! u( K, h, j* {: Q! ^这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。7 ]! O1 I, @' z5 I' u# e' [
2 Z! ^% l" b( H" V( s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' _- L5 ^1 e5 O5 @" T2 n, g; P
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers$ Z: j8 W" ~; G$ _
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
0 k) ^$ A" Y O [% m7 I1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……2 b7 \1 G' E8 G1 J
, E# G& a9 ]0 s. W& K$ ^, m
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?# P* h+ R) Z9 b+ ?
7 k. v& m5 G( N
4 {/ K' l+ v S* l6 G* p4 \# b; t0 M# Q" d$ o7 e' A5 u
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。8 s- x: a! W( R( u9 g
0 l# b2 X6 d4 [6 J3 P+ E$ E7 ^. C& t数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
( m; q# B: a# o2 F幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# f p$ X2 b: I: A
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
5 D, Q5 T3 ^/ `5 |' T% d6 X+ W' Q/ d* C3 q/ S9 z- i" m+ x. @
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?3 L3 X, z8 Z- u) S3 W1 O2 w$ _
0 z. _$ ^) I6 R1 f+ E: a
**什么叫做Conjecture?% ~7 ?, n: p' O6 |! o1 H4 f
**约瑟夫斯问题。 |
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