小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

- d- k7 u! d( ^* z! X! u他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
4 Z6 h1 X9 d5 a
% J  I2 q$ s' u0 g, i: W1 V0 n+ P所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

4 ~# U4 R/ s1 L幸运数的定义
2 z4 D$ x, r! `0 c" pFORMULA       
+ {$ A+ o9 p% p/ ^/ }" W( F  cStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

0 _. |  ~' B5 V具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

5 b- }, m' }& c; o2 Q. H初始，从1开始的自然数列：
4 ?) W1 Q9 n2 S- I/ k% Z" b* p! {& ZBegin with a list of integers starting with 1:
% D& L" z& H6 }  O: x" G; W1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
! k7 U% f# s2 l9 l
+ M0 @9 R! e0 }% d1 Q0 g1 M+ W开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
2 M2 _8 V! |1 Z) Q: dEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
+ y2 c8 E1 H0 O  l1 }3 U9 K: |The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
& c8 {9 i6 I; f! L% D2 B1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
$ L9 T- ]: n5 [6 [( n
' R6 E! V9 M& ?; N. ^现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
3 f, [8 q+ d! ]' h& {The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
* }' [" x* q: i: D; A6 O; A: C, i0 s
接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
7 i0 b$ b3 y5 c9 F1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
8 [  V: P7 x) k3 b8 R4 y
2 _' I0 L6 }1 A& B) l有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

7 e; v7 z8 w  O8 {6 ~3 i( _  ?- H

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

# ~/ u$ j1 ~1 m2 R" H5 w. S**什么叫做Conjecture？
9 M$ _  c1 D  p1 z; c3 u- i) m**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

% s" J; v1 V& Y3 Z& j4 |猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
! F* {- u: n9 Y! l: J# b& s
假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

. f) T( E# v* _& O, W9 G+ l7 C
**约瑟夫斯问题    都教授

& ^; i6 C8 U9 t* b2 J! U1 B我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1 r" [/ n4 b" v5 K有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
, c  V; x- O4 K3 J% p& S0 F' q
+ ^2 C& F! w# l问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
7 u- {0 A! w% g3 s/ x5 ^

, u: f! a: G, E, D---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
2 {6 q- w' U0 s- r' t5 g这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
2 r- S. E7 x: [- N5 f" K$ R
7 F5 i2 v+ C! k0 Z( W我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

7 C! R1 b: K0 K& u# p2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

3 j7 i. R; z3 K9 v推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
  N8 H$ s. ~6 S* r' S% w如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
/ t, D$ C8 \7 ?; d: K( q

4 x9 I/ v; F5 O9 q: ?$ n' v我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
4 a: J0 x5 k- j& r( S
: p4 X, |& j. P2 @- L2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
0 A, d  v* [; M! t
4 K( L/ _0 R4 x在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
2 O) Q, d/ ^$ e* _
8 o3 D: b1 C1 G还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
3 M. g$ k6 y/ Q% @5 y
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
4 d; i/ e2 b+ f8 U  f
一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
4 L  G" O7 d9 f( F2 Z        return josephus(n, k, 1);
  }
6 ]6 D- O& O8 I  Z) z. X( \  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
* C6 m' n+ e7 y* Y2 U. R. i' s# y      if(n == 1)
          return 1;
7 x  f- p, l( l' z# J$ P      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
+ i8 J8 [# M) z' a% w0 ~/ W& {, u+ m
; p% c, i, T- E      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
9 y- b# E) u  w+ M+ n* ?" g, O      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
7 z6 m# H/ W; z5 j8 K, q      } else
7 d* [: }& s, k# x. Y# k' ?2 m3 O2 G          return survivor + 1;
0 _& [6 o$ l6 A# W. P2 W+ }  }
' G# M7 y* f' W5 O, ]  c4 V. S
( M) |% o; j0 W* j5 _. ^) f  B另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
  W# D* r/ R4 y+ a: b' f    if n ==1:
' m- t- O/ q. f$ v5 ], u      return 1
6 C. R$ t( [9 o2 [    else:
4 i& u: l. s- D      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

! M( i- L7 J. i/ A$ g; Y8 {9 A（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
; J& m8 P) t% I- D. V7 I
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
' ~6 h& V- f( k; Z! R0 i4 ^$ ~
: @( k- ]4 X: q: K; J# T% Y
* i& q2 ]" O  p" d/ L6 W6 y关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
& W, I  Z+ S' H% n4 c如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
# k5 {2 M: V5 l! }; r: ?) T如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1


$ I8 \% z; ?# S! H如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
( i+ B! {; d; Z' z- Y2 J+ h( l/ y/ ?f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
  [9 V: \& T$ w3 @/ T
$ m$ A) ]$ W5 m) b3 ]; e. J定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
5 }% ~; }) I! H' }- A

答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

% E" L2 s- e% ~8 E在 ...

我的推法就是这个：
$ b# l) S, ], _/ k+ G1 A2 l
- L5 Y. G1 z2 f  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
9 A* y# Q" e6 \) m0 X0 u不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
  }% q" L2 A% i! Z0 [2 I1 N看不懂
. x7 Y2 e3 M+ u0 Z不过今天不幸运数是17

( V( f( S2 K1 C4 S7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。