小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
, B  m' Z. x/ W. T1 u/ c$ ~看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
0 D4 E3 y$ F, A( O, |
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

- I! [( n; F4 q0 jIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
8 f: _, A9 U& a0 l" O9 |
幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
3 s0 @# l% }: b2 V' IBegin with a list of integers starting with 1:
- i' O, p% v+ e5 x4 b( g1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
% N& i3 _) b( c  g
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
+ ^5 d; P1 g! N, M1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
& R. G2 R! E: j1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
& O/ D5 N0 n2 I$ L3 K
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
: {* w+ s6 X1 X$ V% f5 Q6 i" [- C1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

2 q( V& M  r) r& n0 b2 e; C接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
3 f! G) n2 u2 s& D7 N
) L6 }# {# }  Q8 P/ M1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
  Q1 E# J$ t$ x$ k4 Q' a上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
2 v' E+ F& L. ?7 z+ p! S* t! W1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？



- U) g5 G3 B$ e, R第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
0 s) o% ]: v3 H/ ^7 x7 b0 q# @6 e
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
$ f0 g% e* [& D1 f1 v1 u  K另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
4 x4 m! }( M- h/ A4 p; @
" g1 {9 Q) e) h7 J% i猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
' T6 j. P# z  Y# \
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
5 O( f# C/ B% j/ _% F7 x
; f7 B' G! F( L' b1 y3 d; E猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
, G) Y* E9 K. b& j; s
! o( d% g) I9 _; ]4 ?- \1 x假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

  N# p, w* S. D) u有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

3 S5 z2 Q& N" L% [: u% _0 B
0 |* N$ v+ O, K) A3 B**约瑟夫斯问题    都教授

! y0 u9 b1 d! j2 ^4 z0 ]我们来聊聊约瑟夫斯问题。
- G8 k; ^' B% L7 V
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
' m) ]2 K! i9 ?+ \
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

. ]+ v9 f6 o6 G) }  C1 f
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

/ }" ?2 v0 I3 P9 p# D( a. H---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
- R( l5 ~$ r1 Y' t, N据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
7 r  ~/ N  g6 _4 E5 u* A**约瑟夫斯问题    都教授

4 H/ ^8 n; K' r3 v8 U" S( i我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
3 f' [9 X! s3 J: R% x/ L; c9 j
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
) C4 Z4 }% o, b
推的方法如下：

! s) a8 S- B2 r* A1 G0 d  ^$ e7 Mn=1，就一号，跑不掉的
9 x9 G+ \$ a) s; L% g! a* y& Rn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

1 p# }! e2 ]. }5 z' {& K, `0 F$ A6 E
' l9 }( z) o3 Q我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

- Y4 T5 {$ }* k, T3 `3 X" {

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
$ I' S! n) {5 l
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

6 V4 A" n8 s) @0 `% X- D2 J+ ]
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
9 v( e. p# T' g$ N  P- [+ C
在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
0 O% g* Z- j& w+ i. J
9 M( V; L" v! N8 e9 n7 q& c还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
) k* e9 o' Z) x
2 |1 n5 ?$ h3 V0 o8 r& C5 E5 W一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
: l' h- a$ T4 J7 I% \        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
. i. V8 F: A- A' X% Y0 P          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
9 ?* t! f/ Z* R0 c  }
/ Z) a) K! K! U  @  X( a" m( [+ b
另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
+ A# s! V7 R( b: K  G    if n ==1:
5 n( c  U9 M3 a4 Q5 t' z) [* C      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
5 d2 w7 X& C( r  i
6 q+ R- U" @/ ~/ s, F以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

8 m; {5 \7 K7 E) \" c2 R7 R
关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
; y, c9 F6 l- w5 u6 U4 u如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
5 n& P) B& d% f' B2 f6 w" F8 [
6 v0 T: c5 |8 x6 w+ h* M/ x, N6 Yf(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
  i* b4 D  `1 K5 N6 Z7 L
f(2n+1)=2f(n)+1


如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

5 j- G8 ]: `4 e& C# t* P4 ^+ `n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
5 q9 M0 X- {3 Z- ^
* `5 E4 J+ v3 W# e3 z8 @& S: ^: \定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
3 _: K. n- k5 u
- s. ~0 x7 A4 [( B& I8 N& c
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
0 g: T+ G6 @0 p* f8 [: }: s1 I
& P+ s* H8 \, J& I+ d0 |; G9 C在 ...

我的推法就是这个：
% H& n( g; y: g( V% s
; {) t$ A& ^+ z  ?8 O( K- @  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

4 O, r0 w2 r4 P  y: C0 W5 B我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
% ]5 Y+ [$ A6 @+ I2 e
" |2 p! b4 U, |( y, q* p4 o2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
  s) a( v7 M8 n; {+ `不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
9 R& N3 Z& B! Q1 K. K( C7 ]看不懂
& s: d0 O, f1 s6 t; S! r: L不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
3 K+ G% n% W+ q7 u) z
4 G( v3 N" u7 j2 ^" b# n' X7 y, J以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
& P6 j5 @' U* {7 T5 [( E/ b/ J
13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。