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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    + W  U: t% B  ]9 _, `* P看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    3 h, T, \  y8 ~1 i6 A8 t" _! Y3 c
    0 l) j3 y/ r" C他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ; u, j- O1 t) U6 x3 n
    . m; q9 i* z0 L7 c/ g$ k4 P2 Z7 y" z所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    ! [' T( P# T1 t& R: I; h5 A. a7 x+ ?3 A/ w' y/ x3 o
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.2 E  |3 o) s7 b. r! y  Y
    & c( U" [. W" Y
    幸运数的定义
    $ y; _6 |( {! }9 FFORMULA       
    7 e/ K- n8 p7 [1 U1 [+ NStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    # H' K. c; v- o/ e; k; a# J9 e( r/ M7 i2 B* K2 Z
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    ) M5 N- n9 X9 N0 k0 O( f
    - J( N7 @3 F6 T3 P3 V7 f初始,从1开始的自然数列:
    1 ]3 z9 W: a6 a/ a* ]! p0 I3 eBegin with a list of integers starting with 1:
    3 e; K3 `* X! J( f! l# B$ Y1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……0 t% Y3 r: P/ c  W9 S/ T

    / E5 `! G- f- t. F8 G  ?开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~8 k! j2 |) [7 R  x6 f* s# ~
    剩下的数列如下:
    & x4 m" T: `4 uEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:5 ^: J5 i8 K; J
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    9 q4 w) c4 _# _6 e& g: I' j1 p
    ) o& {# l  U$ C' W- W! q3 [接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:  T& F. J+ @2 i
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:9 C4 ^' T$ y; @7 X4 Q2 h
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……; k  H% x( L, Z( r6 F

    2 r+ I* X, u$ W9 B7 p/ b- W现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:* O0 H: }9 V0 {' Q4 H
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    4 |/ [& H1 G% a1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……( b7 m4 _& |7 P# O" Y) s- _

    : h' b( q" q/ X接下来是9,……
    , b2 X  w+ `1 O% J1 j0 ~9 N& k$ ^3 G这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。1 ]6 ^2 }% G5 c5 H# L! A

    1 R# [1 C5 e5 `! D- f1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS)." m2 N0 Z+ G  D9 j, i
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    # k; k( g' h1 M# u& j' N+ D  L) i5 [上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:' E$ R- e* s- X4 ^
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    6 v5 Z- U/ k4 o$ f: l$ I! Z% ^3 C
    & b: X* h, h8 E1 l6 j  s5 j4 [有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?) _, v# Y0 k' ^5 C
    " r% k/ K  f6 ~4 t, x
      x3 F7 P1 J) J
    % U: ]) y/ @; m- A! O/ |
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    + h4 S: G, y2 _1 L
    & b7 D5 V! o9 {  e数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。( ~1 T. C) r/ n# o# ^3 h9 v# B/ x) M
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。3 R" @' s$ Z8 G7 _% e& @
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。5 M) v! f5 h( j2 A

    * I, x: Q( K* W* W4 y暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    ( v9 r4 U/ Z, q7 ?; e. `
    ! Y5 w* I# h& y**什么叫做Conjecture?
    & t" ?" i9 d3 o* i**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    + U% E. z, L# I1 N& A6 u& H4 q
    2 M" s9 `8 C9 X6 T! T4 r$ U猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。% ^" J* a; n0 n, X- ^" l3 T
    ! ^+ u; g. {# l. k( H5 r: s
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    6 E8 ~7 b; b6 E$ J$ q( ~6 [" S5 n( x4 W6 T& n
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    7 J; Z, _( b. b2 \% V* Z/ P5 J' e# K/ S* O3 z
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    9 r# V/ a/ O6 B* g5 _3 e1 T+ C, q, H- Q! |3 W! P
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    ! y" ~# v6 V5 _: W" m6 z
    ; K8 L: ~8 v2 l5 R  `( O9 m  h$ Y**约瑟夫斯问题    都教授 : `9 t# P5 }: s4 W( Z
    8 I! Z1 m  e/ J! q4 s
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。* }2 `! o# e7 H, R

    1 P/ p/ T, g+ a$ c+ M4 j1 O" p有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    " [5 m3 ^1 A" g8 k- K
    7 r5 {& ]1 [+ L; E0 V' O问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?. o! x- F2 d6 h0 J; ?* |

    ! i/ w- @. m3 _" [# {8 S/ G% ~2 p; H; a6 Q% ~
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    * f/ _2 h8 s) C) f( w* ]+ p$ b据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  % s# q( m- g( X; G4 W7 P

    # P0 X9 ?; o- V! ^---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    & C$ n6 R+ w# k4 Z7 s$ g/ b* C这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    & P; b- ?8 D3 B+ J4 o! a  U据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 - _7 m% t# B: Y
    **约瑟夫斯问题    都教授 ; `7 y: g. u7 _( |" C
    $ _% G% @$ B8 P+ {0 Y' I; p
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    ( f. x! f1 i$ G1 z1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!. D% A3 v! C8 j* |1 ]+ U0 @

    9 Y& ]& P: z+ X& m: {- W- ~  T* V2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    * F5 ?( C) I8 C& b! j4 c+ o' h: S( Q: d4 y
    推的方法如下:
    1 J5 j5 o: i" r! h4 ~5 W! u: V2 `' d* h/ t5 U" Z
    n=1,就一号,跑不掉的0 [5 a& C# y; @
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    - b( W% {# q8 [如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。7 _8 B+ t- [% g* ~% j, x
    2 V5 |/ ^1 h* ^+ U

    ! ~- r2 k( s3 |  m/ K) G我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 ( b9 k6 r9 x! G) m& O+ T
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    + S- C, W5 X- G$ c8 ?1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    . L6 u5 P0 X5 K" z8 X
    8 P) D$ C) S7 r# ]; r. L2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    5 ^; g/ a2 M# k8 N
    5 i# {/ ~: M- n! p. P2 H兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看7 L# U: }' L, y) z
    4 V: E, l! S+ k* K! q& `/ e( n
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。7 V. g  n$ \; L! H' _# x, R

    3 i+ ?$ K" e3 g' L( B还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    # p: G# x' R8 D7 P, z2 J
    * V9 u0 N5 k% |-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    2 R5 ]/ u6 Q- Y2 k, ~; G4 g0 I: t, o
    一个小心翼翼的Java例子:/ Y1 @/ e9 m1 c: u
    * S+ t9 T+ L4 @
    int josephus(int n, int k) {8 Z' O7 m0 Y. a. Q8 O; e- k2 ^+ b
            return josephus(n, k, 1);
      M+ g  A* u5 p8 k9 f  }
    / V5 I- ^0 |" N  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    0 R# W  j6 ]! A* w7 f! B      if(n == 1)0 K! p* ~. Z( R* p% ~
              return 1;0 l$ i% F9 h* G( ?( m! z: ?
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
      Q; a$ ?/ A7 t+ G* a 1 @9 U+ n. B9 j  H
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);- Y6 \1 k" ]  @# v
          if (survivor < newSp) {
    4 _4 @) o2 _, L+ O6 m0 K- |3 j          return survivor;
    3 [! [  Z& ~: C  P2 t" O      } else& h/ k8 `9 Z+ x+ X/ I
              return survivor + 1;
    ( b  a2 V& {/ y' I  }
    $ e" E, R4 f  z! [
    0 t* ^, s8 v6 ~4 D9 B另外有个更简洁的例子7 @" d" d$ i' |7 O9 f8 F
      def josephus(n, k):
    8 n2 L4 |* v. N( c7 m    if n ==1:$ e' N/ i8 A2 m* @
          return 1$ u- X/ b5 E0 |+ D8 O3 [5 o1 Z2 U( N
        else:
    1 e5 c8 j8 o0 a1 [! m      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    : J6 W, h3 X+ }1 ]  z" E& z# r; h  L; w0 X7 u
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?), R! S( Z. n' O- Q

      i( e$ z! o- t6 g: N以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution0 B. p# H$ y  A: u
    * L4 R! {  a; v4 z  G4 I- A

    . k' l8 h8 C+ P; x关于n的分析:
    6 ~7 n1 O- y1 p设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    , |* @/ O& z3 R* |3 y+ X如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ( ~& u" U: X9 E- z+ ^: z' |5 {8 S: V8 e2 d. `
    f(2n)=2f(n)-11 S- T1 z) ]& R/ @
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:# s8 Y0 b+ j& Z6 y( y; l% j  C8 v! ~3 y

    + }, ~6 s8 k9 I+ Kf(2n+1)=2f(n)+18 ]8 C4 ]9 m+ @/ A
    : A4 Q8 |6 M/ J5 p8 S& }0 @2 i5 V

    / l9 r6 G' J+ O# ?3 {) ^+ o如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:: l2 |( ?, e( e0 l0 ]
      ?( }0 ~9 U! i7 a0 S) {& Z' S
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    8 v/ ?. b# g8 af(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1* u: q, n$ }  ?, N

    , E4 H( Y% l4 |; G5 r, u从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    , n$ P# {- _7 V, H+ ?6 z3 K; H1 O  x* @6 }9 K
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    % B" C8 j. E1 @/ c! \8 j7 K# W6 g. f8 w

    % B1 i% ]9 x4 a- }' d答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    % A6 L0 k! K  U  `% c: |( Z兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看* \! V9 W" b8 e5 p( U

    5 w. I1 G7 R$ @* v9 d6 a; P在 ...

    6 S8 f; O+ b/ O我的推法就是这个:
    1 c2 d6 \, ], F, m1 |0 i( L/ ?1 Q& O2 @
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1) l: b7 v( ]0 G2 d$ v$ e) f
    ' ^8 f" \1 q# H3 H; {/ F/ ]# O
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。1 L) S: l& L, e+ v: m! [/ a
    3 |4 ?7 G+ l3 p/ J: d9 b
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    3 天前
  • 签到天数: 2029 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂7 l  K$ w' L6 v3 k
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 ; u8 x0 f. y; g7 s0 y
    看不懂
    8 ]" q* m% f/ l4 d$ t不过今天不幸运数是17
    : E( O4 ~5 f+ W( r7 U. T8 N* A
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    ; ~; i% E6 h( o8 }5 F+ M
    ' K+ F3 F: r9 Q, n9 o以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31$ k( X" F8 x/ t9 h% F
    3 D- O% b- w  ^6 b
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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