TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
+ W U: t% B ]9 _, `* P看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
3 h, T, \ y8 ~1 i6 A8 t" _! Y3 c
0 l) j3 y/ r" C他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
; u, j- O1 t) U6 x3 n
. m; q9 i* z0 L7 c/ g$ k4 P2 Z7 y" z所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
! [' T( P# T1 t& R: I; h5 A. a7 x+ ?3 A/ w' y/ x3 o
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.2 E |3 o) s7 b. r! y Y
& c( U" [. W" Y
幸运数的定义
$ y; _6 |( {! }9 FFORMULA
7 e/ K- n8 p7 [1 U1 [+ NStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
# H' K. c; v- o/ e; k; a# J9 e( r/ M7 i2 B* K2 Z
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
) M5 N- n9 X9 N0 k0 O( f
- J( N7 @3 F6 T3 P3 V7 f初始,从1开始的自然数列:
1 ]3 z9 W: a6 a/ a* ]! p0 I3 eBegin with a list of integers starting with 1:
3 e; K3 `* X! J( f! l# B$ Y1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……0 t% Y3 r: P/ c W9 S/ T
/ E5 `! G- f- t. F8 G ?开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~8 k! j2 |) [7 R x6 f* s# ~
剩下的数列如下:
& x4 m" T: `4 uEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:5 ^: J5 i8 K; J
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
9 q4 w) c4 _# _6 e& g: I' j1 p
) o& {# l U$ C' W- W! q3 [接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下: T& F. J+ @2 i
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:9 C4 ^' T$ y; @7 X4 Q2 h
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……; k H% x( L, Z( r6 F
2 r+ I* X, u$ W9 B7 p/ b- W现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:* O0 H: }9 V0 {' Q4 H
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
4 |/ [& H1 G% a1 3 7 9 13 15 21 25 ……( b7 m4 _& |7 P# O" Y) s- _
: h' b( q" q/ X接下来是9,……
, b2 X w+ `1 O% J1 j0 ~9 N& k$ ^3 G这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。1 ]6 ^2 }% G5 c5 H# L! A
1 R# [1 C5 e5 `! D- f1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS)." m2 N0 Z+ G D9 j, i
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
# k; k( g' h1 M# u& j' N+ D L) i5 [上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:' E$ R- e* s- X4 ^
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
6 v5 Z- U/ k4 o$ f: l$ I! Z% ^3 C
& b: X* h, h8 E1 l6 j s5 j4 [有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?) _, v# Y0 k' ^5 C
" r% k/ K f6 ~4 t, x
x3 F7 P1 J) J
% U: ]) y/ @; m- A! O/ |
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
+ h4 S: G, y2 _1 L
& b7 D5 V! o9 { e数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。( ~1 T. C) r/ n# o# ^3 h9 v# B/ x) M
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。3 R" @' s$ Z8 G7 _% e& @
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。5 M) v! f5 h( j2 A
* I, x: Q( K* W* W4 y暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
( v9 r4 U/ Z, q7 ?; e. `
! Y5 w* I# h& y**什么叫做Conjecture?
& t" ?" i9 d3 o* i**约瑟夫斯问题。 |
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