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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼8 k) T9 n8 _+ v# N4 w( l; m. X
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”/ {3 _; d9 s$ i

    ) f! X- S* I. p" u3 a+ G* S他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ' ?0 X6 g1 G' h" i8 i6 T+ Z" I" V0 N: ?
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。, J1 Q3 A& V5 `
    . Y( ^: e3 o) K- p
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.! k6 k+ n5 l0 P2 Y" e/ _" x( {  J( i* Z

    $ j% N& ~" f% C+ D( Q0 v7 a幸运数的定义
    9 ]1 o6 J7 w/ c& y* DFORMULA       
    * e3 ?/ `. N) YStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.& H7 Y" X. x3 {, ?  b
    / ]: S3 n) G7 m: O' R3 j! j
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)& O2 B7 E, g  @  T, g( K

    ( w) O6 C  v+ J' E" B初始,从1开始的自然数列:% D* g  R) b. d; K" m
    Begin with a list of integers starting with 1:
    # o# n% k/ F! t5 T8 z6 ^0 C1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    8 a4 M9 r. m) S/ K
    7 Q7 w" v9 x- C开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    2 H2 w5 R' O7 Q9 Z$ q剩下的数列如下:* L: \; D7 ?& [0 S
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    % o9 n1 Y, z* R. `- S# o! N1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……3 u+ H* ~9 }8 t
    0 h/ B! z1 b- z/ V( {9 C
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    0 w4 N+ o( G* A9 F  M4 X$ gThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    8 [3 i! b2 {4 n! |1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    5 f; T, b6 X; x, p* f9 H8 J; H8 p# Y9 [  y  C+ R. P
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:, |+ g! b4 `2 r
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:( Z: ?& g* d9 A4 e. M. |4 R
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    ) s* Q/ v8 a2 m$ ~6 _
    5 j4 A* l5 J0 q8 u2 E接下来是9,……& W4 \6 B/ h* c- A: b, Z
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。& U$ w' V: S& z/ H
      H5 l& ?" O; W5 \
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).& R2 w& M; d, t: n2 i) Z* G9 s3 Q
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers# Y, J! G% ~  w+ `3 `9 Y# n" M! H
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:5 U5 w' z: U0 T1 \1 a  I. I' e
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    : f. W* ~4 a2 i- H
    1 _  ]9 D# n. S0 _' E有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?, C4 {1 J- S5 i0 A4 T6 q

    ) \6 B1 U8 X5 ~; `
    8 ]0 P4 @+ E  l, }2 p0 O' s# }# _. c" f3 k7 o
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。& h/ x- W& I. Z2 D( K

    & b0 ?2 z8 a) D4 w5 v  e7 T数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。& E/ a: a: |1 D3 r8 Z' f4 g: }3 T3 s
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    % N7 T4 p/ }8 F( ^7 l另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    0 x- @7 ?9 x3 @2 R9 T' v: x+ u  q
    " f0 @) `4 d4 s. O5 H+ U. }暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    , t0 w# e# w6 z, }: G
    * u/ K8 y5 j' x**什么叫做Conjecture?& f- S/ Z- I$ d; w3 F; \9 g
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    ( R9 L% s  h" r4 ]6 a' H# Y$ k$ |
    4 \; n2 C  h2 W, o猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。$ M2 J0 |/ l% k% O$ E
    $ L5 U: }' x1 I
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    6 \* {0 h" c7 d4 V3 U9 ~& L
    " O5 j1 {$ O" l% r. u# y猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)4 d9 M; r- Z& t, n3 N( Q' Y3 X

    ( I9 E: Z6 i8 m2 F) Z0 I假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    * G4 |  M( m  J+ d. \4 _8 A. a4 Y0 h8 L" O, |6 s5 a% t* m
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 5 t; Y' ^/ }. d9 D2 _

    - Y& {8 d& G" z7 U**约瑟夫斯问题    都教授 + F' h. I. ?2 r. k

    : b9 z* u1 y9 ^我们来聊聊约瑟夫斯问题。5 V- k! l. u8 j! k/ d7 }
    & Y0 s! ?8 P  W5 x$ y
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    * R6 {0 B* a9 p; \% N- b
    3 ]4 n! Z9 G5 k1 ]- Q$ s问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?0 f: O) W- R. Y8 W% h2 b1 t

    1 V' b" T0 N: `& \5 G% N7 c
    ) x1 O  `' Z5 W9 X. @---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    3 F' H- S0 S$ `& {4 D据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    - s7 Y* d" }+ U; o( E: R* l
    2 e+ _4 ]8 ]  [. V. E: C+ F  k---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------0 @/ L4 g4 ~# v( R
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。: e* T; ~- J, T  L( E* K6 }* V
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    " d# d$ G- Y' `/ B/ a**约瑟夫斯问题    都教授 ) \& a9 ~5 z) G0 `, L
    : x3 [: u3 x$ o& r9 s
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    & O9 j  L! k, q: q  }( k, m8 r
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!. r$ M8 O5 S2 s6 k  j

    5 q2 a. {# ~" o3 o1 o2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    - h& M0 _2 w/ Y& A) _: n% X2 @* y, x5 O. q7 A2 @9 Z
    推的方法如下:( R( ~2 t# d& e

    ( G/ U) [7 \, C0 q* c  u6 t) V! un=1,就一号,跑不掉的
    1 a0 X. ]1 b6 _4 q: `n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 7 W1 z) k( H0 r% ?8 z
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    - O4 U* s/ k9 L) W; ]* h) g. z4 ~* v  `- q* G
    3 s( D# S* h/ @% y
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 " L, I; o$ X6 w0 ?+ c- |; h3 h
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 . w$ E- e: l* O8 j2 G$ G* H
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    9 h9 o+ e2 Q) f' p% q- v9 h1 u6 N5 ^- e3 x
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    " ]& k6 W2 v( s5 o

    8 z3 C( C+ e1 R" ?* [9 x$ F兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    4 u9 e6 P8 I: I5 L: ^; i* {# b( S" h( A+ j$ J7 q8 c/ O
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。8 a' G! H4 `4 ~; ]9 p9 _

    $ V% K$ M! [7 \' i还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    % y! Q3 S' {( }2 @! L2 y4 k$ M( r" U  p. d: o. u4 \! U2 S
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    ; g8 s: ?8 S. q; B: c9 k$ @) a% B9 f3 t7 _
    一个小心翼翼的Java例子:
    5 {( }# V. T# E' N! S1 \) P/ k/ w/ F' G, J; {
    int josephus(int n, int k) {
    % s, O& s- O5 r  b4 d4 h, \        return josephus(n, k, 1);
    $ B9 C9 B3 b' n* d4 J( w  }
    1 z% j/ ]9 x9 I9 P5 j: z  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    * _3 `9 U) J* Y% ~" m$ g/ T      if(n == 1)
    * Q# L3 g' F1 a- c  L( ~          return 1;
    # V5 f* N& s, q# [1 d. F9 P( n( _      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    9 M$ |0 M1 o+ u0 E2 ]* I" ` # b$ m  g, N7 d4 ?; e
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    0 K1 `( F1 O5 `      if (survivor < newSp) {
    5 H5 T* v3 F/ L2 M: F          return survivor;
    1 p, a4 T: K1 T% _5 a- h; h      } else
    3 d& y) ?: M2 s2 c0 h  K7 I8 e' H          return survivor + 1;
    & }* \. C9 N1 O' k3 p  }
    * M( y8 l. b6 u' U/ Y3 Q3 D- g( I! Y
    另外有个更简洁的例子6 b& E1 V! c+ J8 z; Z( V
      def josephus(n, k):
      B. V" z2 N, b4 B' }6 Q# W* F    if n ==1:
    0 {4 z3 l0 F! A, h& h( M' ~. {+ ]      return 1
    " _% k8 V+ M9 [0 {, E    else:' E* R  X5 Y7 s1 l
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+17 v' R  x% {, M5 y. c8 b# Y( v

    . X  X8 A; ~+ O+ i1 o  O; L9 C- X5 o(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    % \# u& k' f2 W7 J
    * z* _  L% [' h4 `以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution/ [0 S* @* v$ V9 l. s* w

    1 E& @' C3 g2 s) m; u- c  l+ o( f: R5 S4 k4 Q4 F
    关于n的分析:9 g  ]0 e$ f9 }9 B
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。1 _# @, @, k# O3 p  ?
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    + Q! C6 A( M) }# f, T
    9 @* o' s3 }$ ^1 J7 `. xf(2n)=2f(n)-1  M9 t; M- \: }& J, v
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:1 p+ s5 [( [/ f' X7 z

    0 C) m/ w: H% x# O  G7 Lf(2n+1)=2f(n)+1
    % C. j% W6 K* j+ X. N  U
    3 I2 m) X8 |. X! L
    6 {5 D( {- J$ d如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    ! `, q- i& u& s; {
    . X1 Y0 l  C+ k# {, r0 K( Rn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    165 b" M" \) n, J9 |7 E- c
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1/ I; `0 c$ b' }
    5 P+ B! I/ [# A* [% C' V$ l& O
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    6 L' V# {7 o. X0 ]
    ; \& M4 }3 K$ E7 n% b定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    & n* U) }7 ]0 u
    4 n7 g; l, A+ L" }. g4 E. P, N2 \2 ?$ U2 h7 M8 k. x  b  R
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    % q7 [+ _! N) T, Y; y& ]兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    2 K  b4 m2 u+ C5 W7 H$ c
    . J' V7 ]8 k( l% n3 R# ?" ^在 ...

    ( C4 v+ k( Z( d0 x  C3 W; G我的推法就是这个:$ o6 e1 f; T/ v+ ?, }" j7 s9 A

    * h4 \- r% W) s. a2 x  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    4 l* B0 ^: q% N+ ~( Q- t! _7 g3 ?0 q
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。& u3 ]9 e8 e& E4 a* X

    : Q" S2 d8 P1 D0 J( z  d2的情况我没单拿出来搞。
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
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    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    7 H2 r  ?* c% n7 P2 ?# k不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 $ _/ @4 d1 N& J) e- Z' e
    看不懂. s1 j- W0 {" S0 u# J9 Y* c7 i0 g
    不过今天不幸运数是17
    . h3 T- y! j# |9 b% t2 g5 _$ R8 U+ D
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    ' p* v9 j5 u& r) @
    2 [2 O8 w1 p) T2 V1 k& b9 `以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,319 x- f  B8 [' p' `2 j' F# l

    ' L" s) a' i/ Z: x' M/ y( b5 |13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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