TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
|---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
$ z6 J1 L( ?% F* K6 \% H看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
" E( |* V% i7 V1 X* A
0 Q4 V, v" I9 d& L; m) |& X0 S他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
7 C. ], U; b! ^* v2 J4 C9 d" P1 E$ l" p
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
5 Q# T7 ~+ C/ \9 [+ |( w
3 @2 _3 G. X! `- {9 L: \% C, \In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
) g# i2 Z4 m* ]4 N# q' N7 H. t" _8 [
7 c5 |& q7 ]& u( L3 ?0 N7 Q: A幸运数的定义
4 {3 \; |% D% i2 r1 a; GFORMULA 1 R0 N* M3 [" v! z
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
# p2 Y" x0 [ C) Q1 P; h8 a5 @2 M( X+ M, a
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)) f- r/ f: A0 M
, x+ w$ ], S- k- b" X, ?/ Q$ I4 T
初始,从1开始的自然数列:& r' _7 [/ ^6 P! ^! y4 y! z' C1 j
Begin with a list of integers starting with 1:# k, C$ I0 y- t. S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……( u# {* |# A- \6 q2 B% v% K
8 o& w/ N7 E% k6 M; e
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
1 }. F5 l" {* T2 c5 U$ D# f: [剩下的数列如下:
+ s# b0 Z* J C: ?- LEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:. ?/ i* j; i# r2 X$ D- r
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……& \9 @$ k, z- B% L
" M: x* }2 ?# q1 f/ p9 w' I" I接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:& D7 I5 g" w" T# z
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
( c5 H8 b% b, }& }9 G1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
2 W% S) |& V% {" f6 A: \' @* h
% c0 ~% Q& @5 k) Y% f1 u, \' S现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:$ |5 i* |0 G$ g
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
! @8 r5 {- {0 K/ a0 G4 |( S1 3 7 9 13 15 21 25 ……
$ a5 J9 W; ?3 m. H; i: a: f9 k: C$ i) Z
接下来是9,……
: O# W% \0 f0 Z0 X4 x2 u: U+ u这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。2 V8 W/ R3 p7 E: u9 t2 b: H
, H2 P! Q1 {8 V% D. O
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).4 B+ T* L& z7 }& C w g% u3 w' v, g
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
; p3 h! ~3 @" o5 N- ~- Y上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
+ b4 @, c0 r2 y. L1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……9 J3 G9 e D2 A
0 N6 A7 s# k4 J( W. R
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
% V2 O/ D! I* d8 B8 b4 `1 K# z8 r" G
8 P' ?4 |9 S$ q
7 T. z2 ]- d s7 w' E( x第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。; X; B8 X- h9 I. y# o- Z
1 v9 J6 l$ @7 r, D: _1 U+ v数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。0 E! f# U V5 T5 }- `
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
" z- L! a& W6 v' b7 N( e! O1 Z; P另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
. S% }0 B( @' j1 F3 v* A
0 o8 i. S( B3 m3 M4 r7 X/ U暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
% k' X+ N# f; l- ?& e
9 H7 {/ m# \$ H A$ D) L4 t+ j1 U**什么叫做Conjecture?
+ N7 J# m" A0 W, R( a**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|