小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
3 ?5 l6 R4 T8 A9 c看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

: B* W5 T5 R# `, J2 R. ~他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
. J' {- A- Q* L7 a. O% ^) t+ t
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
, g5 r' {8 l8 G" K7 d
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
7 }$ D7 h; V0 l
幸运数的定义
. }  `6 }& M9 b2 d: k8 ]. BFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
6 N3 v. D# u2 _' Q4 u
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
' [) t% _3 G: M
- b5 Y, Y* _1 \0 h$ y/ g6 T3 `0 R初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
$ q& f! i& x. f  e/ S1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
! l' m* b. h3 ~剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
) r- g1 F/ f1 m. K; u! T( J1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
, B  u+ L8 W, R, R' t  u
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
$ }9 E5 m/ N9 k5 i  t' U) w& RThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
9 f/ m: L, {: N1 a5 u1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

- O6 O/ t! d* b# a2 q" S& q7 I* y现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
: }* }& _3 Z' N5 EThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

+ i* X1 d( D% R. c% {接下来是9，……
" C& ?4 Y& Q9 u( R' `7 j' e* p这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
1 W1 ]/ ^# h5 E
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
) [9 ~- W( L3 N6 c上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
+ H: H/ P: E$ |# O: s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

) [+ A% Y# h. g$ h2 s% ]% t9 w8 V有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？


" M# k' B2 L) l/ |$ Y& {
, U7 E4 |2 I4 m+ z, ~) z第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
3 I9 j/ F( o) V- A3 {幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

: o- {. s1 X, U1 [" [4 x暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

5 O) p) Q6 Z0 B  ?) p: y/ X**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
$ Z( J4 R; R  V% X6 b& p- V
: n" @. G" o$ j9 a/ }: N) T猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
" B! n( X: g. x  j' ~" \4 u/ x
) O& a5 I3 U+ o% J$ Q猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
7 V* s% E# s) v4 Y0 E" M$ z& B. n" E, Q
有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授
) `- i9 K  g* A& T) h3 X9 |
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
1 E' e' y) q4 w% |0 B+ x' }
! Y4 s( C3 }) S& G问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

, R2 f8 d4 `6 T8 m; D; N; T0 J
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

! m/ y7 f' w; G  Y  \8 ?. R8 f+ A6 O---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
/ M5 \5 n% u0 ?: R# F& B/ a据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
6 N% K$ y3 ]5 y6 e* p, @3 t
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
" X6 L7 ?5 ?( H/ D4 x
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
! M6 Q. R( u  ]* s; h
3 a+ V' p$ O" @3 z' R  o! j3 a推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
% m% z+ r4 J  |- h9 {+ qn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
1 S2 j9 v5 |6 f% x5 s1 b
$ r7 Y+ t9 }8 C0 |5 a' ?+ c/ X9 M
; u3 X4 }0 f) g; s我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

% i+ T  R* Z4 J* B

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

* J4 w0 w; M& D2 V0 P/ w5 _2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

/ B& I. d* S. v5 b/ `' }( p
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
! H' A! _4 f& h/ W
1 m: _% ~0 W% X$ ?1 |/ b2 w还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

$ w1 ~& e- ~: \2 Z一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
& B5 A% @- `4 M, V& M9 G; q; h      if(n == 1)
5 g! e* Z! u( G2 @* E3 b0 ?$ v          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
8 w9 k; y' v2 Q. k  M# S      if (survivor < newSp) {
3 B+ w% U! e/ f          return survivor;
* u  p0 h% {, m      } else
' }0 o# h& Y4 }& a+ W( G8 C7 I          return survivor + 1;
1 M) A' h4 L; G0 o  }
& ]0 u/ Z; |! I* \4 G. e
另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
1 }  m4 o4 ~/ z9 ]2 d  I
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

8 m7 w" T; M5 l& q# |6 Q8 q% Z以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


关于n的分析：
( J2 M7 b' V) J! d3 Y3 D% ?3 b2 T) D! W设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
$ L# y/ L! Q  t" K6 |: G; `如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
: |& D5 K# z$ v5 A  u
3 X0 Q2 T. Q* }6 H; uf(2n)=2f(n)-1
6 b0 s* O/ ~+ X9 C) ]) {  _如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

: ]8 Q% S; b4 w: Q  _f(2n+1)=2f(n)+1

' P; k! R+ }+ F) \. S
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
7 Z1 a1 G% F5 P( z. u/ Q9 i
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
5 K+ ~% r9 g  _1 I) h- m
5 h7 X; @+ ~0 F* X6 q2 y  U从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

9 E5 F4 T" j9 B9 V0 k定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
0 ^: D8 a" u! o0 b
7 F0 z$ |# R4 w/ o
5 T, P. X" ?, {, q$ ?4 b答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
5 i9 M# t' Z$ u) \8 e( R* d
在 ...

我的推法就是这个：
0 W- i( ~# {9 @+ S3 S
3 n7 F9 n2 P/ O- W! p3 p  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

: d) O" z- z. v' G我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

: s1 i) h7 x( [, a1 N! a2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
+ c* a( g. j9 z5 S7 g, S+ H% @不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
( }& Z( X! s/ Y+ D* z7 K# H看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。