小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
: I3 m4 U+ {1 b/ R
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
" K0 `/ d& a2 n8 a+ \' D5 S6 o
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
) [4 t1 d3 D2 i) S' \# [9 ~
* m) p& K( s* n* w" W% H幸运数的定义
* I/ t7 ?4 K$ Y7 J; qFORMULA       
1 v3 k: f: s. qStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
9 M/ s3 G3 j- {( A# p$ X) }& W" P
( `' k/ W8 o+ a3 |- l具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
, T0 F. x2 W1 G  o
5 f3 J3 ^& g4 q5 \1 G初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
, `  T% I+ x/ {/ k# o4 Q' D1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
4 _3 U0 h- ~/ h. u剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
* O5 _# Y- x% o2 h* A  k3 x& p1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
) o4 L" A% G# |3 H# `% ?6 D" ?
+ k* [1 J" f+ K+ e0 l接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
3 G9 v1 c1 \" }The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
3 g$ d# ]4 ?8 s+ T1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
; s1 G/ v8 k4 e, R6 v
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
8 @0 H5 v  x$ T" W( lThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
! |+ z+ N% u$ D* q0 O$ @这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

( Y6 {, n0 X6 w/ n7 |1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
. S6 Q- i6 q$ Y* ~- T上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
+ ]3 Z! G- t* |6 l
: F& c& J" P  F" E9 A
" p: M, k& g9 U9 q0 O
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
+ T5 @5 `! e# w0 N/ h
**什么叫做Conjecture？
2 B' H5 e6 d3 k7 @: ~! G1 g**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
0 ]9 |$ ?+ M' v4 q) i
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
0 v, g) ]4 t: j3 X3 j
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

! s9 ?  [! {) A. J猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
" _& A( W% L- ?9 W, r0 s
3 G0 Y% w$ O+ E- J& u1 F假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
' O  h/ _  k0 ]4 {" D; k. B- J+ n
/ f( w$ {9 O* J3 h有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

6 i3 P5 R) L( d* Y6 W; }; }
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
" l6 _: ~  b2 E
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
4 M* i3 [+ @' ^- J6 i- \
: y# ]. r) W9 z6 N- @& r4 w
% Q5 y& H4 d& R4 s) N$ i---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

5 M  d5 c' S" B8 Q4 X. Q3 Q; ^---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
8 n# x9 Y  }- [  C5 P, T据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

% I; r$ g9 b  E( j6 E! C我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

- Q& v: G. b& S: e2 q# }6 F2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

2 i1 l/ i3 D+ ]- |推的方法如下：
5 d% S$ M: e+ I; X1 s7 G
n=1，就一号，跑不掉的
5 Z2 A# I5 U! E7 M; J/ nn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
& x% G( x, z' @+ \如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
* u. K' A& L7 M
9 l2 h# d5 Q, C, x/ y  U. A* q
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

6 Q) u" J7 r" m7 i& V- _6 _

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

; m# S/ y" j% \2 V+ z2 w
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
9 @1 l/ r. g$ V2 r7 O; q3 T
9 ^" Z: z( h8 d. a$ f在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
( U* M* I2 o+ ]; z- h
. |  l0 H+ p5 r8 \-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：
( N! \& J" \; A: N3 M+ P' K, b. a
$ M+ Q. [8 i, \# k* f7 f int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
4 U0 B% V' k# L8 {" Q; _  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
2 i: \8 n* s" ~
) l- l0 H; c3 J; V+ J# G6 b      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
: I1 u* L- D8 G( o: U; g          return survivor;
* m( m, v/ x: @# B: P3 B      } else
% i4 e  h1 J, |9 l, g+ K          return survivor + 1;
  }
" l* q* D( R8 ]7 O
, V* Z$ {, Q" q另外有个更简洁的例子
0 r3 j5 y- ]0 g' I$ H& q( t  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
    else:
+ B/ R0 v: v) E& G; X      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

, D7 u6 Z0 _- ^3 l  k  S+ Y（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


1 F' @/ C; f* H关于n的分析：
0 k3 I; S( _2 U$ _1 t设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
* y; O6 M5 D5 I+ l- p9 \4 Q6 Y  \如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
3 y& @" x3 o$ ]
f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
" d! n% a5 v: z+ R* Q
f(2n+1)=2f(n)+1
1 |9 X" X; q" u0 |
& @  Y) f/ j$ i- ?/ I
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

) [1 e6 r5 m- J0 X2 \0 H6 y) Xn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
2 h2 C2 d. j# u1 K% Zf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
& \% t1 L6 R) E& \- R% u; h4 B
) \2 X6 u% q" I+ i& g从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
2 S) U0 K6 u! B4 [, ?! {
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

" x3 o, I! U  ]
  ~, ?; V5 X  g7 k2 U6 W! F9 n答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

% v- t1 }7 ?) X. Q! ]我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
' x$ U# \$ O; D$ I% l4 V6 J  y看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
3 @: f, T2 v) I0 `4 P
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。