小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
" C5 H- {8 M3 o
他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
/ @( o- N8 n0 t) ^2 o
. `  z* n$ o" A  Y所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
$ N4 r( b8 F4 i
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

幸运数的定义
FORMULA       
8 [" r* m1 o% e7 d! _5 U* MStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
4 V- X8 E3 ]6 v
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

2 y  m6 [( }/ L; G初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
3 }0 ~( w/ W5 l- W剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
& L; r) `+ _; E) m/ s: k+ S1 Z1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
" L- J5 O, E' j" R
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
/ I6 |0 Y3 a+ S1 wThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
" d, b4 y' a, r
4 K7 B( t7 E. N% t' W/ W现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
! e! R& u- `7 J/ e- V! Q6 _- J1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
) R' f  z: `0 |4 }: ?" S0 M7 X
接下来是9，……
4 ^0 R) N2 K9 }8 w$ i这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
2 k6 S$ @5 T- M; }! k4 i9 s上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
, t' `7 _$ @4 f1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？


3 Q4 k( \& D7 C- e* ~2 @
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
1 ]! v2 d0 Z& Q9 t
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
( r$ A+ c  r& |$ ?% O  v6 o4 D
暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
4 I) X- s2 t& z! o& Y2 D$ V' ^8 H
**什么叫做Conjecture？
# {& n# |5 y" m& B**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
/ G  m( [3 V: Y% ?( l7 N. d  m
/ v. q; U: L5 [" y$ W9 n当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
) z7 C9 y- V2 h
/ D+ l7 {" L9 a猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

* k0 m3 d+ Q! |+ W1 K6 {5 u假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

4 [$ G* x7 P( C3 E! i" U) Q
) y! v7 E6 t( O1 A0 H- x. m. d+ [( t**约瑟夫斯问题    都教授
2 _  w/ t" D3 k5 I, \
' c0 h0 G8 ^. d: j2 V我们来聊聊约瑟夫斯问题。
7 a8 X- o  M9 u0 U, @$ m# N
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？


---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
; N! h/ j% M5 T据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

/ y  U7 S# ?( x$ i/ a---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
, L& Q" o7 T; M+ g) ~$ W据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
) s% s: o0 V% @, ^+ S6 ?" h
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

6 B, X* _- O1 i" ~: w2 Z! o# n1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
8 \+ D9 n+ T& r( ]/ J% h
, c1 n0 l' e1 q+ c: j推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
. v% E- f+ f3 C+ S7 g, f2 Kn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
/ V; q6 G& z$ t0 `- M6 x; F
9 R  {) \" o1 _1 j
4 N5 M+ G8 ]) ~7 v$ W& K0 W" o2 g我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
' Z- ~; ^% @9 T) c
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

9 g: L2 e$ F( ]. Q
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

* A  V* x( T. \# a( z在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
+ A9 D; m) u3 N1 \$ F5 e. z
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：
% s- r- l/ P3 N- R* ~
int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
. g% h) d) w' K- `  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
8 U+ o8 d' g( g- ]          return 1;
2 s2 a6 f  L2 ~9 [      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
1 }) u. v- p/ o6 O* ?      if (survivor < newSp) {
8 C  v- G8 J" D$ B" ^          return survivor;
8 _( S& d2 Y! K7 O0 P  V; b) \      } else
9 J7 [7 ?  V* L9 _          return survivor + 1;
* }3 _% [9 G! }% k' G* W' @- k  }
! m* u# R) o9 Q2 M
) @$ j# q" m( A) j1 L- }& Z另外有个更简洁的例子
& S1 ]9 R/ |& ?( [  def josephus(n, k):
0 w2 S# U2 M; i    if n ==1:
8 Z! @& j( y" P* j9 h      return 1
    else:
; C8 [0 i, A* X0 j: T      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
4 Y6 a- ]& g) _' v1 c' U' ^
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

7 s" ^, b7 P' W+ C% u) X' u以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


6 G3 r* P2 H7 T+ ]1 K/ `关于n的分析：
- B5 N. |- E) j2 [5 O设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
& N4 X+ X& d& V. Y- N/ O
4 U# _  b' c; }: |5 T9 ]f(2n+1)=2f(n)+1
0 S. `1 P. d2 ]* W  G
7 M/ T. I) }/ {" j: _1 `% w, e
$ a  ?# L# Z. Q% w如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
0 \% D% l4 S/ a4 H9 H1 l* i: \* S8 u- }f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
* }* l( \+ _/ h* H9 P
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

: H- x1 U$ A; m) U/ I; T
$ n7 Q. H/ I% q$ h& H1 r7 y6 @答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
; O* a. ]* l% B* y. |3 K兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

; w3 K: d: t) L1 {8 K在 ...

我的推法就是这个：
0 b  T4 Y0 f7 o$ H3 [9 [$ f( c3 {' l
9 T' F$ S9 r! W5 Z  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
$ d5 N; P5 p, b' m) W3 T
1 S; F8 T( p' I$ x2 q我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
; @. J+ N5 W) z" p/ w不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

9 l& B! c$ E' U; {" U7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
3 i9 {# u0 X/ ?6 ~0 ]( L
* n! ^+ f( m  a1 e1 R. P3 v以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。