小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
: c# J( D1 g% O# n
他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

: B+ U* l: i# ^' w所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
+ h( M# K; S( }+ e. t! v
/ b) V) d" p4 F& ^$ |' jIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
5 U! [* r0 l& \& J
1 G% h) q" j( E( X. h+ o! z; o% E1 f1 e幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
# A0 j3 R  D0 P# O% a8 p! R
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
- Q  ]% A6 r9 A
* u. |5 x1 r1 o) H( |+ x初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
$ Z% u: a! C* L" Y0 T1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
' o4 }! P) k% \+ F1 V
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
; |' t; |! {/ {9 I& g" G$ ~$ |9 K9 TEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
+ L( {3 [) D7 O" M7 Y
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
  d+ o, I5 ?5 @# j3 j% zThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
6 N" E- O& T- X1 C( V& }8 H1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
" R. W; s9 U) R! [9 x) v1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
& A+ r* L! `6 r3 l
接下来是9，……
! b1 l  O' n* W这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
; L, x% J) A2 K8 w& n& u
: P& u. c. |1 g4 P+ g( q. I" [1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
! `# g" @/ J7 F6 Z5 Z; _% a上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
" t) i' J3 {  C/ k
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
6 y4 K, c# c+ p! R' @: V6 m7 h


+ M+ S8 K1 e1 F+ [: W第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

8 k4 l0 s% W, n数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
+ T" u2 S6 y4 X& O. a. y: h8 @幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
' j+ m+ t$ R+ u$ i另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
. `+ _4 K6 R. O0 p4 W**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
+ Z& O& B6 e2 o7 K' M
4 f' J1 _9 M1 r6 U+ |4 R当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
( }- }8 h5 x  s9 t+ g5 Y9 V4 b
* v. G$ r5 C9 s5 o% Z1 I& S猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
; ^# H7 o, n- t5 ]
假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

" v% |! e  x0 V/ e$ |  ]
**约瑟夫斯问题    都教授
3 Z: k3 e0 S3 D3 x* A; Z+ ~0 w% @, O% W
我们来聊聊约瑟夫斯问题。
3 `3 ]) H9 Q. q1 e2 V# Y
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
) `. I* o7 l$ R5 M4 P9 S. y" q
* _; K2 H6 d* G0 x5 I8 N问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？


---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

# @' X% X  X2 u$ R( Y---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
0 j( \3 i5 o( D3 U3 U7 B. `. G这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
$ |4 w  O& d2 b- c. t! K
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

/ h  ^) {1 z$ h0 ^' Y6 _, r' Y( W1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
' s# T+ |% E: D, i* {, v! q# x! `
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
3 e3 c3 G8 N' N) }! B+ H

我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

' a( `4 C, J- P; k8 ~. |

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
6 J" S! X2 l0 u) E8 y4 e. h) L3 v1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
* `& f6 s" F5 q* _" D% S. J
0 J5 U1 R9 o# w2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

; c1 V  t( e* X) E4 w1 h兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
' p8 I: K2 }0 h/ U! [# {4 U4 Q
  x/ a0 R% ^# k' G3 o在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
4 r# s" J6 j+ Y! r1 t6 g5 D$ ?
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

0 M4 r0 k( }* N4 j3 Z-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

! o' p$ i3 I+ G; P7 b& z& l# f- E一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
( S6 H6 z7 q0 M+ I5 B  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
* O, ^0 u# r: l2 d1 P          return 1;
) |. Q0 T6 h9 M      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
, M# U# {+ @! y4 G0 J9 T2 d      if (survivor < newSp) {
. g; a  I5 X) e/ |5 o1 V" g          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
  }

8 b: b, V& u$ r: N另外有个更简洁的例子
$ I6 W. Q8 q, `! y* P( d  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
1 K: y, b+ t1 G# A: M    else:
9 U. M( Z1 r7 B) I+ w: N      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
6 w+ G8 e1 w2 O6 C0 Y, ~
7 H% S  j& b5 J# Y5 x/ [' R$ N  U（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

( L" p  @2 a# v& G6 b以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

; L# w# B2 T! L, b
4 }' O3 H4 J+ N2 F2 R9 L* b关于n的分析：
: n) h- s1 k- h$ c设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
+ }1 Q, S/ x  Y4 t7 Y* l如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

& \! z0 D( w7 I4 P* i# If(2n)=2f(n)-1
1 G) y# x7 A; s( C如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

% J+ l( }: C) ~2 k# z$ hf(2n+1)=2f(n)+1

- G- p6 A6 R' X5 {& Y6 Q& E/ H0 x% w
$ L% E% w* I9 m如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

2 }" J% m! s# E! r; F; I0 v! b从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
9 T9 v6 ~: U3 L: R/ e  L  u
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
" A: e$ j& d! F8 u% N4 T兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
9 r  M* W( H1 E
" M4 z. t* n+ H& v) Z9 |/ {; P在 ...

我的推法就是这个：
* d/ i$ t" W) g
7 _& N; {3 ~) k5 ]$ x  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
$ _$ |. }( P4 `2 I+ K) x  V
: f* ?! Q+ l6 ^, J# p5 B2 }4 @( K我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

( Q8 a5 g! O" \, ^0 X. X7 C2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
: P: s+ ^& O3 Q5 X: F  h不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
' v, d9 m/ b& ~8 I看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
- I( n) X; v- ^8 s! {$ U3 l( c
$ v; Z3 k9 o. u. ?以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。