TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
% c- o# p3 V! [; E6 T看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
% U9 e" r- d( h* r0 K' [
! \4 k9 e: c: c! p他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
/ m+ V5 R6 t6 ~
: H+ G5 D! ?3 v6 [2 v: u所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
; e4 { \8 V: C u- B
! k7 R) E9 g. O4 dIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.2 E, D3 ?9 K$ H
- a i8 H B* ^2 L2 M$ H
幸运数的定义" _3 p& v+ {1 ~2 v
FORMULA
) G a/ O( E. G" P: V3 sStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.* T" Z4 b; l; ^5 j9 _' Z# c# R
2 x2 D/ E0 |+ P. Q* g
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)3 m M7 Z( _3 {+ a
2 Q- H( Q# p' Q6 m* D( ?
初始,从1开始的自然数列:/ x) w ]- J2 ^; I* X4 ]$ A: P
Begin with a list of integers starting with 1:
# S* R9 E& l: `& l% s4 V* O' i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……! u! t1 ?& y: R: c
; g2 S+ |% E; O% I; o# w2 d [开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
" w7 e1 [* V0 r* V- u% q剩下的数列如下:/ D* L7 I, j, C1 Y
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:' W% e6 B. L) E1 K
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
7 V7 @) T" [! \' x- ?& y" u$ e* W. a6 C; s5 k+ H( q# T# ?
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
9 d5 k8 P+ T/ i( u: r8 q' cThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
: y8 b5 L) y( z$ {6 B P p1 Q* e1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
+ j' O* u4 }( Y G1 K$ P* j' G. F/ s8 [( U2 x$ e1 K( R. _' E
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:- d4 b0 p) z! {2 V3 X( A9 l# |
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
o" p$ @" m. }. B- @& j" t1 3 7 9 13 15 21 25 ……) B5 h' H5 p: o7 I* _
% r5 l& L6 h3 {# h
接下来是9,……
( E0 R9 _7 U. \6 U* U+ \这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
3 w7 n7 T2 e7 z2 o
! J0 n+ s# E9 l( l1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
( E. N0 i5 }7 W0 S$ t4 B在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
/ k B" P8 ?/ R' D3 n上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
& d6 Q/ ]) L) J# t1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
5 l& m9 T9 S- f* W1 r& ]7 V! u+ N1 N N/ D
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
. `0 Z/ S* D1 Y# i% x# Q- v) J2 a0 i3 z" V
1 }, l1 [( ^6 z( |" g( ?1 A% @: X
' g: x6 u D8 ^/ ]9 p
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。: t4 q. G* x. q
2 O/ A$ b: H5 \ P7 L数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。0 H3 m5 G# N; W1 @* m- L3 I
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
5 f" |& Z+ ^: P/ j$ N另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
* e2 Y8 o9 U4 g- ?3 A5 {. C# m% H
! J, L2 H& r% [5 w暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?4 ]8 i4 x9 A0 @
2 s8 c( b. h+ A( o& K**什么叫做Conjecture?
# @( d, S( g2 m) X% h**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|