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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    5 j& Q0 a8 U2 S0 ]8 ]. `看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”6 F8 [* d2 [! o- k  j

    2 ?  o5 K" z' M& P! G7 r8 i% F他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    " r- @% A6 \6 w) f  q1 b6 |% Z$ E  Y! X5 u% N
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ I% a* M- d8 ]% d2 d
      v# S3 ?0 _/ y/ R# E' a
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    & K8 x# d: j! q" p8 ~8 A/ O: P8 j
    7 h/ b4 n. R: b  E. J幸运数的定义
    1 G0 E& Q1 L& P8 u5 \. t8 Z) nFORMULA        $ b0 A% W- `0 e8 ]8 f. ~
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    * t/ C# M2 s8 y7 d/ s6 _2 u2 l+ O  o0 @9 x; x) {
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    8 G  A. z+ o- f6 x: G
    5 u) d; o) z% \7 {, x初始,从1开始的自然数列:
    % R0 v: q2 `- mBegin with a list of integers starting with 1:( z6 m6 V- v+ n6 P
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    6 }/ M& y4 d) E: f/ Q  N
    8 _8 i. I$ V1 H( _! z2 {0 k开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    5 p/ }3 M% \3 i/ n) w1 R9 k5 \剩下的数列如下:2 N: e  L  A6 e. a
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:6 J9 E$ ^( w( F2 `6 o/ A. r; W
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    + t! M: @. r8 G0 m5 t
    0 R  c  c! r% t5 W0 K接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:4 n# I* v! U1 j0 v5 ?# }
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:: K) ]0 i; [" g) t- \: U- I
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    0 d0 E2 s% r/ ~9 ]) J" C/ I* \1 H% W: ^* p6 n9 L/ X; U
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    " J, o8 |: F9 M1 S3 A. i- _5 GThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:8 a2 s7 A$ z# O: Z; c0 m3 Y9 z
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    2 h5 v4 ~6 O  g8 J( ~  _# m' U. J  M- g3 N
    接下来是9,……
    , S2 |6 @# E8 J, m! u( K, h, j* {: Q! ^这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。7 ]! O1 I, @' z5 I' u# e' [

    2 Z! ^% l" b( H" V( s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' _- L5 ^1 e5 O5 @" T2 n, g; P
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers$ Z: j8 W" ~; G$ _
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    0 k) ^$ A" Y  O  [% m7 I1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……2 b7 \1 G' E8 G1 J
    , E# G& a9 ]0 s. W& K$ ^, m
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?# P* h+ R) Z9 b+ ?

    7 k. v& m5 G( N
    4 {/ K' l+ v  S* l6 G* p4 \# b; t0 M# Q" d$ o7 e' A5 u
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。8 s- x: a! W( R( u9 g

    0 l# b2 X6 d4 [6 J3 P+ E$ E7 ^. C& t数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    ( m; q# B: a# o2 F幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# f  p$ X2 b: I: A
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    5 D, Q5 T3 ^/ `5 |' T% d6 X+ W' Q/ d* C3 q/ S9 z- i" m+ x. @
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?3 L3 X, z8 Z- u) S3 W1 O2 w$ _
    0 z. _$ ^) I6 R1 f+ E: a
    **什么叫做Conjecture?% ~7 ?, n: p' O6 |! o1 H4 f
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    ( w0 n# N+ p8 }* |. {, L
    2 ?- A6 ?+ y- J3 U0 e  W猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    . D  `! ^% T* P4 B4 Z" a2 a
    ' {- V/ S( |5 V6 O当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。7 l, |+ z5 Z4 b" N

    8 u4 i* i7 v6 g9 I猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)+ a9 a8 _5 l# ?
    ; s3 s  g! e, z6 `. L8 G8 q: _
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。. d6 E6 n6 u0 n7 ^
    3 G# _  `+ n. C1 T' F  s* N5 O" ?
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 5 h# e* w1 `4 C% f8 `
    - J$ z: J2 ?( _- P  H
    **约瑟夫斯问题    都教授 ) e) V/ \; U+ Y# {1 r
    ! M8 H6 J" ^) Q
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。; X5 m; i7 N: u

    1 l0 P! i. u/ @% L6 _有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。. A: u4 q, w/ X. n) F9 y, E
    ' ]+ V8 ?) r' \- x) q. @5 [7 \
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    ) c' p9 U' B5 A: n& G
    % B! r) `9 t$ \/ D
    : ^3 X: @$ ], F& A; o---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------  @" r! \5 C8 ^9 W, D) @
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  . |" l6 V, d& U" i8 v

    ' I  L/ v: Y5 E---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------% G) K3 d/ `+ ~" |/ |9 T7 P% {
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。' m9 E. K8 ~$ E# t
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 ' Y9 @% \2 b  J
    **约瑟夫斯问题    都教授 0 u/ [+ P4 U1 z3 @1 L- C5 k

    - H& s" ?) j+ ?& U我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    , |8 Y( B% c2 L% w# H' S) ?
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!- D  E! ], |& `- D

    4 R' F8 }$ S6 M* ?; M" E8 ~2 J* r& w2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
      e: ]( O$ j3 T3 i" q5 ]  ^* T+ ?! F* c9 J! J- b
    推的方法如下:
    % d' H1 W$ U9 I* e8 J/ _+ `$ T/ U; o. M
    n=1,就一号,跑不掉的+ p& [* Z  M3 n/ t8 U; S
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    3 @) ^* N0 B  n- d8 ?如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。# z. ^! s0 N: l2 g' j; G$ b7 z) [
    + v* I$ B4 e# V/ x3 M
    7 l% X1 C7 E1 q! M) w
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 & |) f5 P- J4 J" |
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 # f9 e7 N* {4 y9 C* u: T: v
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    3 f0 ^/ G- x; w) ]; C* B6 b7 U3 ]% N7 C2 F  Q8 G& ?/ G
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    / O0 }2 ?4 Z: B
    ! y+ j+ ]: W9 q! H兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    & W% W( |/ c, _2 ^
    - e) A: A  S7 W2 m( |* {在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。) L  l% o$ @6 W7 f# R/ E8 B
      k1 x: ~" R- C
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    . m# g: H( z* ]  R7 V3 X: G0 ?) A* k3 C- z$ _
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------2 ^/ K, k5 t2 D8 Q+ m! p! r

    2 t7 s5 h/ ~1 e( G: E( s' b1 d一个小心翼翼的Java例子:
    0 C( |, W! S0 H+ y" Y; c, z; f* d- ]6 N  O2 C7 I- D' [+ _9 s; S
    int josephus(int n, int k) {% O& q  f+ `) N# v. T1 H
            return josephus(n, k, 1);
    + \" P9 h! r' N  }
    0 B& A8 _5 e1 p! ^0 r4 {+ ]  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    + u9 o" y& u% [! M% u" F      if(n == 1)
    7 f  o/ R% C( w2 U          return 1;; ]& a# k- y. e2 }
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;6 Z* U. u" I0 ]% n( Y, H

    . {. a% G. }$ J' K      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);; g( K( _2 B8 E' D
          if (survivor < newSp) {3 h0 v* I; V, z1 P: m# _$ I, q
              return survivor;
    7 V% T! Q+ x* e, E( A! Y+ e      } else
      \! V( n0 e* m4 d( u& W          return survivor + 1;
    9 w2 y! t! `' K" A  }
    " [1 v) ]* C& [2 p4 ~  J1 j4 N# V' E4 c1 ^* F# k1 }$ L
    另外有个更简洁的例子
    ) F. ^! n4 I: P+ i! K8 y5 ]1 q  def josephus(n, k):; L( \( j! ?  J$ o' y
        if n ==1:
    ; K; A0 U; c( m: w  ]      return 1
    % S0 T! ~6 K4 f" Q! J2 F9 H    else:
    5 `# Z+ Q$ ^- r6 Y7 J      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1! _: e) r* v* ~% b: h9 }
    ' C& _+ W9 F7 J) J' y" U
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    2 u! J! \* N3 L5 ]5 h3 H7 y
    7 u% K$ C  ]! Y1 B4 j* R% e以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    ; w/ t" P% `, j$ Y6 M' _
    9 a0 s; ~% S4 I( R7 v
    + J9 q9 R; u- A/ Q  T; [关于n的分析:2 m- b4 w# B/ h
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    8 l% {( y) c1 `+ {) W如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ; A9 U7 e0 R! W$ e7 g
    ) J: M" [$ X, C7 Z" V9 {5 Q+ _4 Jf(2n)=2f(n)-1
    ' [* S" z6 W2 f9 U7 ~' b9 {' j如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:! {0 p! W  s4 T3 _7 M6 T7 t' z5 g
    ! r) |; R. Z. E! }
    f(2n+1)=2f(n)+1
    1 v& q& v& A3 W2 P8 \+ x! Q
    ; t/ D+ A  p# \) J: h1 w
    $ d1 K4 \1 z1 \5 r2 O$ `% J如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    " b/ d% A/ Q: F( I/ {/ Y; t* Z0 J) w0 C1 `( y
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    / B; |& E1 o) n$ E% O5 s" N6 d3 s" \f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    1 ~6 `2 Q, X( W8 l6 B2 K! Y8 r) O+ B, u
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    8 @! h5 u* X$ t" W+ P, M, z& c# d  P+ S; q! `2 @
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
      E1 D& |4 b: C* z0 W9 z
    8 w& i' R" ~4 D
    % q8 A6 |3 S* r9 M5 I: |答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    ) h( O# n2 G# D8 ^/ P5 g+ A8 v兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看2 q0 h; ?+ M5 L8 h# Z) e
    , S6 o" J; E% l( {: \( P
    在 ...

    , |3 ~% q4 M4 w8 |我的推法就是这个:; p- J7 Y4 V3 r* D
    1 g# L; {" l+ J. R9 x% @
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1* K, ?5 _2 o# d4 O8 P3 U! e2 B& U
    / x3 N: l: r1 N4 |
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    8 O! `1 [3 I: C; I9 K1 x$ e
    ( Z7 F* N0 o; `8 }2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 19:02
  • 签到天数: 2133 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    / P& n2 I+ k" ]# i+ J不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    " [: w( J! [9 D( T3 {看不懂9 o) U& o+ o% d3 @
    不过今天不幸运数是17

    - D% d7 @7 T/ J/ G! ~7 |4 }7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。! P4 y1 @5 t% \  U) c3 t
    ( [2 k1 ^. ~3 Z. @. o" S' r
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31. [; y- f7 [* a  m5 r+ t1 P+ y

    4 D& w# h6 N4 x1 k3 |$ D4 m5 Y% R2 k13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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