小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
( w# v. `- N5 Y/ S2 }: J) H& r" n
& _6 T: G/ o- e6 v& u" k他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

- T2 ]; ]2 S' \0 HIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
+ X5 c5 K2 Q" F# b; L- O; z) c
# A# t; ?- ?8 k" A1 E3 V3 Z幸运数的定义
FORMULA       
6 u: ~0 J+ Z9 x  B% ^, AStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

1 E( o6 s: o5 [0 K8 A/ ^具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
* s( c1 {( a5 G& f+ t  ?1 a! H
7 m9 B( X* v& h, {& ~初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
+ o" D6 f- ~7 @* t4 U8 @+ Y8 W
) _' }8 X" m, a5 ?+ U2 i! d开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
3 X3 \# l4 |/ c( s' {5 [剩下的数列如下：
. D! B' W/ x0 M" gEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

; M' K1 J+ T$ x9 E$ }) ^接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
6 v' \/ H: G! r7 VThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
! p* h! W/ V/ r0 O6 d8 L/ ^6 r1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
; x4 Y' {5 k# p9 \# }
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
! z+ J4 O3 h. }( [The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

" Y! U: ^9 p" U2 W! p& M接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
1 @7 |6 D% C( E6 s) _上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
. ?4 N( D  o# F6 i6 N1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
$ Q- R( M5 D0 V" o/ P% Q: i- M, a
0 A" G9 A' F9 ~$ m有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
) c# b1 @* J2 t5 v, ?7 ~

+ _; Z+ x. @5 f. f& t4 z- c# v5 ~5 r
* E2 _6 Z  e7 E( s6 [第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
6 N" }! k% E1 T! n( L9 l**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
9 ~6 ]) {+ P  w" |- D
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
( K8 e# J9 \7 k" m) U
0 f1 V/ X7 B9 x& u当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

8 k, r1 B3 U2 X. C+ o1 W+ w假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
6 ?5 Z7 d& n* T8 h+ ^
有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

5 n( I! ^  {' |& H" @$ p( P**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

3 m% c. l7 M6 c3 L! ~' b$ p' \9 J有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

8 Q- l3 Y; X& g/ }  ^问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
* L- z7 n" J- s: c4 o! J

---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
0 e3 ?0 |4 [# J0 p) [& Y- ?据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
4 P5 M" \3 y- E+ v; B
3 j3 @, Y* y, w---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
! C0 E0 ?7 m( |; y$ H3 M这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
3 P9 b+ j; c% q1 }据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
, `9 M5 q& _" E2 f/ U! o**约瑟夫斯问题    都教授
: c+ Q: K$ |- Z6 k, O
$ o8 R+ \; X% o4 ^* `" q; _我们来聊聊约瑟夫斯问题。

4 G& N3 j1 D( j. \, T0 }* Z1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
# T% q& b( r1 y3 U7 z' U2 A/ x
1 u: G  G! v; }: u推的方法如下：
" _: E# Y7 \( ]# @
, P+ A. k  Z8 v. a8 e/ h5 Q* nn=1，就一号，跑不掉的
3 Y- @5 {/ o3 w' x- M- u6 mn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

- x* Q% C& x* f
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
0 m; c9 v1 `% ?$ E0 Z) K" V1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

& [8 j9 K, o% r( @! ?; d6 i2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

) R% ^* x9 u* S7 K
- p2 v1 i, {0 ^# t& J兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
# @  j8 r1 t) |5 Q- `# M
; p' t" V$ I" N1 [  M9 _在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

' V0 E. t# s' ~8 t5 W4 _还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
; u9 {$ R& ]/ J/ Q: T/ [2 r- m0 q
" O' c5 D5 W: H2 ~. H1 E7 J一个小心翼翼的Java例子：
5 t. E- |4 v8 [; O
int josephus(int n, int k) {
  R9 y9 v9 z0 s/ Z0 Q1 }' y; V        return josephus(n, k, 1);
' ^- D3 L2 [) f( [8 _; r  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
' _0 ~4 J0 ^# ^; D2 c. g5 C      if(n == 1)
' g$ c4 Y9 Z, s+ _          return 1;
% m' y2 r+ U! N1 e0 n      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
9 i1 R/ Q+ O, c+ c& P* g
. Q: R' R' {8 M# P7 r0 @      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
# K- R; p4 b' L0 m$ X% L      if (survivor < newSp) {
1 o. b  j! V  u( @* [+ G          return survivor;
  D9 f5 {. U6 ]      } else
          return survivor + 1;
  }

另外有个更简洁的例子
7 l! o. k' ]- E7 e  def josephus(n, k):
( J0 y5 W: f2 e, B2 a7 E9 V/ x$ @" v    if n ==1:
      return 1
: i0 J8 a# A' L1 b( \    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
9 c0 F' o# ~8 H# o- A; C
: \$ Y$ v7 d: o3 P: L+ p$ N（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
# |1 B6 K. y) y( S: p$ n7 c
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

6 d$ X# g7 [4 E( k: \. l
关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
& b; k; `7 [) W1 M$ X4 ~
f(2n)=2f(n)-1
, c2 U. E- q( ^; H# ^2 N; S如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1

, o& g/ S6 l7 C5 h* v6 ?+ P
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
0 M# t0 G7 I  U" Y5 }f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
0 z3 @" k& g0 e
* Y, R3 _; C3 q. G- v2 `/ W从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
; p7 t# y6 O' s4 D5 \  c
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

5 z# \; w1 h: {7 B) ^
6 Z( m' m- K4 F答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
( a: o% T' [( c! k+ a3 T# o兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
5 F& `7 `  @; M
在 ...

) G0 P# D  `+ E7 Q& ^; ~) n我的推法就是这个：
6 G7 ]2 q! [+ @* y2 m* ?
7 E9 s  H  W7 P4 y  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

0 d3 Q+ O1 q- T, x. p, }" X* e我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
5 P! H; [; ]' F2 ^* b# a+ M不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。