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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
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    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    $ C# }& K* ^8 }1 j2 q2 |看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”6 e( m& B5 k% T; k3 X/ j& O; t
    + I" }- S/ _2 m1 q$ r' f8 H
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    : S# t$ y  @& z9 @5 O; O  n: O' X! y" f8 _4 P8 ?9 ~; G
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ Z2 W2 A4 S% V; u! _
    - M) Y8 q' b3 }) S% [
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes., g/ x; Q- k4 Y$ {2 F
    # n; d& c2 x2 n# t0 c- y" q- ^
    幸运数的定义0 R2 Q2 z4 a% t( v4 i5 q
    FORMULA       
    & v& G2 P& v; T& \" O! ^Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.7 u- J4 Q9 z$ B1 S+ |3 C, m
    : g' p' A5 D# v# v% f$ a) Q
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    0 }; e( W! Y6 L! b( k( |2 [' J% Q$ b2 `( l' a
    初始,从1开始的自然数列:% o+ O7 ~/ e5 Y. J: {5 T) f9 m+ q
    Begin with a list of integers starting with 1:  P& c. O7 O( x1 [9 b$ [0 R
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    6 }) H0 S/ r$ }3 g# q! w5 u; |0 [  Q, W% \/ T: b7 j
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    - o7 W1 ^6 L4 k剩下的数列如下:
    " c. g' T" z5 j8 F& K0 @Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:/ u! [0 D; m. }& I
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……; g$ F! B5 M- E( K' s+ h
    ( ?+ f! K; m/ P0 Y6 l* O
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    7 h" Q" i: A1 j0 ~5 ]The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
      ]$ j9 }  p& O& [& Z, G1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……# `$ G0 _, y$ O5 ~9 _
    3 z/ h7 v; R. ]" q) m0 n1 T
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:  \+ ]. T8 Z: B1 W; V
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    / m* Y: ^- F8 B' y; `3 f1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……, b, D" b1 k# ~5 B0 Z

    7 @" m4 E# d$ L- o: n接下来是9,……
    : q: i; {( V" F, B. k& O2 e这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    ) t5 J: Q( v8 D8 |
    2 s' z& ^. M: H3 U+ F4 j* m1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    . i. N3 u: U4 F在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers2 ^& I8 [& D9 ^) m* ~, {  z! Z" K
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    2 k3 k0 R; e1 i( Q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……' h( M) `4 c+ t) I/ s
    # |. M/ g' P4 b
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    6 u( c' e$ d( N! U0 M: U0 f5 e. o+ R
    ) V$ |9 K, p' @: M" J
    ! k3 u7 y, x) B) z( b4 d* M
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! ]9 n: e9 m( G' Z2 `3 J1 x

    % Z  Q1 V/ z# }6 Z5 @数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    5 h( Y, R# I- T0 l9 l幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。" G3 ?5 k: y9 Q# K; i) @# }3 X
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。6 J) b9 X- t: M2 ~! M! G
    6 L) ?' ^0 s. m
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?9 n/ U2 H( p* X* m

      R. _2 X; s4 q  L% \**什么叫做Conjecture?
    3 \! U- B$ V  ]7 J" O$ @) C**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)5 T( Z& D) W/ `

    ) V  a  d- S1 W  k猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。( X' t$ C3 k2 H/ L8 m/ Z
    9 s/ C6 A# r( B7 \( S  l- y0 O+ x- K
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。' H2 ~3 K1 ?: {  r& @" ~# V
    6 Q! `. ]" [5 X+ t
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    & ~; w* S0 e4 L6 b& B4 u( r/ k
    . A1 n0 I- a+ ^9 I: n假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。: k" z3 ?! [3 ^) \" a

    8 T* x  k  G1 c2 i有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑   Y9 O$ q& S! n' F
    # z, N$ k9 ~  N  [# s6 y
    **约瑟夫斯问题    都教授 / A0 d% @; G4 N
    ! [% Z, L; L( J, m
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    ' [  y. I% M1 f  S& P. w& A! r5 p
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    8 r9 c6 k- M' c  U! O* N1 b
    ! ?" P8 N5 k( A  e: r9 q' R5 V问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?3 q, j# U& R0 t! ~% F2 l: f  W
    & F" k9 j. h; n7 J. Z$ D
    6 e1 i+ W: m8 g7 G+ U
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    1 Q* ]7 c- m% F" L; K据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  $ f" A0 C3 I9 f2 I

    : j% E' g" ~' W/ Y5 f0 _---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------( O+ E# R5 H( z* M4 b: K' \$ z
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    8 j' w2 q) z0 B3 V, j据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    8 \9 H6 m& P* p* N0 K9 B' x**约瑟夫斯问题    都教授
    : E* j, V( g/ i8 T- ~# O% {: U
    % R3 x) ^$ e- a. S7 {0 y我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    ! ~" P. Z) ~( w# c% w
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    - a6 I$ H8 n. W9 l( U6 X7 {' y
    ( G' v8 t# S- w6 J0 C" B2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。# Y0 Z+ Q) K, R
    8 A7 f7 K0 G" ^1 g$ J
    推的方法如下:
    % N  ~; J6 i3 N
    / |, ]" W7 F& S5 rn=1,就一号,跑不掉的
    ) \& H* }1 W8 \' g7 f9 V3 \5 |1 Nn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 5 y( u7 }" l9 r3 C; z+ s3 N- x! v
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。% X5 l3 T. i+ _6 j6 ]
    8 x* `, v+ f8 W* `" j- P, K" @5 a

    , L; ]3 Y% Z% t2 l我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    $ ~) T5 e7 R2 _9 Y, r
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    % x# b5 r& o$ ?8 @1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    4 E* o7 {' [& j: ~8 M# n
    # ]8 s/ j$ H* a, @' K( D. G2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    ) P" Y- j* [) s# X+ p5 p; h
    0 S7 n9 x0 t8 y! |; E  L兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    8 e" i! t# Z( q* S; G' L7 g4 E" [2 ~
    . F  t$ V! G1 x" ]在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    ( n1 }, d8 A+ z  [* D+ W# p; `  ^- x2 Y! o
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    - ^: Z5 ]: t& n6 I# D6 G3 X. Z, Z  n+ d; i$ O) f! {4 Q) |
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    , h% C9 r6 W3 `9 U1 k6 j
    3 v2 |! F/ c' x9 Z4 I+ A' g) L! |一个小心翼翼的Java例子:0 d- _% }5 _+ O3 T
    ; r  ]* S1 [) L6 R7 a& }2 W
    int josephus(int n, int k) {8 s, \0 V7 ^* I1 V6 j
            return josephus(n, k, 1);2 T6 t( K+ f* x8 d9 `/ j
      }1 K3 R& F9 c+ l. E# n/ W" M
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    $ ~; z7 M/ a) O( O! j6 \      if(n == 1)) C# [4 [8 d5 u2 v' }6 w7 x# y
              return 1;
    " ^# S% ^6 N  S      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    1 B) W" j7 }8 R+ @: _, C, u . R0 I  l! u0 t. e  C: s% F9 l4 X
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    / c+ h9 ]: X0 Z0 O2 `; b$ W+ i3 e      if (survivor < newSp) {
    1 a  D2 h, s# {& y/ d0 g& @          return survivor;' C0 j- C, j% h7 y  W
          } else+ G% g  e' p5 Y8 p) u4 v5 o* ]7 h- Z
              return survivor + 1;5 ]: ~* {: P% i# c$ D4 ~) l" u
      }
    + E+ k9 w% F) D
    2 Z2 O# [! i( R& b4 I另外有个更简洁的例子- z- G  z9 q0 A4 h- W
      def josephus(n, k):
    / g) \3 e9 m4 C# L% Z/ ]  x    if n ==1:
    + d+ I7 o, Q3 x" m2 h      return 1+ O2 _4 L6 `. a1 S6 h
        else:4 J! j* M, e; e5 G! u) i; C1 W5 E
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    8 z2 R  e1 s0 U4 V; {/ ]+ |
    " V4 G; S$ v- H1 k# W$ x(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    - z* f+ z- C2 L; K5 I0 P* Y/ o$ F% X6 C. ?  b+ f
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    $ i, v/ M' e3 N: l
    7 s: }0 `; q5 U% Y
    , f# [* r2 Q+ @9 E7 C关于n的分析:" _2 s; v( v! \: D& {1 j0 W
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。( h& E  I  Y" l% R3 F0 v; Y" o8 C
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ( c. K$ b: x! K7 n# @* d
      y' i* Q% {( z5 vf(2n)=2f(n)-12 n# x& \) q/ C  A8 K8 T) Y
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    . o/ a( R" g& ~6 s
    . f, ^- P6 V" L' ff(2n+1)=2f(n)+12 B, h! J# l! Z& Y
    * B; G7 `( e0 J# e/ ^+ w- ]
    4 i& k: b; p8 o; ^4 w& M+ y5 |
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    8 e3 u6 O- H: G3 R: t9 L( w0 e- N# E' g
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    " Y- n' \+ g) z* i+ P: Q+ kf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    : N  X* o5 B9 ^. T. q7 ]1 `& H5 j+ L7 V1 q1 O5 C* n
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    " U$ l$ u3 f5 _) L. C9 c1 j
      O, e8 r( }6 h( {定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    " L/ p9 l& G  E! F. ^6 w, Z9 U$ A; ?& G2 C5 `9 i
    5 @' {( z! Y+ S$ \8 P
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

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    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 * H" ^8 s( v; H% H9 }# N% u
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看1 Y9 [. t. V; [- P( ^

    2 o4 l8 Z6 g% ]' f: u! {3 o/ S在 ...
    - p2 I% A1 J3 z4 o
    我的推法就是这个:
    : m7 G+ U7 A7 n. Y) O: Y/ }- P  j
    & b. e+ q2 c' ~7 }6 x3 }& j  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    3 x  k. K0 w7 z" @% _* w1 R, u; a4 j) i( n  v: n$ i' c0 P
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。2 Y4 s$ E) U% V9 t1 R

    ) P: U4 W: e; ^  |  G2的情况我没单拿出来搞。
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    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 19:02
  • 签到天数: 2133 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂& B7 \% a0 x, J& c7 m
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 * ?8 e! v: c& p5 N& w8 O
    看不懂
    + q- b( f5 ~6 y# @不过今天不幸运数是17
    . [& b2 b% V, ^3 Z* ~
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    , `* e, W( p0 h' b" ]/ G0 l" n$ g; m. C, H2 W
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    + |# z9 ]) Z% |9 q
    ) i/ Q, |9 V$ ?# b9 ?13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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