小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
+ N$ N! G' b( e0 u0 h6 S看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
" P: {( l$ W0 S+ ?" I3 A& G
' U( H* j4 [; K- v( X6 {' y2 |所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

8 M/ H, C! c; x6 N( o1 yIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

) w) h0 x) o. I! x2 h& w+ L具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
4 S) J* c( X6 f, y
初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
# l  n% u. v3 j3 k# b$ F$ a1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
6 j6 v+ W. p) t: m) n1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
+ k" F4 B* m. n2 b5 T
/ C: _7 `  C. Z' |; K7 @接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
( h8 t; {. \- d# |" UThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
7 b- r8 X) W2 w9 J
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
4 h- ]9 D# U, A1 e- y( \
% N+ r( G: M6 N" D接下来是9，……
* K1 w4 `) c/ j4 A1 a- z这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
; E, o! X; U+ H8 h2 D/ q( q' y8 B1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
8 p& i* b0 k" {( W: v3 }9 {
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？


$ _) B5 v% s* R
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
; Q+ u+ r) V; T& `! y% g
" U% _$ P- w: y5 \# L) `$ f( r暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

8 [$ c' H! E/ F7 F$ @6 x**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

& I" q! L4 O* f猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

8 o: I+ i/ o" \7 x0 X当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
3 R1 h" d+ Z3 r9 J# [! d( Z
5 j" Y1 c# ?' g" a- M猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
( A7 C8 u! O: X
3 ?" D/ j6 ?# j4 G- D' H5 R有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

9 x$ A0 I* N9 j/ `
+ W0 P; _1 \! l, l6 r/ g**约瑟夫斯问题    都教授

/ d! X8 Q2 b) N我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
' K8 Y* T: ]% ^" o4 f( O; p; ^! C& s
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

0 @# B& o( E, K) A
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
1 {% K2 F1 }( F( A& c- m; q
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
7 z1 `9 J( R8 I0 h这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
2 s- a$ d' M6 u) E: l# H0 E据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

9 s9 b3 o+ g- B推的方法如下：
. G9 l$ k) _! ?
n=1，就一号，跑不掉的
1 C/ f( q8 ]* H& N8 C& V) cn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
" Q! U5 c- ~  A  A8 R8 _

1 c( S+ j! }3 u( r& B3 [# _% d) z# @" J我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
6 ]% I" V8 z7 R$ ~# T1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

4 }' G* q1 i0 y  ?5 n5 R
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
1 ]) r2 W+ T) y3 F# V, @- m. A
# I) G) G: V& e" G' @7 M在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
# ^' r9 _5 X* E2 B  ~3 u
, s) \6 f; d7 Z/ j. R还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
$ U. _2 M) s2 z2 U3 \+ _$ W
1 _! U' h) M" T( [, T" Z- \2 p$ T) N一个小心翼翼的Java例子：

- x2 n0 w1 J# l1 G+ h" S$ ]. R int josephus(int n, int k) {
6 i4 @0 i% a, @, O' i/ m! u8 J% M        return josephus(n, k, 1);
( H( L/ G! L; X2 D  }
1 C7 u. F) f8 y  |3 ~3 J7 x, C3 R  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
3 x9 }* f0 g& B' f2 }( h: ?) B4 P      if(n == 1)
          return 1;
# V% j; h& i% }) K" d6 ]4 H9 N      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
4 m# Q: v2 T1 d7 G/ W  `2 }7 b
! A- G7 A# F) \- P2 z7 b1 c      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
  W, `$ \7 O9 ^0 `, q; Q      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
' Y% F, {* O1 {2 o      } else
          return survivor + 1;
  }
/ G! S: Y7 d$ w1 N& O" U. X! ^
另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
    else:
/ }7 O4 j7 V$ X4 G6 E5 K7 m' o( b      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
2 |8 _7 N) }- U/ W( W3 Y
/ S; v4 V" d. @（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
' U# ]& L$ u& \# u& ?% T
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


8 `% `1 b. L! t) V% C6 [1 v关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
. m* @) ^: ~+ X( M如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

2 A' H+ r' P8 W0 W+ Df(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

4 a. z  T; W& G4 @' r* l! t' kf(2n+1)=2f(n)+1

9 z# ?: I6 J5 u
7 `  p: [, X3 F% ^  Y4 e如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
* l2 @9 v7 \1 G5 w, n
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
5 s9 {) U: P$ Gf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

# f$ U* h9 T/ M# e6 p* m定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


8 N9 E% ^8 O+ _) [答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
* d! w5 {: X9 P* Z9 e! y' [9 @  s兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

! g. C* L" X  R- l% F* _3 |我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
0 p: s5 S( g7 [: H5 F2 p
% \; R: R; `! G1 X' e% z我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

7 f& b/ p$ t! G+ Y7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
% R) e5 ]  J4 E3 j0 [
! w' b# m% D  B* w' J5 k2 v$ D以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。