TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
$ C# }& K* ^8 }1 j2 q2 |看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”6 e( m& B5 k% T; k3 X/ j& O; t
+ I" }- S/ _2 m1 q$ r' f8 H
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
: S# t$ y @& z9 @5 O; O n: O' X! y" f8 _4 P8 ?9 ~; G
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ Z2 W2 A4 S% V; u! _
- M) Y8 q' b3 }) S% [
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes., g/ x; Q- k4 Y$ {2 F
# n; d& c2 x2 n# t0 c- y" q- ^
幸运数的定义0 R2 Q2 z4 a% t( v4 i5 q
FORMULA
& v& G2 P& v; T& \" O! ^Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.7 u- J4 Q9 z$ B1 S+ |3 C, m
: g' p' A5 D# v# v% f$ a) Q
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
0 }; e( W! Y6 L! b( k( |2 [' J% Q$ b2 `( l' a
初始,从1开始的自然数列:% o+ O7 ~/ e5 Y. J: {5 T) f9 m+ q
Begin with a list of integers starting with 1: P& c. O7 O( x1 [9 b$ [0 R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
6 }) H0 S/ r$ }3 g# q! w5 u; |0 [ Q, W% \/ T: b7 j
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
- o7 W1 ^6 L4 k剩下的数列如下:
" c. g' T" z5 j8 F& K0 @Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:/ u! [0 D; m. }& I
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……; g$ F! B5 M- E( K' s+ h
( ?+ f! K; m/ P0 Y6 l* O
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
7 h" Q" i: A1 j0 ~5 ]The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
]$ j9 } p& O& [& Z, G1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……# `$ G0 _, y$ O5 ~9 _
3 z/ h7 v; R. ]" q) m0 n1 T
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是: \+ ]. T8 Z: B1 W; V
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
/ m* Y: ^- F8 B' y; `3 f1 3 7 9 13 15 21 25 ……, b, D" b1 k# ~5 B0 Z
7 @" m4 E# d$ L- o: n接下来是9,……
: q: i; {( V" F, B. k& O2 e这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
) t5 J: Q( v8 D8 |
2 s' z& ^. M: H3 U+ F4 j* m1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
. i. N3 u: U4 F在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers2 ^& I8 [& D9 ^) m* ~, { z! Z" K
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
2 k3 k0 R; e1 i( Q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……' h( M) `4 c+ t) I/ s
# |. M/ g' P4 b
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
6 u( c' e$ d( N! U0 M: U0 f5 e. o+ R
) V$ |9 K, p' @: M" J
! k3 u7 y, x) B) z( b4 d* M
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! ]9 n: e9 m( G' Z2 `3 J1 x
% Z Q1 V/ z# }6 Z5 @数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
5 h( Y, R# I- T0 l9 l幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。" G3 ?5 k: y9 Q# K; i) @# }3 X
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。6 J) b9 X- t: M2 ~! M! G
6 L) ?' ^0 s. m
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?9 n/ U2 H( p* X* m
R. _2 X; s4 q L% \**什么叫做Conjecture?
3 \! U- B$ V ]7 J" O$ @) C**约瑟夫斯问题。 |
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