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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    6 L: x7 F! d6 L) y' t: V4 A看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”8 I0 I# R1 G' z
    ; z$ u2 M' g  a( X2 p1 ~/ ^7 h
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。4 Q: y: C6 C3 p3 l* m0 Z
    $ }) o) g  Q* h: K
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    ) q+ z; E/ W9 C+ h0 {& b/ v# t0 H3 m7 H* O  R9 k
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
      \  E6 b5 H' ^/ `
    ( A# K* |! F( ]0 }幸运数的定义6 B, A3 o2 A! O; A9 B+ M
    FORMULA       
    3 j! x8 r! a6 O4 @Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.7 {! x! {4 U* W* d" ]
    & i9 C; Y, q" b( c" Z. I
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)/ J5 V: R; v. q3 S7 m  |+ H! \+ B

    9 G7 f' |5 w, Y# C/ Q, f( \6 x初始,从1开始的自然数列:4 O; V* `$ c8 j9 W8 T2 e' C
    Begin with a list of integers starting with 1:
    & h$ q! h. q. R3 f# `# p1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……) {: j1 l. W1 z5 h& w; l

    3 J; c; A/ b0 X$ e开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~/ K7 p  w7 A2 D) [# r) k; B
    剩下的数列如下:1 Y( w: O# M% e& p( b: a- W
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:7 n, a9 B* @5 }- W# p" V
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    6 x: v. c# c+ T; \  A, M4 P/ F, y& J2 x: g. P' v2 e* Z$ b) {" [0 |* \
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    4 ?/ ]+ l7 m& p) w4 cThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    - h% C; f! h' L3 S& Z1 P3 f$ C1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    1 V3 Z* g! b; i" b6 }3 l
    0 A5 J$ _) z' P现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:& o+ J) q5 c* B1 B
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    9 N" n7 w! ~; }8 S5 T$ d1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    . H" Y9 s, Q* N. r. M, u; T. H. @
    接下来是9,……- d5 \1 P+ v$ T7 i& j  u$ L  f8 m
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    - |2 j+ E& e% E( E6 a$ `
    1 y" y# f6 m; Z1 x' f/ T! s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    6 g/ @; K5 T  Q4 x$ Q3 d在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers, u/ m. L+ x) t% ~; W- T! Y
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:# v) J. l/ B; v2 S0 ~7 X
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    * V- t1 j/ N6 U* ]- @9 Z5 Q# m* C% K: J' h1 e' A
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?7 D0 p$ p. b5 S* Z# G8 K  \  Y
    / s7 C% n# [/ W/ h! w2 C7 y

    ( ^/ `/ m' Q& N# p: a
    $ ]+ `$ r% R8 }' {第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。) [# Q& m0 j- R, k# N# d

    # ]% o  E$ @' C! O: a) L) o6 ^数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    / m8 X+ \. T6 y. E幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# n* m$ w: e7 N9 o( j- D* N
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    1 F9 O9 c! z0 _" S6 Y0 _
    0 }' w* n# a3 p( V# j2 q! i) m+ V3 E暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?: r+ ?/ w7 t$ q  d7 b* G0 c5 Y
    ) Q! \; u2 l3 L& }9 O8 U2 B) y/ w
    **什么叫做Conjecture?: e5 s: P" _) |: D" w
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)$ G, T  `# h, @' N: D8 M) G. h

    + z$ h- `* Y6 ?- L+ F/ |1 I1 r; p猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    2 l( c9 a  G# b( F% s  i- m; {$ J
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。2 V+ M  v4 S$ |9 V

    2 w* n5 [0 Z- \3 R7 S猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)$ S. t$ U0 a" `
    & d- w. S) q( ?4 c: S/ j
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。1 P2 s; B7 }  [1 b2 }5 v. l0 |

    ! h  R' F) o& [- D* a有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 , X5 j$ k% |) S% W& l! D
    3 L" C# ^& h- o8 q8 n! x% b
    **约瑟夫斯问题    都教授 6 |$ V4 D3 ~' U

    . P9 v" Y0 ~2 A6 ~. A3 X7 i2 g& ?我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    & b4 X) O. V5 b& u
    . m% B$ e2 E: c( p$ I2 Z- Q, z, ?6 U有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。% G2 ^& }. R; Z8 M  i5 m
    * e$ o: |* I) C$ L, d4 d" e3 M
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    . I+ N* z4 T9 Y; S0 U5 }( V+ a0 V6 ~, W2 b/ s4 @+ u" ~

    * u& ]7 I: \; ]) A+ {' N---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------7 N2 W$ S7 _5 i0 h; c1 }
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  % T* [7 C% Q" C6 y
    ( H& ~9 D: N" E
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------/ S# U& F& E8 Z$ m2 I. J( e
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    . B3 }& ?, |  B. R据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    9 c# N' M; R  N6 j7 A**约瑟夫斯问题    都教授 1 c6 v5 k; |8 A6 D
    ) |) h) V) ]. Z. |" j: }; O- t
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    6 K3 j4 e2 o2 @- e7 l" r2 l" ~  E
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!2 s+ }8 r+ g. J/ H& R
    . R4 G9 |: m( s
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。1 S) }6 q4 g9 r
    8 Q. H6 x3 x6 Y0 e
    推的方法如下:
    - G  \# v- U6 Z) l) \7 ?
    . u; {; Q+ p3 Kn=1,就一号,跑不掉的
    9 B$ Z  a3 T, in=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    & J( H/ p& o% J$ Q如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。3 C, ^, j9 N' a
    ) V/ X) v. E, U
    * `7 T8 Y/ _+ ^: l% V; l
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    " _2 f, u# e. H4 @5 N
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    2 y& T7 m. y/ @1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    1 u" X  I6 |. ~* @3 V( B( ?' ?1 A2 X& t* J
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    $ A+ `! X7 }+ L6 [

    - d# B( R. h' A9 f, P, V兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看' j7 W. W/ r8 H5 w' g7 J  \1 X

    $ C3 N  I3 y8 E0 X6 `# q在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。% S+ v. u* T# Y' q2 N+ b
    % ~, H* S7 Y& x5 H7 Y+ \
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?6 y" {' ?& Q5 d& P
    4 Y7 U& ^5 C! _% o
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------& n) |! j% v. Z- C9 Q9 V6 {
    - D- D2 H! E) N  U! G
    一个小心翼翼的Java例子:
    3 n! \- \! O5 n
    ! t4 ~% L, c' ?& U8 T! y int josephus(int n, int k) {, l. |, z0 k  V& p
            return josephus(n, k, 1);( C, v9 m0 T/ Q3 o( H0 ^: X
      }
    8 m! V! M, }- A  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {6 v# C' x* W' x9 E% h
          if(n == 1)
    ( Z8 u1 F/ ]9 s2 m3 l! M6 c          return 1;
    ( }& f9 `$ a3 F4 H      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;, T' h# o, }5 J
    0 K  s5 N# w2 k( }/ S" X6 p* b
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);, S+ ?2 ?9 o2 }! b2 {. b7 n+ o6 {
          if (survivor < newSp) {
    ' ?0 F! @9 y" Q! a! R. S          return survivor;
    & g. D9 O0 b: f! v3 y      } else2 e: }0 t- D5 }1 k# U
              return survivor + 1;
    ' ?/ S, r: [  q' ]1 i; Z$ c  }- ]( ^% c% ~. E3 m
    # g& u+ H+ l5 R3 b
    另外有个更简洁的例子1 i8 T, q( u2 N7 M
      def josephus(n, k):% f# S0 _) M& W# P# ^2 ?
        if n ==1:7 t& `  U" i: Q9 T6 E' Z" C
          return 19 W& j9 M$ P. O1 U
        else:
    + h5 d8 ]! {0 ]) }      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+13 n4 T* y# U! ~. o3 V0 e/ e& v4 ^
    + G# X$ u6 e$ n, _* }/ c' ^
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    9 y0 Q! t9 a* T* P' w4 ?- d2 [# v' G% H% f
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    ! j, \# a0 ]) _
    6 _" T+ b/ f, g. I1 N7 s" `* F
    - e  X% \  a& u. o关于n的分析:$ Y5 }& r( F0 D
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。* \& Q8 ~: o, m! t2 i! c
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:" u# i8 ]. u! v5 S4 D+ i" c

    7 Y' E9 K1 ^. K+ E5 S  sf(2n)=2f(n)-1
    " G* E6 R* W) P/ c* w' x- x7 ^" X如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    % k% G* S6 Q* z# L! _" }5 O( ]; F4 ^  d" I6 F# y
    f(2n+1)=2f(n)+1$ `/ v7 x0 e  q. A/ `1 {" L

    ! z" P: {! l3 u& T$ g
    ! k  ]9 A) p) V& _如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:! J0 N$ g' s. m# ~! V

    & V' p( l( s( z2 B% C4 vn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    " g* x1 Y3 N9 o8 |0 Rf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        14 e9 J4 x" `4 K

    7 ^/ [& |" l+ F6 h* N6 |! @$ E. Q% X从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
      [3 N4 P' K6 y) T
    ; X7 Z# p7 I# B1 ~; q% w9 v/ y定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。. _6 ^/ d  Z6 r* i# ^

    " l" t$ C$ p, \
    ) F$ D9 }9 q' O* m答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    ' j  }7 w! K/ R兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看! S& D) u- e% h3 H# r
    4 q  H0 R5 Y8 f6 e# ]1 Q
    在 ...
    . c1 w+ c' k# T( t
    我的推法就是这个:
    % \! w! p# ^8 @. F  \8 w. J
    - D# s1 I2 V3 B7 E' d0 i' A  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ' R: ~8 T4 f0 G( ]) F; p4 Q
    ; B, a# f- h8 _2 u  z+ R. ^我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    3 Y+ f$ M5 m: r+ H5 s/ w  |0 @: }  Y8 ?1 U- S
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 08:16
  • 签到天数: 2087 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    ! ^& I/ _7 a0 w% a; a5 ~8 H! }不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    4 |# V" x3 Y: O0 F4 B0 v3 [1 \+ T2 F看不懂$ `9 b" V, O1 B& q6 X! P
    不过今天不幸运数是17
    6 z! p5 W1 X" D2 v3 ~
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。( H+ A7 V& T8 @2 l0 L+ s

    " {& I& F$ }# u+ s8 @& ?以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31) |7 H+ {2 {, p6 K2 S

    5 A/ D4 M' q' m3 x7 F13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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