小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
& ~( h9 ^& p1 [. P. W) e看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

9 H3 ?* F/ N3 s所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
' C& s+ K3 }0 n6 E; T
, s2 |8 a$ A9 b7 x0 JIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
4 G- @2 F" Q2 S" v6 }8 ~
幸运数的定义
3 l" R% x$ S+ H7 p) EFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
/ n% d5 Q) k2 Z# _$ C( y4 |
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
7 O& U7 X/ z3 {1 Z# V' V1 ]9 ]
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

/ c' L1 W) ^' b1 X  `$ {接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
: P  e6 \. ^; H  `7 i2 w7 N# FThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
  N0 W5 T/ E5 {: r. j1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
1 g$ O9 f! Y1 M) a
' |" n: g8 }4 j) T$ z& b现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
8 d/ D% P/ j! E7 e6 s/ D9 b2 n6 u
2 U3 B3 {" A2 f( W8 p1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
5 o' T9 H0 l: U; @% G" z$ \) Y/ k上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
" W3 i( x$ w0 p1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？



  N  Z) W" }  W5 }: U4 q第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
% t1 U1 P) S' `' N3 V
! W! a! D5 @4 [* ^数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

# d1 W- g( _* R, v- e/ b4 H+ v+ _暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
1 J$ w9 `6 t/ D3 @. f; ^% Q
7 p2 W3 q1 k( F: F4 U**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
3 l% g- K' n1 x9 k/ z  [7 |
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
8 j' n4 l6 x, A! y
7 q" K$ E0 e2 a$ j! B5 N1 U有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

3 S" B( G2 `* p
$ H7 A3 }2 k+ T  s" f, u6 r**约瑟夫斯问题    都教授
. p: x, J$ e! I2 w3 ~3 H( S
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
  {) |  q  I( j# G6 O" A
" L$ v2 h- @# d% F
8 i7 a( Y+ _) }" B/ T---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
& M. k6 W0 I2 F, N) I) [5 p
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
( w7 l' Y5 Z5 s这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
* z7 G# v# y$ _7 [. \**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

% P( b: V2 k; E7 c) F% n1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

! c( J, y5 E' R( C推的方法如下：

9 e+ y' c& T) Dn=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
) G0 C' E5 d  w9 N! h, s如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。


; G  E* Y* y0 X/ X' P/ @我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
. O/ s" J) u8 J7 p: q
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

# o: J9 j& E: `2 P7 m2 {
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
% F9 I* S+ x/ L) R
1 V3 m: p! r0 X7 n在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
, c, S- C+ G' w. l5 M
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

! v! X$ h0 f% |) }3 B, ?- ?; ?一个小心翼翼的Java例子：

" k$ k$ a+ D/ |2 V9 F0 o int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
8 N, G, M* k3 n+ u  R4 n  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
  c7 \! H: X/ e* B6 g; e7 U      if(n == 1)
9 b1 Q; D; y) n          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

/ t# b! c- f: _- |1 I) x0 I      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
9 L) H  [1 F6 s3 Y& a6 R      if (survivor < newSp) {
' I2 O% @8 F* j( `1 S          return survivor;
- ]- A/ L! Q9 |7 l" Y2 o      } else
$ z, \( Q  c! H. ~: g. _/ O          return survivor + 1;
  }
/ f* N. R5 t) V1 B  A; K
另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
8 t/ x' |& c0 ~5 v* W: f- Z    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

6 P/ c. n, n7 x- C1 ]7 Z以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
- A4 Z2 F. O, x% `+ S2 I( X

关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
4 A& c# D7 f( h% j: r
0 \1 l# ]) i' j$ v, Mf(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
6 o  M7 G9 n: x
7 }4 w, h: o4 m# G# rf(2n+1)=2f(n)+1
' O" ]- q0 h. S' M3 A; i" j: q5 v* k

1 N: e6 o7 Q/ I9 @如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
; i+ W9 K9 T2 l3 H! R1 yf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

7 x5 r6 w6 v8 P7 X. G1 `$ E. z; O从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

; \, Z( y) S' x- l* T1 o2 c! b6 v定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

- S) |% ~  t6 k) a
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
6 E& u5 ~' V# `: Q) w; `( x兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

4 W$ `: g9 ?. X/ A& C! t在 ...

) L) }0 S3 S+ e, m我的推法就是这个：
( `# s4 \: ]4 j( @; }
! K8 k: B7 d  q$ K5 O0 o  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
9 W) n, \" o  p/ }* Z. K
我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
% k# u2 M6 l5 d" @' ~' V
' e% ~2 _; x, N2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
  c' y0 I2 I) X不过今天不幸运数是17

8 q) c! v- W& M  @' r0 E  P' \- ]7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

% D" Q( D% d! j0 D% c5 @- `& n以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
+ i3 G( s! i" S9 @3 [
) n; b  A) F+ X; ^0 k13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。