TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
6 L: x7 F! d6 L) y' t: V4 A看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”8 I0 I# R1 G' z
; z$ u2 M' g a( X2 p1 ~/ ^7 h
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。4 Q: y: C6 C3 p3 l* m0 Z
$ }) o) g Q* h: K
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
) q+ z; E/ W9 C+ h0 {& b/ v# t0 H3 m7 H* O R9 k
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
\ E6 b5 H' ^/ `
( A# K* |! F( ]0 }幸运数的定义6 B, A3 o2 A! O; A9 B+ M
FORMULA
3 j! x8 r! a6 O4 @Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.7 {! x! {4 U* W* d" ]
& i9 C; Y, q" b( c" Z. I
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)/ J5 V: R; v. q3 S7 m |+ H! \+ B
9 G7 f' |5 w, Y# C/ Q, f( \6 x初始,从1开始的自然数列:4 O; V* `$ c8 j9 W8 T2 e' C
Begin with a list of integers starting with 1:
& h$ q! h. q. R3 f# `# p1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……) {: j1 l. W1 z5 h& w; l
3 J; c; A/ b0 X$ e开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~/ K7 p w7 A2 D) [# r) k; B
剩下的数列如下:1 Y( w: O# M% e& p( b: a- W
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:7 n, a9 B* @5 }- W# p" V
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
6 x: v. c# c+ T; \ A, M4 P/ F, y& J2 x: g. P' v2 e* Z$ b) {" [0 |* \
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
4 ?/ ]+ l7 m& p) w4 cThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
- h% C; f! h' L3 S& Z1 P3 f$ C1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
1 V3 Z* g! b; i" b6 }3 l
0 A5 J$ _) z' P现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:& o+ J) q5 c* B1 B
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
9 N" n7 w! ~; }8 S5 T$ d1 3 7 9 13 15 21 25 ……
. H" Y9 s, Q* N. r. M, u; T. H. @
接下来是9,……- d5 \1 P+ v$ T7 i& j u$ L f8 m
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
- |2 j+ E& e% E( E6 a$ `
1 y" y# f6 m; Z1 x' f/ T! s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
6 g/ @; K5 T Q4 x$ Q3 d在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers, u/ m. L+ x) t% ~; W- T! Y
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:# v) J. l/ B; v2 S0 ~7 X
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
* V- t1 j/ N6 U* ]- @9 Z5 Q# m* C% K: J' h1 e' A
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?7 D0 p$ p. b5 S* Z# G8 K \ Y
/ s7 C% n# [/ W/ h! w2 C7 y
( ^/ `/ m' Q& N# p: a
$ ]+ `$ r% R8 }' {第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。) [# Q& m0 j- R, k# N# d
# ]% o E$ @' C! O: a) L) o6 ^数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
/ m8 X+ \. T6 y. E幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# n* m$ w: e7 N9 o( j- D* N
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
1 F9 O9 c! z0 _" S6 Y0 _
0 }' w* n# a3 p( V# j2 q! i) m+ V3 E暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?: r+ ?/ w7 t$ q d7 b* G0 c5 Y
) Q! \; u2 l3 L& }9 O8 U2 B) y/ w
**什么叫做Conjecture?: e5 s: P" _) |: D" w
**约瑟夫斯问题。 |
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