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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
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    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼! D0 \  W* T2 Q4 ?8 q0 @) [
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    # B- a8 _4 l% }- m- q' j) Q& F' {! i0 H4 ^! @
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    : G& ~7 V; V& F) o! ~/ x2 f, [2 |$ M* m/ n4 v3 G  V( n
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。  H0 g* V2 C8 w8 P( K$ m3 f, C
    : j. M* _/ `/ C( E4 B
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.# r1 e# A: [- ^+ n) H; }% I( }4 }% J
    ' y- p5 ^! X% u+ ~9 s' |
    幸运数的定义. K5 k: A" y" T0 j7 l5 C
    FORMULA       
    , B1 E: ?+ O" lStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.7 {6 \7 b2 k  l$ V
    ' ^; t6 ]# R, H: F/ y- S: R' n5 J/ O
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    0 T( l1 D4 H+ w
      q8 H/ j0 W! O* w. Z, e初始,从1开始的自然数列:
    : j) F4 [: t( Z! t" J/ R, UBegin with a list of integers starting with 1:$ t3 M! M+ J. W+ v" ]. D; i# C. x
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……/ N$ }6 P% B; D

    . }8 Z. L8 n( G0 G2 j# I开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
      E) P8 p3 `) i2 K/ G5 K剩下的数列如下:
    + y" z. \: j4 K/ ?0 g+ t4 gEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    8 C. V2 A2 U6 ?" x) o- k1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    # q; d, \1 w3 J! l6 ?. K3 N  X
    8 Q% N/ S( C% u) C; \8 E0 N3 V接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    6 l, y+ W+ v  S: r2 I- KThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    8 t' G. _8 X5 \* q) e1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……) T# h8 |+ d: H' X. t# Z  L

    / ?2 o3 K6 |8 H% h2 W1 e& e5 {* d现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:2 A) ~7 K  N% R& V+ c" U( O9 K2 P* I
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:+ T) N: K) p' X# x3 W  t
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……$ d: m6 v( T/ F3 Y' C6 U/ z' v
      F* b" I' |4 f# L
    接下来是9,……. T0 @$ M$ N1 L0 ?/ S  \4 I
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    9 G6 l  {* ^2 @; Y) E6 o! V: E' ~; U2 j( c
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    8 x7 x: z; Q3 C在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers1 D, `+ y+ d. J$ y7 b; i+ J
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    % k' X# R6 b) m1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    $ C" r2 y. k+ w6 s$ F6 \7 l1 m" w8 Q7 k% a; T% D% ^6 q: K6 ~
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    2 x! a0 o( T. l: z& {" W2 i& w) w* p( i0 N

    0 m6 l& D) \. H! y
    2 D  R: b" q6 ?第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    8 j, o3 E! ?" ^. h2 ~+ W* T
    8 l# ^% ?0 i# a" l* O数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。% ]' v& F( t2 W" {4 C: T& `- ?% P+ d
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    " M! @. |7 x" K7 d2 X另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。4 N% X0 x$ j6 s; t+ I/ u

    3 m/ y3 D$ t8 E% Z* g" i3 x暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?/ v2 o! b; A/ j/ Q! ^4 G

    + w7 ~" h$ W) p, Y5 }* [**什么叫做Conjecture?
    % m1 y8 ^, h  l( E( f7 i1 K**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    5 T$ W8 `4 E& e+ S% `* z8 X1 i$ z; W' \& z0 `
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    + J  n5 O  Z& C6 g
    / s( q4 T7 o) N& b当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    ! K  G, s" S! ?# i( i  q+ B1 V
    0 P# I7 t4 n0 V7 I9 }* B猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)! R& c1 G" L  v6 D7 Q4 F
    ' m2 c: G# Z7 V5 C
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    ! x2 r% F  i( N. D- N& ]8 x
    1 p4 G8 {" @% u* g3 _有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    3 E& X) Y4 B. A: b" W; C1 b, W+ P- M+ G: l% x: Q9 r. r+ D4 e
    **约瑟夫斯问题    都教授 0 \/ Z' I4 p' W# b

    ! v- m* l  E9 {1 W5 ^0 }7 m) a8 b8 S8 `6 K我们来聊聊约瑟夫斯问题。7 R( ]) \1 p7 `5 _) r
    , ]! [' G! T* O0 l
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    - z2 J1 v  p# ~9 N% k1 B% F# V" M7 Z5 p, F4 _3 S3 T
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    + x" t. r$ c/ l" P- b  x7 B7 S. }* T/ N

    6 R  @& \8 z5 q---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------* M* C7 K7 B! v- l
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    ( j8 I. ?2 [3 ?+ s( Q8 h8 ^7 a) r5 j/ m& r! h4 j
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    ! d* {  j/ K% e& e( i/ i' X, B0 g2 }0 H这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。/ u- z- M. X: i
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 , G: n8 h* Y$ E
    **约瑟夫斯问题    都教授 1 u* k* h5 A  b8 l& `( P" S

    2 Y- a7 o, ~3 v& `2 z我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    % l1 I2 a: a; ~# c7 K* `5 b$ u
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!0 U0 M" [4 `. s: J' x8 o8 h9 o2 v
    # _; X0 |8 q3 N4 p; L; x* R# Y
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。/ j0 H8 y6 E, o& n( X( X* l$ E

      l% j9 k  i& {. H" F7 R9 H推的方法如下:
    . _" f+ f8 g5 m
    / z+ Z4 x5 |  ?( ~7 C9 D  L( yn=1,就一号,跑不掉的& p) N4 W) l0 a
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 2 d+ `3 @0 F' [' s+ I, k
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。% o! A, K/ \/ m5 q: A" C
    . L/ v  R' I& g6 G  u% }
    0 ^, h" ?7 H. N# f2 d4 o) d
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 5 Y6 w8 O  v( C6 Y
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 7 c4 V3 S6 B; \, r& Y: U
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!# y$ F8 c. k. t7 L; I) F% E" h
    6 ~) {3 T, q" p) ]
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    " o$ X2 P/ A/ C( ?2 H: c- u2 K# N3 R; V
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ' u/ F  Z1 [7 F; {
    % W8 T& m/ H6 X4 a1 k& i' N: G在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。+ a/ Z/ m8 ?5 B1 c; N5 U
    - ?3 w5 }, |! s, D- P
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    . ]1 o- Y+ F$ d; J
    : V' Q! B5 S$ Y& B" v: T% d' k  y-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------4 T& a' e9 H5 q# P. ?) M0 u0 ?: }

    6 ]0 ~7 f' n/ W* u, S2 x, R一个小心翼翼的Java例子:1 X  O7 L. U# A7 E; B( q  j- h$ t
    3 k  L2 D2 s6 ^4 r
    int josephus(int n, int k) {% G+ M3 _  T6 X
            return josephus(n, k, 1);
    ) e' t# ^0 r8 C  _7 ?% _  }
    & t2 q- B% ?, {8 H% y& ]  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    : U1 N2 K: g+ \      if(n == 1)
    ' q2 ^4 {, `6 ]( F# ~* j' o2 F          return 1;
    , D$ T- X$ [: A/ i7 D! H1 ?      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    ' ]. G8 i, V9 n9 B; z
    2 m$ B% G3 q6 f& @0 C* z! T      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    # k6 l! C  I" G' B, w      if (survivor < newSp) {- U& u: J& q  i: `
              return survivor;
    8 O9 `4 V$ Q- y- W  ^2 c, _      } else+ d5 y& ?' h  X- S5 G" t
              return survivor + 1;
    ' f; Y3 F0 \; T, `8 i  }/ |% e) S5 t8 `! m8 ?1 o! r' ?) T+ }

    & b2 f" r3 I1 ]) M- ?- [* H另外有个更简洁的例子- L! M" u( o  U2 _' m9 m
      def josephus(n, k):! |( Z0 ?7 H' c& O
        if n ==1:
    . U. C$ t' v2 E% j, R9 F( O      return 1% S: f/ f6 X" C- Z0 R- K
        else:
    % Y0 E8 a3 y& B- S% Z2 R      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+11 Q5 {; Z1 G% _# F% v+ P! x

    4 q0 h  [8 {7 S(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)/ p  b6 c7 e% L, p- ^1 H

    $ y) \3 r$ o8 _8 L以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    4 |. A- M6 T; |& }2 ~' l  T8 m! Z* g3 {# A2 A$ ?) @" G
    " A' b0 F1 z6 a0 K8 |& C
    关于n的分析:  f8 l3 k* [+ X  q# ]5 }! e
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    $ p' U3 L0 G$ n8 m0 j6 D9 t如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ( X8 u7 m4 C2 p1 T. j. t
    6 x1 c6 V$ X: w0 ^0 Y- b+ P4 Gf(2n)=2f(n)-10 [1 [9 X1 m/ Z0 H
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:" N/ d, a% a1 `: y
    ( R# @( K3 K7 \5 B
    f(2n+1)=2f(n)+1
    + F3 h% Q3 ^* q3 p' X- Y
    - C6 s- [' C0 t5 p8 g" O7 @4 Z# b/ `2 @* q9 I7 s
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    2 h7 e+ d7 u$ y
    ! D& v" z9 d  j% r$ G8 O" ?n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16. g# @1 R8 q: ]- R3 K
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        14 w9 L; k  p# g- X3 C# F5 x/ A1 K
    8 m, ~4 t: g, l  c, z6 r( f% L( v5 G* J
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。4 n1 s  p; c: }; S! n( \# y3 G
    $ r4 g- [: I* T! p
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。9 I  n0 w, t8 e& x- d5 b* K
    / t; Q' u3 b5 p0 U; Q
    " m  v3 w" q+ j8 K
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 . P1 ^1 g: a0 _. I3 b
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    9 ^! K" c  t' E+ l3 l9 X
    2 t+ c" S% i% J在 ...

    3 j3 M. \' c# G0 N5 R4 _7 L( q我的推法就是这个:
    9 C* X) g8 `/ d6 y+ Z9 |+ p7 S& I
    + U4 v% l  f, X' i1 w! E- @" x  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    4 x$ o+ |) S  [# z" K, b: r$ N8 E/ b$ W, X+ @5 W
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。4 _* F3 @8 ?* x3 r. N" }

    % I1 k3 v, U& q2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    2024-12-15 20:28
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    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    " n- U: c# h0 C+ r! i; f) A! z不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    ( X. T7 M2 \# O9 N看不懂2 a+ }, f6 b! z- n
    不过今天不幸运数是17

    3 ?$ s; F9 ?$ a- f( E1 R. W7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    & f; s' v* f* `4 h$ {0 Y% z6 ^3 f
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,312 B1 {- |  b8 b3 M

    , ~- ]" I! o; V13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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