TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
1 v. G! d+ \0 f! O* w/ {& f看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”. _- K$ W8 p& }7 `. z
$ _7 G* s3 D' m. g% `+ J
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。0 |- q& w! ?& O) g y9 Y3 M
3 y# R" K' Q( B所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。; E7 ?% D. }" C( N$ `
7 W. y+ Z1 w* Q
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
) Y, z7 i" `" o. U& Z) |; M: e, F6 D" d/ x
幸运数的定义 r, U8 q+ o/ ?+ H! {3 N
FORMULA % w# L+ E/ F5 {3 u8 ]4 q
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.. Z7 O/ {' w2 T4 q) J, u- z
t8 u8 M4 r# J6 ]- {" n/ f具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的): w# L( p- d- S& [/ l/ k
' w$ k7 F% F$ T$ j. ~% I& q初始,从1开始的自然数列:
\# G5 a; t; ?5 A5 b' bBegin with a list of integers starting with 1:
- F8 l7 E. S" P! r1 y- n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
/ j* b7 q w3 l' @% ~$ ]" F H0 ?6 t& s0 O7 K9 K4 R; {
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
" q% l [2 j/ d6 _剩下的数列如下:4 D% g- s) G3 {/ L" `3 A: w
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
* i9 k# Y& D, m1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
, ^5 d9 F) Y$ t/ \$ O0 M/ x/ j$ A0 m" j# Q
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
& t# m! M; X2 B9 gThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
7 H o2 i. X Y3 { s4 p1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
/ d; u- A/ p6 a i/ i# o; d! y, p3 {+ Y+ A! H% J! K
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
9 z$ w2 }; p V* NThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
; P& ]( T* x* l2 g% I _1 3 7 9 13 15 21 25 ……# G* f) ^$ J7 v3 w# }
2 p& L/ z+ w2 f' }
接下来是9,……: }9 j. h! \: ]" n) h. P, L
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
2 B% G, |9 B; R& d0 b5 K% @ ~
( L4 ]0 }; m5 M9 }5 T; S' @1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).3 b* T- o# A: |9 c( b& p
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers+ L# q7 ^: u/ R j7 J h/ d
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
& b: c" |( k8 Q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……6 t: o7 ^* N' A* d1 e' ?$ M: j" U( N7 \
* {1 V8 E3 f6 |4 r2 ?! n' J- k' o9 B
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
! ^2 _5 H; E8 }0 g- ]
" r2 S$ C$ X! f7 e* z1 [5 o. y _* g% C9 c7 M
# {. A w2 ]6 p# ]5 V' E% K第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
: \4 ~8 B: z2 A0 }# ~4 s- j' |6 |' v0 N6 {8 _
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
0 F j1 U4 C6 ~8 ]5 n幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
5 K8 t/ x3 K) i2 `- U& x6 U; k另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
7 ~9 D5 `* A# I* [% P" [6 E$ o0 Y
% j7 a# v9 v0 d% L暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
) B4 z8 L( i! ~2 h: l# V1 O3 V, M' a
**什么叫做Conjecture?
4 E- o9 |3 t$ y! ]5 T6 }**约瑟夫斯问题。 |
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