TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼/ z2 k( u9 U4 L
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
" h R2 T; C& A' P- ?* Y) p' f3 E: |0 N5 A) Q" |2 C+ o
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
7 C* b y% J) W5 T9 L" j I- U! P7 j
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
" B: E; l% K0 m
' Z8 U; ~# b" j; y. D* x( G& JIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
* Z1 @/ V$ Z1 F( a. T8 C5 u) }2 P/ w& [9 I D' C3 W
幸运数的定义
# O% w# m9 n7 k0 x( I' k, A% c; oFORMULA ' M) @ e. j; t' ]; H
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.& }$ U! l. V3 G% n0 u9 |0 y7 J; Q
! _2 A2 u: ?( L& k" y7 Z! p具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
6 E' s3 ^5 t8 z1 M/ F. v4 L4 j& u5 b4 Z4 ~
初始,从1开始的自然数列:
2 ]6 {) j1 o0 p. j9 [! SBegin with a list of integers starting with 1:( ` R M7 V6 S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
Z2 V5 Y0 H# Y }/ S' O
8 {. g" H( O- Y8 a' k开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~$ K( k& s, @4 G |' B! P
剩下的数列如下:
& H& a& h' L/ I0 x' z B' O( eEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
3 R; m \! F' D' c1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……/ R2 C, B/ P. g' e3 ~
6 E5 B3 W& ^3 L) I
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:' e/ J: w4 V2 {8 D( L6 \' `
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1 o+ X" E1 O9 b' { Z2 Y1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
- `8 g% B+ J, l/ v, A5 ~6 I
& p5 k _( x6 G+ ]/ h现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:: ]' n E2 Q2 j2 ]1 ~( W& F% U
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
5 s/ Z6 ]7 S o+ ^* d7 {$ X1 3 7 9 13 15 21 25 ……& I' b6 ]! ^5 R( I7 b
8 C4 N0 i y2 k+ ^$ u P3 x0 R
接下来是9,……
6 F. R8 x: p: r. J* R0 x这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
F9 z7 j8 s1 o2 P, Y% f* l. F- h& c
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
3 G3 n8 Q" ?8 e# t; ]0 o在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
6 { \0 |6 v4 t8 q, `7 [: d上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
: f& l( Z* k& E6 {) v- r* S# M1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
! m$ x* [! I# K+ h; G8 U7 }" B
0 ^6 d: g! U9 O, j# O3 L& t有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?3 o/ ]5 m3 i. S7 f g
1 {- `2 |0 L4 X) s3 c8 e( ~4 ]- A9 P5 G5 q0 D
/ f# n. y; y9 t4 _$ F0 B8 ~+ b第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。" N* S8 X! W' j; m7 l( S% L, A
2 P' H6 I; S' p& u8 V5 V
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
2 ~' k* v$ A; C幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
5 E# s2 z1 q% \) N6 D另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。1 `6 k6 H: T% U; @1 z
; U# H3 U$ g6 H, i
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?$ j. v y0 y; Z7 v9 [9 P: F) A$ v
2 H8 ~" n. U1 x**什么叫做Conjecture?
5 x5 e) K( q3 p$ b$ d1 y% A**约瑟夫斯问题。 |
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