TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼. V) g9 N. t- M. c9 [7 E
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
8 u0 C8 y5 L7 a6 X: K# r2 B( M& ]
( u# c$ ~2 h2 B. T$ ?他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
# h1 @5 K: L. M7 C! Q! b* S' H9 ]3 } }& u5 }
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
( U9 Z2 k9 }% O# B2 [
j# O- }; m. ~) o1 VIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.9 L% W" C! A% g0 f& g8 [
$ c4 ^( ]- ]6 ?, c6 i* o
幸运数的定义
! }4 I/ f, G% P1 ~/ v! `# x' hFORMULA
4 O- W# z* j* h9 XStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.7 e3 D, ]1 ~: A& |# Q) {
; F! t0 g' E l/ m具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
* l J9 n& b8 Z5 c$ L7 ^5 s! o7 ~4 `' B9 r. [1 ?
初始,从1开始的自然数列:
1 P: E! C7 n* MBegin with a list of integers starting with 1:
- Y; ?3 n; g% }, d; }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……3 `( f2 M2 L7 H) W
9 b# Z, o ]6 x9 D+ q4 N: j开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~$ H( U0 m( a- A# Q
剩下的数列如下:" c( d9 Q* [2 B/ e
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
9 m9 {) Z) k0 n& g1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
; G. O3 b9 L, f u' B* a. x; ? L$ f
, ~; M% U, o. U m接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
7 j9 T! M3 ~$ z/ D5 h8 n$ m" {The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
' S$ c' Y) I+ _1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……& h! [- R/ A2 }' h; `; c" k3 _5 a
+ b- Z. I* Z, {- X* V& }4 x
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
7 B( {# B7 K/ r: e, CThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:. d5 P4 C# z* V; }% k6 p: u9 d
1 3 7 9 13 15 21 25 ……9 G" e. H6 {8 D" |8 ~
# y5 H" J/ g7 E
接下来是9,……$ O! g" s& }. [7 s
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
3 r8 \, f+ t: v: Q
5 x* W' {( P0 p/ Q) j' f* w1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).# h( j, `% w* D3 {7 Z
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
1 Q' z% i- r: {* w6 l0 O" X, a上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:+ o3 F5 Y# p) v1 ?( a! P
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……8 e$ I L+ T, Q, t
1 K8 ^" h# l) N1 b9 r有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢? v5 b' _) e) ?, F) W
7 n5 v% A( Q9 k5 t$ j
$ \0 \% o1 D) o, m
/ G# p% F. c) X3 O( C第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。6 @5 m9 _5 T" B6 X
# T) d0 H/ \: x8 i
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
! |0 X/ d6 y3 Z$ g; w2 l3 S幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
' H4 O3 L% @" N1 V; d1 E另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。5 d+ ~0 Y5 u+ u
$ o% c' x9 q" }/ W1 r c
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
& r9 x$ E2 s& j3 E" `
6 Q' ^+ T; X q) H* k**什么叫做Conjecture?
' t( `. F) s- M W/ ?/ I**约瑟夫斯问题。 |
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