小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

+ y' p7 N" a& L0 k3 V( i+ w他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

( |; s  ]6 F% H9 Q4 S, I5 K* r. M所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
, d) d; I* K+ T5 |  ]# i
7 |$ y) y% [5 @4 M幸运数的定义
2 ^% F* }* q) \% G+ n6 _( OFORMULA       
6 @" t" x0 i1 h0 f# sStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
( O+ O  h* u; z0 N% j
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

% W: Y  B; P( W; ]" E  c$ y初始，从1开始的自然数列：
3 k8 P& \# v: c' nBegin with a list of integers starting with 1:
  H+ u$ M: Z' E) W$ u1 W; G1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
7 B$ x* n4 \  W3 P1 l1 i4 b& ]# t  D
4 k1 r3 {8 m" W: D6 ]0 Q5 z开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
3 Q, B2 c2 Y* f1 H7 P剩下的数列如下：
* D# e' h" h6 SEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
7 D9 J9 t+ D7 D8 \7 U9 u1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

$ P# L) A& i2 Z% R/ g8 S+ [接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
! X) }9 h" Q0 C6 e8 h/ K5 M5 d  u1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

* s- R+ f  [* u现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
6 y) \- ~& }* @The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
) N7 @, n; r9 k1 l3 v+ L1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
$ U0 {: I, u: E5 D! R' n0 n
接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
* L$ ?6 \0 F5 d3 ^
$ ~, f6 b- Q6 {5 X, b: t6 R. ~6 F1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
: O) ?& \& a( g4 R0 p5 L+ w上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
# u4 q% G1 w# N/ ]1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
1 u2 @/ W2 t1 f6 e
8 |2 F& f: K$ x1 b$ Z2 ^2 @% ]

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
) ^# g8 I4 `. I1 ~7 Q8 [, s
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
4 L1 o# s+ u7 p! ^, L幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
* D" x( B. n* k+ g9 S另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

; B; \& u: o4 n; E) @暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
& I# `3 ~' {/ a' p& }**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

7 V6 W0 p2 {( u8 @- i7 p: e当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
6 D+ |( F6 [$ q
6 D- D: j5 n# p* L2 S! s: L有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

. u$ _; u8 S$ \" G2 X3 A9 |
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。
& c1 k( O/ {: n2 b; [
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
; u  p' c+ e. ^& `- k7 N
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

" M- M% J1 M6 ~8 ]
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

7 J' E2 N! x# ^) t/ q---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
. m! _. o. E6 Y这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
0 y/ \( _- ~# U: k0 u+ G  A4 {
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

. q+ L8 O/ s) D" K, [1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
3 X* {) j. _+ r" u# Z
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
2 R6 \, L3 }# e+ U6 f9 P. j
推的方法如下：

( P7 \- U0 g5 K. G" @8 k) vn=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
$ U9 J$ y/ u1 E: {

4 _3 |  \+ H( _0 ?% y我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
2 g+ q. q: E" a! }( R! W1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2 X! d% ]$ K* h: R8 Y) r2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

1 P# y% _& j3 ?  u
$ E1 u  ^! ?2 e; _兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

1 v% m1 Z9 K$ m1 f4 f0 _3 p8 o还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

' A) S; U7 l* N8 q-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：
: O' A. x* z9 I. A( ~# ~7 _
% W/ x. U. J4 j8 i int josephus(int n, int k) {
' ?$ ]2 m) ^: \: T' W. ?- E: T        return josephus(n, k, 1);
  }
1 t/ E" j! B1 C; d  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
3 E8 [& m5 y9 \% M. e      if(n == 1)
0 `5 y  h6 s- |: X/ A# K" A* ]) Z          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

/ @% x& J. E1 ?. f+ g) \4 e      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
; s* C1 z' \: H      if (survivor < newSp) {
6 x5 h3 x& p4 @6 T5 G/ c4 o          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
& ~9 I& W0 y2 \( Z  }

+ Q& G, v% n# d+ U另外有个更简洁的例子
& u- s1 {- z. K) U) f  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
1 d: W& ~6 S1 j    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

1 h3 G% p1 I" H/ L; X# t以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
) r6 ^( k2 _7 M

2 Y' u- S' H: H关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
! Q, S  R& J" A5 A% f8 A: C; j如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
' N0 o( X% {4 _# n, h
! T$ w! n( N# B/ {& Hf(2n+1)=2f(n)+1

$ |6 ?# E+ ]5 [7 g2 ]5 ^# p
+ U- R# O$ t& A5 r8 _! B如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
' M9 d& A  R5 F5 ?+ u7 W
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
! S2 n3 c( G3 }9 n
1 a3 @7 L7 _5 r& y% k定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
; ^5 T! q; ~$ a' w. ]

" K9 W% v' z2 D2 n, p答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

我的推法就是这个：
7 w4 h% Z4 q. w8 w
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
+ p+ a! [, W8 n, [+ m
2 `3 ]3 O( D4 {: L我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
4 a0 x$ W0 C: F9 U0 ]1 F8 N
2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
# L" f! s: g* v9 K8 J  y4 s不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
" x0 ?5 }2 E0 X# M6 p' l! m不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
. W0 u3 G* w7 _4 |* b
13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。