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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼- c* {+ s# P; r+ ]9 z/ n9 s
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”7 c0 E) o7 p9 }- D+ H( @- R# k
    ! T2 W& {/ N5 Y1 a0 R8 [
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ( Z9 g/ F* [6 i. a# k: H! L
    ' d( g+ Z) z$ l5 v7 u$ O所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    1 O$ b4 b6 }) j$ H- Q8 X1 \6 f7 J) r5 v6 I3 k$ r4 X- O3 S4 J
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    2 }* x% D+ L  q3 `* l- M0 P  ]3 D% c0 _8 W
    幸运数的定义) U; t' r' e% u. N# `
    FORMULA        6 `. c; G; N, d. V, c$ O
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc." _6 D# n0 n5 z8 A

    ! W' O5 @! \6 O2 J$ I/ f# e具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)( Y, x) w* X& N/ G

      N$ i7 k, d9 r6 v6 |0 g初始,从1开始的自然数列:2 E- N1 h4 |. s, N3 s. g8 i2 D2 C+ I
    Begin with a list of integers starting with 1:% d+ @+ m' s7 J$ V1 _! j6 F
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……9 S3 ^# [# m+ R! H& V6 m

    ' R) f5 Z5 T2 R2 }1 ]开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    ! p6 @+ |* p: a6 O' m* v剩下的数列如下:
    9 V' v6 K5 T  O$ [) REvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:1 i) m. h& w, j; l# l' w
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    $ ?6 [9 }9 L! p4 q3 s! o. ^- o$ i& Y& S. |' y( C0 e! M: G
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    4 |3 f2 b4 ]8 d' t. F- i4 W; |The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:. S" ?3 l& F& ~% X
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    7 R  X! b2 @7 H4 T/ o
    5 N8 B$ ~' A  I1 h3 s! {现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:% W* Z. v, u6 ^3 X6 n3 D8 Y
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    3 B) C: w) v: U2 u: x1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    9 K/ L; R8 X6 N: G
    9 D- C6 i% }; x  K4 t7 [- @/ Q" {9 i接下来是9,……  }) `! Z  v$ T1 z
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。( W$ `8 O, h1 w5 n! m( A
    1 _, m" O8 m0 j. j  Z  V8 F" s: [
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    $ l: j5 u1 t' `2 t3 `7 n在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers* f; |* l  j: T( C
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:+ C& r: W5 h4 i1 c$ \+ L" I8 ?
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    7 [8 ?" q+ g, d4 b# f0 ~2 w% L$ T5 d
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    & A* a+ ]; ^( l# p6 _
    1 D1 t# {4 h6 g# _+ p  f$ l
    2 J; Z; M2 {# j% {
    0 B1 ]3 S  n- U6 P+ v7 v第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
      c* [. o( ?$ z" Z
    8 ], R5 P& Y: ?! a* @* r数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。: M( B, n! z9 g3 K) [) @
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。7 M+ s! S0 K* x
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    7 J& [" M! w3 X- r" E& S( _0 _9 B! f8 u1 `' j
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?* W6 F4 ^- k- L" A/ O

    4 X/ v' \5 B) b) X1 l! d**什么叫做Conjecture?
      x* R8 U$ m2 t, |" J) n% x. O0 p1 E**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)% M) K7 O3 g, }# U& R

    ( K) b4 e8 b' x猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。( o: M! E$ H% w5 p) o  ~* h+ r
    - [% q$ Z$ F% S1 s/ Q3 `2 k
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    7 l. P! n  X+ q7 y) r
    0 Z8 Q1 t7 y6 F2 y猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)% v! b8 O3 Q0 l' Q: u' [; ^. K

    2 G# T) O) G) \0 V0 `8 J4 b假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    " i0 c( c( z0 Y  @8 n' u" D$ b. S7 d% T6 \5 ^* k, f: ~# |  G
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    ; x' t- X5 t+ p3 q3 y+ w2 w8 w3 p" T: C% Y( ~
    **约瑟夫斯问题    都教授 ( |$ I( G) v6 e4 E
    - B! w7 G- I9 O1 S; x
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    # F& R9 |' p* W
    : y* L( H3 W( ^/ ^/ _有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    / s1 K8 J: n% a$ c. s8 ]
    6 _) j! J# ]* z1 A4 r! T! f6 Y3 I问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    % E2 b) ?; ~1 u6 z% s+ z6 |" m" Y' V0 s8 P9 y

    ! A  I3 }2 b! K0 j, j5 P---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    , t! O7 O4 F& _, S$ R- Z  N) S9 x$ i' Y据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ) q$ X0 B1 ]3 `0 s4 J
    : P0 V' I) ~( p* G+ Y' h) a$ ?
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------# z( l* _& v# Y- K
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    3 {& I1 D; w# p& J据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 & E. `9 q7 D% _" h% p( q3 \
    **约瑟夫斯问题    都教授
    ! s( M8 n: d/ T$ s' j, c) M- t( {& ]! @0 L' T7 w
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    3 X  |- y0 U7 T6 Z3 C' l9 H1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!# k  k* k$ ]  P* i
    8 L8 p3 b+ \0 E5 j+ S
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。3 ^: c$ [9 `- f/ J% p# S

    - \! B7 n; v& j8 ~. O推的方法如下:* L0 W& h2 h/ z$ `9 ]' h+ L

    9 q5 F# \4 a1 W& h# I/ h, vn=1,就一号,跑不掉的* e* q% F6 S, w/ r2 g3 ~
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    9 i- z, j. }$ y6 o2 r) h: e如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。( {1 N6 _! j5 P+ ~, f( O0 d2 n
    : n* Z/ ?0 d' B& p7 Q4 D
    + a5 N4 p' |+ B0 R
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 # L! q  d  }  `
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 2 b8 \; g  y5 w2 e0 u
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    & C# G" ~  f1 ?; t# G' a' E; f# m* d5 r+ H- ?+ D5 |
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    $ Z% g5 B" y; \  _4 [! B
    / b2 K' T- ?$ c3 l0 M3 T; O
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    % H2 n  c# b" l/ Z' C& f- ^' i9 x
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    + P  e! j" W" q/ o* @8 S8 H% k
    " p/ \- K6 B( N! U) z4 t. M还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    0 T& m) o" G4 `# b1 v8 P$ A+ [) S8 i3 o8 p
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------" }* Z  F4 B3 n+ s  j- R: G+ D+ E
    ) u" u* _; {2 `/ C: `4 v
    一个小心翼翼的Java例子:! N% j, o! I0 M8 L+ L

    ' ^2 b% Y; e* C& Y int josephus(int n, int k) {
    , b4 u8 ]! s, t% B        return josephus(n, k, 1);1 D7 ~2 e, A1 ~
      }* q. [0 X" o% i3 b, p& w& v
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {2 V+ C4 N$ ^/ D" @
          if(n == 1)0 n# [, M) A4 n5 G' }; ]3 `
              return 1;
    : p# }: |# k# z, U4 {  F      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;% V, r/ Y# i: m# d, n& S* }. Q& y

    9 _% O$ l% a3 l. ^* `- x      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);- a& A% d5 J) K9 x/ f* P  e2 p
          if (survivor < newSp) {. }9 d4 Q5 H4 y" ?3 d
              return survivor;
    1 _( A% i9 s$ \1 ~1 V9 \      } else" D% u( i: N7 W: H: U/ J
              return survivor + 1;4 `; w' I2 v8 a% J4 {7 P. z
      }$ C2 O+ O( K: j2 J' Z

    7 h6 Y3 r; i3 [) i  {2 q另外有个更简洁的例子5 z' a# c: [7 u6 A4 i( _# C
      def josephus(n, k):
    2 p. Z; z* n9 z( D- }# D    if n ==1:
    * _( U# j1 O8 s. M" V+ B      return 1
    & b- K' O& L" ]; O" h5 n, U" b" [    else:
    7 T0 P# t" c. K0 i& J) y: R9 b7 K      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1  z3 |/ a  |5 L" y8 M' E
      f* Y) x: t* [' O& N+ {
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    # s, x! i  e; s: d
    & k: W* [; N" m, X6 d  V9 O以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution8 I/ |7 V# @( l

    ( P: J1 z% z, B: {$ w
    ) d0 v3 D: S5 u+ q* ]: e- d关于n的分析:
    $ _  ]# x$ x% d+ ?0 k设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    & U  Y+ c" E+ l9 u: s8 V6 F2 {  `如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    / P# X; E" b' ^: r" @: i3 o4 Z# r% ?& l& ~; v* _
    f(2n)=2f(n)-1
    ! ?, N5 M2 a% ^5 P- H+ W  w0 e如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    - i- ^7 `* w8 u
    & [' e/ N  D! c) hf(2n+1)=2f(n)+1
    7 e. W2 S  A5 X( R  k& }) N5 e4 F0 R: q3 W/ u

    0 U: }( g$ Y; f如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    % N) c* x( F$ S5 B& K2 w
    ( |2 j! l/ v2 _n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    . i% e( B4 C, }( z+ `+ @3 D$ d8 Ef(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        18 m- u( G$ y. V0 Y" Z$ Z

    + {( n. Y9 ~7 N0 {: y5 u% S从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    + e2 A: Z3 \* a) b6 y' z3 [
    & N. J& U9 O+ w' r' Z定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    % u* ^3 ~6 J; p& e7 D: M
    . x- I. O' z7 }: p" R2 k; {
    : |2 {3 T" s4 M  G. d) y4 ?# ?答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

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    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    9 n; i, U: L! c/ P. [兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    9 v# \- p. o& k, h8 T5 Q. z7 m0 `$ E% P5 G- e: |( n
    在 ...
    " x6 n# }% F0 ]1 U% T. H# \' J8 o
    我的推法就是这个:- G6 A) U9 E* _- C

    9 V0 f$ @+ I5 f! m  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ' V, _) s3 R# V! q; e
    5 |+ R5 E; [4 A, y0 f* X我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。: K. |/ [1 @# E
    4 j1 w8 _# U8 F* N, t
    2的情况我没单拿出来搞。
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    5 天前
  • 签到天数: 2303 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂; v8 A5 D; L5 c. a8 i8 @/ Q
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 ( F2 r! q( u! ]/ N0 _5 N
    看不懂$ Z6 M0 t  [) `6 J3 A
    不过今天不幸运数是17
    & r+ V: s8 v/ @- q
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。# i0 S; L. ^# @# \- b
    " [" i. c6 y% b+ n8 o
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    3 @! R$ X# G5 |: w) |
    8 X( c$ R; k. M6 O+ j* i13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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