TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼2 K5 r! A3 V, y& H0 l
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
( {* V4 I7 b$ m9 ], f8 N; g, m
, c/ M. a, I4 d6 U他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
, Z4 X- h8 h: k, G, F
* s: y. Y1 z9 m8 K) e# D* [所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
' y3 q r% c" c/ \! J" O3 [
) y( F: ^* s0 k* A! DIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes." |0 L6 a& i$ D
6 R9 C4 G' o! B& U7 S幸运数的定义
/ C0 | w0 p/ O* [9 J( }' J' tFORMULA ( V: o \) l' z! S
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
+ O. L7 E7 `& M- |3 Z7 q
7 |$ u9 y1 o+ ]9 B+ \! z0 y% Q具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
4 q: ^7 z# I5 }$ o9 z& h$ w8 R% b0 I6 Q" w. Q, J, F; E+ ^9 r* E6 L
初始,从1开始的自然数列:4 m" t7 ?5 a2 x0 O. |
Begin with a list of integers starting with 1:( ~4 ~9 _5 ], {) _
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
2 T. W# I$ |8 E( k6 m, L
/ S, O" e6 Q) G4 K Z, Y开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~0 r1 [- m' f) l% I
剩下的数列如下:
7 V! m% v/ K" a: zEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:: c' e7 v8 Q1 \/ Z& E
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
6 u, C, o. D7 ^( x
5 O# E" T V3 h& ^接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
+ {& G5 S8 x- E4 HThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
6 T1 A v; f& Y+ f3 h% L1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
/ @; b; m0 M6 H* [- I
& z. j+ h7 s2 O5 `8 ~现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
, i8 O+ P0 x5 W) X/ h R/ LThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
2 g l7 m& @( }1 3 7 9 13 15 21 25 ……' ^ Z! B* n) h( d: Y
( u9 S1 C6 T4 K) v5 u& `接下来是9,……$ ?5 E, F6 a6 E" y$ v. d0 Y0 m
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。) U( U B7 k/ P! ]9 C
3 @4 f8 x9 b+ N' e
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
6 W5 ~) Q4 E9 R. P7 U: M! n+ }+ k) D0 J在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
b$ G9 Z6 [1 q3 n# h, s上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
: n3 |* i" B2 [1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……9 j# |5 z5 ?2 C9 p3 E0 a- y4 k+ O
( @0 ?! e, j# _: C6 Y
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
7 {/ { A; F, p0 W; R8 j# K9 I1 X+ Q3 \
% b) F2 G. u2 o) C" h. P# Y3 I* {
" \0 R* h# A% Z! ?, E* S
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
* Q& u# _6 S; I* [0 J9 G z8 b/ g8 _
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
x- O% C2 N6 [幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。% o |) I. S) F
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
* Y" i K/ L+ V2 y9 K) f- r) h- a0 t/ P& x6 D
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
0 ~2 z$ I" i: A5 k; w6 n0 m f# Y
. g y, j$ ]3 n1 a**什么叫做Conjecture?' [) I% T1 T/ S. W, K7 c! @/ U `
**约瑟夫斯问题。 |
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