小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
1 J$ ?) _" Z1 s# T, b8 R看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
8 F. l  `% X9 M2 ?- b, F9 ^3 r
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
$ v1 F$ }* t7 A
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

) R2 O" Q/ j( Z/ f$ k4 H幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

6 R) M9 k5 P( H- T' K& c  }; K具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
: S! U5 V/ W- m6 s( Z
初始，从1开始的自然数列：
5 W- I, k) Z/ E/ S  fBegin with a list of integers starting with 1:
& G2 I9 i; q: k0 G1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
# ^1 w; \2 s! p0 b& _. s剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
# G# `8 b+ E8 h3 y1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
3 D% k: `1 g6 ?; S  l6 t, _
. v, v: K- E. ~" O$ O, Y接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
9 h2 W7 F3 }, c8 nThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
) V' a# `2 [  f5 w0 f1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1 T7 j7 }6 f0 |8 G/ a% c2 f1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
' O1 y$ G& o3 U
接下来是9，……
5 O7 [3 a4 }  ~; V这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
; ?8 Y4 L7 s2 C
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
3 L8 W) K9 B2 v$ p: p6 p4 z  \7 A上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
1 o9 r6 x! `. L- q; G8 ^6 A; I
: w9 q. R% M$ F& m; @; d有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
! [+ ]. s% v5 j$ F9 T
/ O$ T3 p# q% L+ f, M" d& e
$ k, F; y+ u- {  E# V
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
2 k2 f9 `. \0 m* O8 O$ ]: L
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
4 e6 I0 i: Y6 {
暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
% Z; K5 d: g1 p; Q! a/ S% q0 q7 @**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
& Q# S# S! a4 j6 `) d
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
( j" M4 ^- w. k  E) [' Z
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
: ~6 D/ C6 [' `# b# p6 n
3 X4 `, I3 J: d/ a猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
( X% \3 ]+ f7 _4 M' X) a( b
0 \$ M( u; L4 q- u, w, I假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

7 h0 q! M* _, S有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

; }* _+ n5 v0 s0 v有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
6 v5 w6 X) J4 }- V1 N  }8 e2 x0 D. n
, n' o, E' a1 T  x问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？


---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

4 Q) O$ A- ^3 t4 r$ k# s---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
0 N+ p2 n& z4 n3 B
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

$ q# x3 a/ [' S6 E1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

. t3 P8 K+ K8 h; S- J- kn=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

% Y0 y/ B; l9 q9 b
1 h* A- E) S0 P# M7 u& H! ~9 c我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
3 ]% {1 j% `) ~) b9 z. I1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
% N  M, e. [  p
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

0 G0 g+ R+ `/ S1 h1 @) g8 K( r
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
( m% f8 T, m, _) W2 {5 E9 O- q& w  K
# T( W5 u: J9 d4 m在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

/ [8 y" \! f1 H# }还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
* J1 U7 p" z  }. s9 u
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
# _7 r. U$ |* U- T! R
一个小心翼翼的Java例子：
5 a, M/ M5 s3 P1 G1 Q' c7 f
int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
% M" b+ ?; W/ f: Q- S- F5 \  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
! {: _. u9 l5 V" F6 h) a* [0 U  D      if(n == 1)
% d" K- I, s1 W6 {& ^& ?. U( ]          return 1;
0 ?  j6 y9 y. O2 j$ m8 O0 l0 w      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
8 j1 ^! q% S0 d. d" H% U      if (survivor < newSp) {
. \4 o9 {/ q" P          return survivor;
2 p6 U: ], k2 `      } else
          return survivor + 1;
  }
% R* @! g" C3 w5 j
另外有个更简洁的例子
" z8 x4 l3 s5 G* P+ T) e$ _2 i  def josephus(n, k):
    if n ==1:
# G! |) ]+ Y: Z- i* n      return 1
  N9 h4 Y; `/ ^    else:
1 }$ Y4 J. Q! T5 G0 a      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

% D/ }5 b4 i; P1 F) _$ D（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

  l5 M- X8 V+ _  q0 }以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


1 A9 o' }  o4 S  j关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
- L5 u; K0 d3 x* m  [如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
- G9 ?) `3 n) M, Y$ X0 i
2 Y1 j9 F1 N' M0 r  {" cf(2n)=2f(n)-1
5 h0 I' x7 A9 u+ t4 U9 a如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1
7 q6 S8 m0 o0 c
5 _, d4 v2 x- W5 Q' s7 k
. R, p. C8 }1 N' `3 L如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

# W3 w$ S  w# l" G! s0 yn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

' x  u# c9 Q$ w/ w# ]定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
) \. a7 U$ w  E
在 ...

我的推法就是这个：
: G0 Q( z2 ~9 D; [4 A
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

# O4 t# T# t7 z6 ^1 f* q8 E& P3 R我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
3 j, Q1 x8 O# w& T
' N& b: m: I. C+ S2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
7 M, w! v0 g: H: P5 J不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。