设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 5750|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼3 _* y0 ^  T0 G1 J5 Q" d
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”3 n5 Z* j; W/ _  B9 z

    ( E5 B$ E0 s. [: I7 u他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    % X( ~7 P% C1 X3 ?7 X6 ]3 e( y/ }& `1 E$ Z4 J
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    1 G( x7 u6 @5 C  L# F/ r6 U0 F- J1 w6 l! m3 X
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.4 J& P6 _- U% F# `! t* n- o, p
    " v$ a3 x$ _! l! N! i7 q2 p4 ~2 e4 y
    幸运数的定义- q7 @+ B9 u8 W
    FORMULA       
    0 S; q) n6 q5 DStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    , J% |3 ~# r+ d4 l0 A3 z% y7 Z$ x: A# d, u/ @
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    3 j* J2 v2 A9 O+ Z4 t, R- `
    - G+ {) V4 @% m3 B  k- L初始,从1开始的自然数列:( {) q2 W6 o0 s5 Q9 o/ Q
    Begin with a list of integers starting with 1:6 w3 \# I1 n( r; K& f
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……  ]% v+ O2 J: c
    9 a& ?1 j3 m1 r$ E9 t. Y! M
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~  G8 K; F8 s/ G, |0 o
    剩下的数列如下:+ Q% o& m6 w4 @5 Z9 k
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    0 O; m" a1 N  M, j( u4 O1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……1 H) m  H5 R8 u/ m6 k: d8 A

    + O$ W# V( Q0 F" ]8 g接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:) A3 l7 f7 J& _1 w7 ]8 l
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    0 V: K. V1 B% l2 @. |' A  ?1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……- k: Y# X8 K! \6 w. x

    % A9 A- w) m& E6 f9 N3 i0 {现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    & n2 F3 j  E- [9 E" fThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:/ v# A! ^- Y9 r
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    . ^0 C: U2 f% T1 L+ `5 C  p9 w* E* n1 g$ b4 _+ Y
    接下来是9,……
    : p2 J% E, }: ~6 s7 T这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    / F6 V2 U# N6 a" I2 P3 O2 C6 k
    2 u1 s1 W: m& B% G* |" Y* c1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    & V& m( y, Y, Y在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers: a0 z" m4 E7 x: f
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:) ?% s* _0 X" `9 @, u
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……/ T+ E1 @+ H9 p

    4 X" ~3 v! b& }, }$ V有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?+ [9 P) B- f& b4 O2 M9 T# e1 J

    3 m% [/ z( c3 z: B* k2 E" _( o6 v, t: A% X- Q

    ' b% G0 P8 w: ]/ e; B, F第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。& T* S$ g0 [; T- |9 L  E8 h( V* m

    ; j$ X* h: q1 F4 }0 a数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    : Q! ]/ y5 W) O幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。7 n; ?: O$ F- K6 w: j
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。5 v% ^: Q; }  `

    6 E9 l7 T; W6 K  q暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    $ d+ ~' X2 f; e8 r; z
    1 i) @. [4 ]% a**什么叫做Conjecture?) z+ t' m4 P+ |6 N* n
    **约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    % `. a7 k/ t% ?; ^' q% M6 c" |1 d
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    3 Y9 r. M8 k6 j& B! b9 _1 o! V/ E" _+ F4 h! r; E
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    " i- _% b# c2 t' T  }/ p& K$ Y9 D6 ~* ]; b7 f6 Z/ u: p4 S
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)& I+ g, ]* B$ l+ }5 p

    ' A  p/ P6 p5 `- g假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    ( C+ ]( W* y# m  h& R
    + H& b  |, P' J; m' S' N有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    ; ]2 }) \$ P4 J* n
    ; y# r: M5 V' j**约瑟夫斯问题    都教授 % V* _( R% Y- r# C

    ! c+ B2 \, G' I7 D我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    ( x. i9 y/ N! d4 ?" g( ^+ @3 r7 T
    + j4 X1 Y/ L+ Q* E. @有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。7 K" q6 N" f7 @# t4 x2 O$ a

    . i8 d9 h" P; T* S( u问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    $ s$ r! s4 h+ a( O3 ]2 V. {. C9 j# \1 k- Q- e3 }' O7 q, h

    . ]/ x8 s, o! t  V---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    5 E  n5 M3 Q$ Y! X' J$ o据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    * u& g5 s% d* F2 ?% ]! {. f: w+ N8 D5 P% ~
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
      r, E( y& M- O1 G/ [9 t这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    , C5 n9 }/ c( e! |8 N) R据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 . g+ u8 {4 h, e, _: C( p5 I' x; e
    **约瑟夫斯问题    都教授 ' m7 a" }: q% Y6 ~
    - A. m3 a% v8 i6 L7 ~
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    . \4 [$ j0 q. n% |4 X4 ]# v1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    % L) A- q8 H4 @3 P/ C& r' e5 V/ d7 u8 N6 c7 q# Q0 @" R
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。& h: k8 \" v2 a9 I2 G
    % Y9 i' J& m/ A" f  S) ?
    推的方法如下:( n; f' _+ M3 A( ^4 Y
    0 c" k9 @8 b$ }! p+ }0 h  Q, I8 N3 `$ \
    n=1,就一号,跑不掉的
    ; T# \6 V+ R2 y+ H0 dn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 7 d: E' v# i7 z
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。6 q$ i7 q) Z' t% f8 M0 I
    3 p% e& @. |6 C+ n5 n9 r

    / N. \7 k# j2 o* g8 p我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 1 I0 \' W+ V" }3 Y! K
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 7 `3 K0 T: y6 I& O
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!' Q! J( k. S" Z: s- x

    ! B$ T3 ]& }: k; |' l2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    1 @7 Y1 n1 j! r8 |; Z$ D
      o2 e9 Y4 B( o$ |9 l4 G8 ~
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    9 o6 E5 M' E1 R& w5 \  A' {% A" f
    4 o, M  U, e3 Y( G: [7 `6 a( o在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    8 E" D+ i0 N/ \3 z* Q5 l: a/ \. c8 i3 c. m: q4 O
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?, c% H& `% b1 M  E9 J% n* @+ R

    , c/ C0 k8 Y6 [) R-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    ! c# p/ F4 {* Y0 F7 _" o+ V( Y) D9 `
    一个小心翼翼的Java例子:
    - l2 f: q: `* X+ a( T# W; t- Y- j
    int josephus(int n, int k) {! w0 V" p# R0 c, _$ s
            return josephus(n, k, 1);
    . H/ ^1 L* d# f7 Z7 e. I  }
    / c6 U& w% N/ R( m, H' e  q3 d3 C( S  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    : H: d, Q1 f" W. u7 H      if(n == 1)! C& p% O1 j: i3 Q
              return 1;" u* Y: S1 F7 y# B/ W, u
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    - B6 Y5 V) d3 e' e$ v% |- Y 9 t9 j' w+ \* N  |! Q
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      D: q! Y6 F& ~9 n      if (survivor < newSp) {
    % V, o! p/ J9 X! a; w          return survivor;
    8 y. A: D1 r6 [3 t      } else
    % F7 `: W2 [+ a" L          return survivor + 1;
    5 K1 o5 I; W. h3 f: @! m2 k  }* a  C2 d" J: n+ @2 o$ M
    2 n  R( \# u8 B4 G% r, ?( F
    另外有个更简洁的例子
    5 R4 `  {. Z4 {2 _8 Z# T8 U  |9 [  def josephus(n, k):2 T+ I6 M: C9 d1 F# o
        if n ==1:5 g, |$ i+ J# `) a& d; b! K: L7 y# H
          return 1
    * D' `  s; W* n  Q0 n  h    else:
    : O, f4 T  k* g8 N      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
      v; ~  i, s9 W- A2 B9 t
    5 C. a. }, s3 X) T(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)  N6 R0 g, ?- W8 ^. P" f+ u1 D  e
    9 ?% N( i  h; F& _, @% N
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution* t; i: K& P0 x
    4 n4 d* i/ _3 V: ]/ w

      b* R8 ~# A3 ~关于n的分析:
      G( R8 `1 D. E7 s7 r8 ~设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    " i  X& L9 g& {3 A如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    8 Q/ k$ d9 o) V$ e2 G* n# A8 [+ }1 o1 X) g
    f(2n)=2f(n)-1
    6 k5 g* X( c, _: }. F% b- Y' [8 r如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    3 @* s' a& J6 J7 M) K0 X( U# ^! [- Q: v+ F* y9 p. `6 }: w+ A8 ~) v
    f(2n+1)=2f(n)+13 ~0 \; Q( m# p& Y) i7 a0 J. u

    - p2 b/ l7 q  n' n- r
    ' k. V  u8 u3 m  Q8 h如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    % d$ E: m4 ^$ z$ b; d$ W0 f5 ?5 ]7 O/ d, @8 f  U3 C
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    0 a" J; I! p& m* If(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    7 E1 }4 K- S5 Y8 F) _' P' Q& ~- y5 A1 H0 n
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    . u8 c. d0 V2 s* D+ T5 l  q7 y, p' ]& ?
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    , O& n! E. f& Z  G
    6 K& A/ a. t9 A, w9 {
    9 |, f% x% G! d' ^" ]( h答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 % O3 @: D1 a. }6 f0 B
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看8 k1 g$ `' Z* B% \
    ! E0 e# H. Q: ?! n+ ?4 D
    在 ...
      @4 u  L/ U; q
    我的推法就是这个:
    7 g3 T* r2 ?9 Z( p# K; Z$ Q; ~0 W# P
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    * v6 g- h7 g: O3 X! W# k: I% V5 W2 Y/ R0 a* {
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    ) E- |( X3 F' k( Q2 s; G# F0 X* H2 B/ f* x
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 10:09
  • 签到天数: 2233 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂6 |( ^; E" e/ R5 i# `" c* {
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 ; t9 B+ N/ n0 X! o3 s. c; t
    看不懂4 o9 J0 y/ B- t/ [# h
    不过今天不幸运数是17

    ( H2 x1 i' V, B- P7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。+ y' D+ R1 F  u/ f" g

    ' Q) {' G6 e* z* g2 O以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31* L; c# o, S' l/ X

    8 R) g/ h& F7 ^9 a" z" `/ V& y& I$ X$ O13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2026-2-8 03:31 , Processed in 0.070641 second(s), 22 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表