小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
3 x  E$ p' V; O: }5 ]" ?
他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
7 [( z. i) T& Y' T+ m( c+ o: F
3 b5 I8 H# c- n2 V4 ~所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
/ f# w& g" a' E3 B  ^
  |; c* o8 i5 W幸运数的定义
FORMULA       
1 Y6 k3 e5 s6 jStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

0 E; A: z6 q  ~# k具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
% s: z  a: J; J( a
初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
& |2 F- i. M) q) X2 K1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

1 u/ u/ D1 _% G& \开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
4 _1 {0 Y6 @1 w1 s: S6 X1 W9 @; oEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

1 w+ E3 g! p3 {# q* h& i" B接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
4 t, H& H5 K9 o9 _: vThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1 y2 L, s0 U) b9 G0 ]. W1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
% R, h5 c4 C) l& y7 F2 _1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

: o2 c! s2 {- t/ r接下来是9，……
  X+ k' z. h7 I这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

( f' d  W3 Z4 V; j) ]% @- S3 Y1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
6 T3 g5 \) X8 a( [3 R8 G3 y在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
; n5 ?/ n* n; N5 g3 t1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
- q# w! ?: \! f  }
# |2 p+ E+ _" G5 O

4 z% S5 ~  F. M; ^4 d" b: _! a第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

8 u8 [% s/ k2 G1 n数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
! P& n8 C5 X6 N; z% |1 J幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
/ Q! ]6 n' Q+ o  u8 q2 j
暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
9 Z+ e+ w. `3 d4 m4 c: q8 W+ [
% k7 t) _& I6 s+ R. G3 J猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

- f8 S: e0 u( C当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
# Q7 f! B! ]! t" [
3 n  S9 P9 W1 Z! i0 j& i猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
: @: j4 K5 H& L& O6 {6 \+ R2 W6 B
% ]# Z, }2 Z- _6 U. [( @! O假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

% R4 }8 c0 u- W# _7 k& R6 k; y+ M. S7 [有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

2 ^0 D' S) q! L2 Q/ j! Y6 `/ y
**约瑟夫斯问题    都教授
' X2 Z0 Y7 h! X+ c
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

! b, [4 ?! d3 n有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
) }; e3 K2 W3 U( W/ L; K$ P$ I
9 G* \, j7 s% D5 r  d问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
% w" Z% {, ?2 e2 q0 @
' H4 Y3 l9 R; f- P, a
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

1 ?) T* b4 f: @; i# A---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

3 p3 I: }' a& q0 d* \! K3 S" Q1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：
4 i3 U" @' o3 r; W4 x" c  j
n=1，就一号，跑不掉的
2 Q9 ]0 d1 S! O- b; O; v1 gn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
1 y. D, O/ [" p2 C
5 X8 D. A. P; m( W9 h
9 K( U7 h  P9 u7 a9 q; V我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
5 Q2 v) t1 B9 o/ n
* \2 ^& Q# r  F5 n. b3 c2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

+ u. t% ~: T9 ~+ M4 l* I2 Z
, L# P# y7 I, n; |/ i7 i兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

3 W5 Q: ~0 D& Z' ]5 S还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
+ w% e4 {8 i& k# ?9 u0 f  l
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
3 D& {2 `. j' s/ V
8 x2 J5 H! N+ A& r% I% T/ ~2 `一个小心翼翼的Java例子：
3 W  I5 {3 k7 {+ L9 ^1 G2 N
int josephus(int n, int k) {
1 U, T, M& W5 I# ~, B        return josephus(n, k, 1);
: `5 s* W! o. H9 N) L% N  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
2 J. ~. k1 O: k+ a, H6 r      if(n == 1)
& i9 \% o# U5 |) |- w+ o6 v          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
  k5 O/ X1 ]2 ]- W# {      if (survivor < newSp) {
- u$ z# i9 u2 o0 h          return survivor;
' b) ]9 E. e  J2 w      } else
" Q/ g" o, V( |: T7 {3 K          return survivor + 1;
( P& L: Q# j: q* ~9 K+ R$ F/ X  }
) U. P. h0 [) x- l, v
6 F% T( f6 p* k- v# `4 Y; P另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
& D( N& d* y8 d/ T+ q4 n" {      return 1
; b0 i* K2 q& B. [    else:
0 E' G  r- I" A. L; S      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
8 X4 R8 R- s9 c. s2 x, v7 k
$ _, H) |  I' }1 P1 R& z4 `（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
/ }1 }% q2 B& m& C9 k
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

5 C& [6 l9 |' O  ?
. i7 p+ c% \7 N4 v/ f关于n的分析：
2 f( P1 [: I* S0 N6 C* p5 M' m设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
8 f: a! u; u: V
: [6 p3 v: p) x9 W) R) e& i; g5 \f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
! V0 u# ]* S- }2 b
f(2n+1)=2f(n)+1

) q+ p4 E# B2 {3 b( N
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
0 r9 m9 o9 P; S3 ~: A% z) ?
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
% T4 D  r: B& \f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

  Z1 G' b& l" M+ V- V; e从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
$ E; G8 W$ v+ A
. b' z& _% L2 b# L' f* h- d定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
+ Z2 M. W. V3 M  w: s. B0 Y

% y6 R( `& l/ ]+ j答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
3 t! V6 p  h6 S  a! c( Y+ {
在 ...

4 e) c% `7 k1 {) X0 l8 Z2 V! `我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
  ]6 j" ]/ W3 _- S4 B; [5 T5 G1 W6 k
8 G. S5 }! D+ K' }* p, o我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

. z* q+ c  A4 x8 S+ T" B* z2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
- W# e5 z9 ^( x, [. S, \  [不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
- l! h& _, S" {# s( ^! y
% B- m# f, S8 h* A以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
$ J0 B. T6 d4 X2 p
  E8 `) ]! u# c, J8 Y+ m/ Z3 \* U13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。