正弦求和公式的推导过程

唐家山

这个正弦求和公式很有意义，这里记录一下推导过程。

在单位圆上，有角a和b。其中，

sin(a+b)=BD；

BE=sin(b)*cos(a);

ED=CF=cos(b)*sin(a);

因此，sin(a+b)=BD=BE+ED=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)。

居然被推荐了，实在不好意思，再加点内容吧。

根据三角函数的周期性和对称性，所有其他三角函数的和差倍公式都可以从上述公式推出。

sin(a-b)=sin(a+(-b))=sin(a)*cos(b)-sin(b)*cos(a)；

sin(2a)=sin(a+a)=2sin(a)*cos(a);

cos(a+b)=sin((pi/2+a)+b))=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)；

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a);

tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b);

sin(a+pi/4)=sin(a)*cos(pi/4)+cos(a)*sin(pi/4)=2^(1/2)/2*(sin(a)+cos(a));

等等。

住在乡下

要想一阵

testjhy

你太聪明，丢了过程，我等反应比较慢，，如角a=角EBC，故BE=sinb*cosa

smileREGENT

10年左右有一年的高考数学大题第一题好像是证明正弦求和公式？还是正弦定理，余弦定理来着，记不大清了。

给我印象深刻的一个类似证明是这个：矢量法求证余弦求差公式。这个证法在我们那版的数学课本里是在向量那一章的某个习题里出现的，每次想到，都顿时觉得编书的人有够闷骚的~



上面这两件事坚定了俺对高中理科应试教育的两个想法：1.学会推导一个公式是运用它解题的前提，而不是记住；2.课本习题大有门道。

另外找到的一个有趣的链接：两角和差的正余弦公式的若干证明方法 - 知乎 (zhihu.com)

唐家山

住在乡下 发表于 2023-2-26 16:55
要想一阵

我这个证明没交代前提条件，是在单位圆上，我只是记录一下推导过程

唐家山

testjhy 发表于 2023-2-26 17:59
你太聪明，丢了过程，我等反应比较慢，，如角a=角EBC，故BE=sinb*cosa

不好意思，我只是做个记录，条件没交代清楚，已修改。

唐家山

smileREGENT 发表于 2023-2-26 18:17
10年左右有一年的高考数学大题第一题好像是证明正弦求和公式？还是正弦定理，余弦定理来着，记不大清了。

...

我以前中学时自己推导着玩的。今天想起来了，记录一下。