TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼2 h& {4 |( f2 ~1 `
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
' F1 B9 _0 C1 P* s( B. a6 m- w
5 q" i4 [) V- Y9 x$ e: Q3 ^他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
! p% |" Z! L+ G* m5 u& e/ Z8 f4 j. R0 E( l/ l; a+ P8 n
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
+ r! Q' ^8 o1 O0 i
" K: T+ Z* _; ZIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
9 J' ~ |& X \- q) z, W+ i2 N1 H
幸运数的定义# f$ E5 ^4 l: c3 l% H
FORMULA
& ^( E& l& h2 ?Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
8 P3 @/ A+ O8 z& M* A/ S4 r/ a1 V7 { d& B
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
; J$ S; a" j7 C# F, ~/ K
' @7 B4 J% [+ R初始,从1开始的自然数列:) p4 L! F# b; u3 k2 k
Begin with a list of integers starting with 1:- V5 J" L' r5 z; w0 K$ J+ i3 @
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……: e5 o/ x* ?, W( L& }, }5 G$ d
* |" Q% n9 ]" O开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
. p. Z5 n5 Y5 U2 s: F剩下的数列如下:
! Z. D1 @& p2 c( xEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
; v7 O8 b- \( O; [1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
/ y0 G# f6 p8 _1 w
9 V" e) Q: P' R5 k) n% o接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:6 ^) j8 d% d1 i
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
$ h/ O1 _- R/ h5 w1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
7 @( D. W5 _! J0 c9 H
% b# q. b" {4 z9 T$ g( ?5 W! X3 }: n现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:4 [) H$ r% P- ?/ l9 c3 P
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
" v# ^0 O8 a9 q9 z1 3 7 9 13 15 21 25 ……
% E- s3 B; K3 c/ u2 |% q( L. g- \( D' E
接下来是9,……6 @- h f$ T9 l" x
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。# b: d' m% r' r. V3 ?
3 E- {0 |$ v% f; l/ C r
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
- c+ U3 k, m& J3 R8 U在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
' q8 R Y. h* P, T% X上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
- f5 L0 H0 {7 k! _" C1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……- B8 |, [! L/ Q6 d- n% V
) r2 b) }4 A; O有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
2 U5 A- H7 T& r2 G4 i
+ |5 ~/ l! M9 M, H* ?, ~. a3 p% ^ U/ V" i( C
$ ?) Z y! E# |* z7 N第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。$ Y. D1 f% F. o9 R% Q: a$ T
0 |+ p8 c# H- j! ` ?, U/ x8 s! I数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。( R- b9 [8 D& v4 _0 F
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。' m6 M, j8 ^" G* u% @2 d) s
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
/ p5 K) S' j2 N% q$ N7 z; ^) ?/ n* O7 ~3 ^/ G: t
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
3 @* p6 n( K1 ]! B8 ]$ `5 N. Q/ ]; f5 C/ @7 `
**什么叫做Conjecture?
# F! I5 V" m+ O3 N- s( ?& N**约瑟夫斯问题。 |
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