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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    $ X6 Z; U3 f! B& x7 c+ @看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    ( P$ I+ h( Y& r0 c, M! G1 {# s
    0 |' y/ w# s4 m1 J/ W7 g% G8 z他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    / ^" G, v7 ~4 e6 `9 n, S6 H( r& M3 Z2 R
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。4 _. s( i  X. F1 Q% t

    / Z1 H- J* P1 {( `, O2 i0 oIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    % h' V8 m4 K( _& o* v
    3 ?- W" ], W% t; d幸运数的定义
    2 H# d  A0 s5 y  P* dFORMULA        : T6 {  s- v+ ^4 k$ U$ C
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.2 I0 p3 O2 s5 V

    4 W$ |# y0 E2 M0 Z% q具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    ( v5 l8 k6 c+ F# w7 C. ~1 w5 s
      D6 c( G% _" s& S初始,从1开始的自然数列:
    3 S) }+ }/ k2 k$ U2 Q# E2 q3 kBegin with a list of integers starting with 1:4 J5 s1 B. @0 i! r2 j7 l1 i
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    - G; [0 S, b2 c% e) R0 S- g$ z& t9 d, ?: A3 h0 c9 m0 h$ \
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
      g. b9 I  \2 H4 E+ Q! |剩下的数列如下:0 Q5 p% o7 f& _; E! B- Y
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    - ?! c" K3 a( T/ a' U, B, ^1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    $ v+ {9 S( _1 k0 L, d5 B
    : Z. c( @) d) I接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:* g# \+ w9 J4 K6 e/ K
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    ( W: h3 a# ?/ z- S1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……% D0 q! J; `  p* ~( ?. u9 \: Y

    + n- |" O! x+ y/ ^& {现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    9 J7 q$ m4 O( I" l/ P$ |The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:$ V$ q. p; ^! Y; x
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……* o3 h' ?' h8 J- R  Z

    9 m% O6 H# K/ G$ n6 d9 K. \0 a( a5 `7 `6 ^接下来是9,……  j' O8 F  Z: D, K5 L
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。* K# V8 z! l- j" H1 C& ~6 s
    # N: o- b; Q  p( n
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    4 H6 a. r+ V; B在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    / W( @; n9 U8 z& S3 ^% V8 ?上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    ; T. v9 l* ]* s4 W% E1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……, ]" ^0 w* n: N! h2 A
    8 p% z; g8 b( Y4 O9 j- a5 ]
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?$ M# ]9 G# |6 z& t, J* T
    $ X: v& c% w4 s; }: D+ r' n

    9 T) P+ I* H8 i( |* j2 a8 u( V! {
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    & S, R. ]/ o, l& L1 ^  S- I) @2 E; Y2 C: d4 l' \; r9 ?8 h
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    0 I) B5 z+ a* \8 @0 X  M幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    / h6 @+ y, U: K# J/ H另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。& D' X2 }3 v1 u. |- R

    # q$ D% P6 z1 t- b+ ]' N暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    ' Y: {. k9 P) `/ f9 M+ C# L" @" C. n9 t0 p( O6 w" `9 p  P! u
    **什么叫做Conjecture?' V+ r" M% ]' M  M" w
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)+ U8 d/ ]0 j4 l" \# ]
    ( S1 ^4 K) _0 D
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    4 H+ M. k% ?& r& y3 E$ {
    $ }, G& R- ?8 F" j: n当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    " a; C- T! r4 L8 X3 ^% G) C- s- D% _. d
    / o  b+ |& L$ n1 W6 y) {0 X猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    6 M- Y. A" ~9 v- R' F3 d6 P
    - G& \: b0 |6 f假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    & A8 u% N9 Y/ t: j' B7 z, C$ P; d- x7 _7 @2 Y
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    * j6 H# ]7 a- z8 p
    2 {' H- J% Q) ]' t! A! [' M7 O) D**约瑟夫斯问题    都教授   n, W" S. F, R0 D1 I% u, a% T
    / E0 r) G  w' M
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。/ P0 n! G& W6 H7 M& j6 ~

    # M' R( V* z1 J$ h- K6 O$ S+ S有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。& Z- K7 O8 Y9 Y% e: J, E# X

    0 ?& G" y% Q: m问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
      j: V0 W5 A2 K1 l3 x
    3 x+ w  B2 X& O8 D# z, v/ w9 H
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------7 o2 F  j* {9 b' j( w: t5 Z4 [
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ; X$ _8 O7 M  F, @+ ?* r" ~, K) b
    " q; `$ o' B$ x
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------& B- ?9 K7 o5 |+ V; c$ O2 q" c) J
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    5 @# f) z8 f. ?9 b据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    & y+ U* l1 S* K! O0 r# G**约瑟夫斯问题    都教授 ; z, J5 `  H# y3 d: J) s
    1 z" g6 F) m5 Z/ q' V; _# j. \% s6 |
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    . F+ T2 L7 t' [* Y( L" M  k
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!# t  Y1 p  m/ M+ b/ P

    + O4 H/ e0 ^' b% [3 F7 Y2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。/ Q+ i& ]3 W6 G( g* r9 @- K$ P' c

    # m: ^: K) q: Q6 u, H, j2 W推的方法如下:" k7 N+ }% s$ E

    ; I& Y) E( M6 }2 |5 E6 Nn=1,就一号,跑不掉的
    ' f: F; _8 @- q& r+ in=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 - L+ T& h5 C( T: q
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。. u" K# I1 R; ]) W- Q" J

    & R: L. ~& H2 _5 \; v7 m  }/ N
    * N8 @# t5 d. l0 l( z* \$ Q我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    9 z) }+ E0 D; l. _# @- V
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    - k  b; o2 s' |1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!" U9 U3 n6 G$ [% W& m' Y
    & l% ?' [: L) C/ B$ p% M* s6 M, i( m
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    9 S0 `- `8 x4 B+ x7 y4 g
    ; Z4 l1 W+ T5 t3 E/ C  r" w/ x兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看+ F2 U3 T  W/ b2 V

    ! c2 k, P8 s" i在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    5 k0 f& w* p1 v: ~: P4 ?* v7 ^5 |/ Y3 N/ x/ m
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?$ M7 P& U) O+ n
    7 H$ z$ A/ Y/ O5 N& {% \
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------# s+ w# u! E8 a6 T9 f- I7 ~7 u
    + C  l" R' r& H) @# a3 y" \
    一个小心翼翼的Java例子:% W" G6 Z5 \3 v* k; y: y9 p% v8 k
    / v* J1 ~3 y0 k) B
    int josephus(int n, int k) {
    % d5 h! \# j8 g: F5 M! m% O8 S        return josephus(n, k, 1);7 d3 v8 [* B( l; _+ f( |7 b  u
      }1 _+ X; B2 t0 b9 g6 t
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    $ \7 _1 b" E3 t      if(n == 1)
    - f+ p3 A) g1 s, z: Y/ M          return 1;) F8 D0 B8 h0 t3 S% {
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;  F/ `3 X" ]( `( Q

    . @6 `" ~' W! ^& o8 ~) y6 I/ e      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    . k% \) S' N1 l      if (survivor < newSp) {
    ! A; U, L/ {) T7 A$ F          return survivor;
    4 w- C5 z! a% C9 ?: X) l      } else3 G( A# Q1 x9 g: X5 D) {% j- ~
              return survivor + 1;
    $ k2 n, W! n6 b$ t  }) b1 s. x; A* T4 K

    $ i4 m  y7 L6 Z6 y- b另外有个更简洁的例子
    $ J8 K; {, M9 P  C' ]/ e9 h6 v% a/ Q  def josephus(n, k):( b  Z: A+ O$ r9 i4 U' s; W" N+ {
        if n ==1:+ v, r4 W3 E% [+ U* H: K% e) z  ^) |
          return 13 m* `, J' C1 L* C8 _9 y4 L# q
        else:0 m) H; @. U- x* f% Q
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1  G( Q$ M7 ^6 U, g

    3 ^9 q/ `/ K! g; A* E+ @& W(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)) D* [6 R- S; G+ Q+ L/ [# j

    6 ^& m% s* M& ~; o2 ^9 i$ L) K以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    - F; G1 U: ^+ ]3 |3 E- \: X8 o# [  P$ S, @% N# ~% E

    5 K# Q( ?# M# f% U1 Y关于n的分析:! c2 v- J3 [7 P4 v) a
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。; r# y7 h/ t7 I3 W+ h$ ^
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:" z7 L; e% {& |% U- s! Q
    3 k; Z$ ~% ?. J7 _, V* ]+ |& t
    f(2n)=2f(n)-1* Z& V* U9 ?- j% p$ k& T  a
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    7 E0 l# H& y3 X6 R2 \  c4 z, Y) y4 H  T' u$ x* |
    f(2n+1)=2f(n)+1
    6 C  s8 l' p) h. c7 n. m$ t" t/ J; m$ z/ ]' K2 w
    ! G6 A5 i" s6 u' H+ c1 F6 a9 D
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:: q) M! Y3 P4 L$ `5 m2 |& a& d6 k

    ( r: |/ e( N# Q* in    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    ( E5 O5 |; W5 d* K: ]' C/ F1 Af(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    * T# f! R5 T* S" N
    9 U. D% A7 B7 H% L& K( }从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。7 O  t$ v! X% ^% w, L& L9 N+ z

    ! y& Z' y0 T( c/ p9 n4 N定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    ) E5 q3 C6 i; b5 d9 _2 l
    4 r, d7 y- ~0 p. ~# I1 Q9 l/ A, P3 J# i* `' B  s+ N2 G
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    7 J/ P/ Z: Q: x: l6 v& L+ f兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看; V3 \# E  O  x, ^; \9 }' R9 j
    # t1 _/ x$ {2 D- s) O5 k, s4 h8 |
    在 ...
    " ~* M9 }; c! D5 Q: L0 x! B4 t/ _% i
    我的推法就是这个:
    % N7 c2 G- M, z! r
    2 v+ k; s, j' u( ^% Y$ n  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1- O3 I& K9 T. n! I' n. R7 H

    6 q3 p8 E. T  G+ D, a我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。* h2 w* _/ i5 q: K9 e8 E
    + T' q+ a; ?$ S( X$ j  v7 P3 K, |
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
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    2020-5-10 00:00
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    4 天前
  • 签到天数: 2120 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂+ I2 {3 z# B2 }' t7 }
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 0 h+ D5 J- |) P3 e+ X
    看不懂& r, `' D. w' f
    不过今天不幸运数是17

    + U! c& L$ ~! p" V  \7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    3 X4 V/ m: F  R; e0 O: e
    $ U! K, @( L/ @# i6 q- H4 y以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31# C9 Q: Q0 _5 `5 n, N; d

    3 I: e4 M: d2 ?6 E13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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