设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 5064|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼2 h& {4 |( f2 ~1 `
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    ' F1 B9 _0 C1 P* s( B. a6 m- w
    5 q" i4 [) V- Y9 x$ e: Q3 ^他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ! p% |" Z! L+ G* m5 u& e/ Z8 f4 j. R0 E( l/ l; a+ P8 n
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    + r! Q' ^8 o1 O0 i
    " K: T+ Z* _; ZIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    9 J' ~  |& X  \- q) z, W+ i2 N1 H
    幸运数的定义# f$ E5 ^4 l: c3 l% H
    FORMULA       
    & ^( E& l& h2 ?Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    8 P3 @/ A+ O8 z& M* A/ S4 r/ a1 V7 {  d& B
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    ; J$ S; a" j7 C# F, ~/ K
    ' @7 B4 J% [+ R初始,从1开始的自然数列:) p4 L! F# b; u3 k2 k
    Begin with a list of integers starting with 1:- V5 J" L' r5 z; w0 K$ J+ i3 @
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……: e5 o/ x* ?, W( L& }, }5 G$ d

    * |" Q% n9 ]" O开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    . p. Z5 n5 Y5 U2 s: F剩下的数列如下:
    ! Z. D1 @& p2 c( xEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    ; v7 O8 b- \( O; [1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    / y0 G# f6 p8 _1 w
    9 V" e) Q: P' R5 k) n% o接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:6 ^) j8 d% d1 i
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    $ h/ O1 _- R/ h5 w1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    7 @( D. W5 _! J0 c9 H
    % b# q. b" {4 z9 T$ g( ?5 W! X3 }: n现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:4 [) H$ r% P- ?/ l9 c3 P
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    " v# ^0 O8 a9 q9 z1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    % E- s3 B; K3 c/ u2 |% q( L. g- \( D' E
    接下来是9,……6 @- h  f$ T9 l" x
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。# b: d' m% r' r. V3 ?
    3 E- {0 |$ v% f; l/ C  r
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    - c+ U3 k, m& J3 R8 U在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    ' q8 R  Y. h* P, T% X上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    - f5 L0 H0 {7 k! _" C1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……- B8 |, [! L/ Q6 d- n% V

    ) r2 b) }4 A; O有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    2 U5 A- H7 T& r2 G4 i
    + |5 ~/ l! M9 M, H* ?, ~. a3 p% ^  U/ V" i( C

    $ ?) Z  y! E# |* z7 N第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。$ Y. D1 f% F. o9 R% Q: a$ T

    0 |+ p8 c# H- j! `  ?, U/ x8 s! I数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。( R- b9 [8 D& v4 _0 F
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。' m6 M, j8 ^" G* u% @2 d) s
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    / p5 K) S' j2 N% q$ N7 z; ^) ?/ n* O7 ~3 ^/ G: t
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    3 @* p6 n( K1 ]! B8 ]$ `5 N. Q/ ]; f5 C/ @7 `
    **什么叫做Conjecture?
    # F! I5 V" m+ O3 N- s( ?& N**约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)) C1 i% i5 g. b1 a  \3 Z

    / m+ s3 b6 c) R+ w) g$ v猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    ; Z) u8 N, @: O
    # |2 J: Z1 f$ f" ?  v当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。* R+ p# t; \4 F  v

    : P' Z* |* ?# @猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)& J  ~3 ~/ T( Q- |# }& z

    0 }4 T# E  q8 |' ]2 G假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    2 c$ X  l  K$ |  z8 c) l- G1 s$ Y& a3 c
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 . {1 A, c! z: ~  F, W) ^
    " r, Y9 g, {6 C
    **约瑟夫斯问题    都教授
    ! W& K- P0 d4 Q5 Y- K; Z- M4 M2 L- T# \( R" ~* i7 M
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    $ f5 X% L% e" [- a) `% h" b0 G* g
    4 B) V% o% w) z: v* n) @3 D有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    " T$ J2 F, [+ m9 a) L. J5 C' y$ T5 c5 E8 t% k
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?) M+ V. ^; g$ p! z/ G6 ]2 R
    # p! q( K, f1 M0 W  Z3 _: t; E& g  n

    8 m7 z4 s  Z( x, s3 D; d---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    & j, V! [' m% M& @9 W% ]) j! \据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  * ^. H  ~+ M+ s$ a) v. t6 o' H8 O

    " V0 W* {+ |. n. R7 p: x" Q---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    0 r9 `# e3 t/ h5 s( ?# r! D- t3 I/ k这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。; o# j" e3 S* O, ~
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    ! d* ~8 W1 L  @**约瑟夫斯问题    都教授 4 N+ T# e/ b6 @; g( R  Q: i

    & K  F: o$ T3 m6 M4 c6 R我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    6 G( {% ~/ g: n; A3 a
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!- U! d+ g, E9 {: L, {" A( H

    / ~  T/ z4 E* y8 ~  s& q+ u2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    ) L6 _2 T3 S5 G% m3 D* w/ s' ?! U; I0 U& F; }$ k# U
    推的方法如下:7 L5 ]. p5 D2 I1 v& @" }
    , d/ L' ]9 |. @* |  Q' i
    n=1,就一号,跑不掉的
    + B: B4 D: {5 |5 ^8 B$ z1 ~n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 ( g3 Z9 M' S/ v3 k3 T
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。) L, j6 N" W2 s3 m

      |  n# Q4 _; s: D7 x; X- C' K% W9 z
    4 l: `% {( U* }2 P我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    6 m7 s5 U. f. j" l% K$ M
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 3 m& |+ Z7 g' q* D, e. h5 y
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!) X) M$ n7 p/ ^: e# t" H

    * g$ j5 {( z, O  i2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    $ i( c! a( g, g, x
    ! L7 X# Z1 b" L) ~. C! G, _' a
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看% c' G# q$ Y( N
    ) H. _: e5 r% F/ \0 e
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。1 i/ k0 a4 e$ f& y5 b, p) o
    0 W- s2 ^8 m3 G/ h0 u" s% e
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?4 W' E! |2 s. H( Q# {. o

    6 q/ t$ n# y6 c2 X* J& T  U' B2 t+ n-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------1 I+ c! F8 C5 k$ N& Y
    4 f6 H  A- f& X0 D) n1 X; n8 s
    一个小心翼翼的Java例子:
    - a" v& @2 V& W  o- N% m; \) F) z' F6 i; J! V6 r- D
    int josephus(int n, int k) {
    . H) @+ M6 W2 W        return josephus(n, k, 1);
    2 B; s# {! m4 W. O7 }; A0 S7 r  }' D1 j9 p; P  c; z: a! d/ l. m# r
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    ; w8 e" B: \2 @* F+ {  }" r' t. `& N      if(n == 1)
    / Q& X) T8 M' W4 ~, w          return 1;9 b0 S; `% r9 I3 w
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    , p! v. J8 W( \' @1 G7 C; M2 Z' ` # K8 \. u3 _* G9 a0 i3 D! o
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);) h2 r8 }8 C( T2 y7 s! G* d7 D% h
          if (survivor < newSp) {
    / S/ `  ?' d- t( O7 N# C          return survivor;
    ! c0 a5 K& p7 n" M+ h) N      } else8 n, I+ X! w3 Y
              return survivor + 1;* k* u. C  \( _7 C7 q4 k! |
      }. G0 V- h% s6 b  I+ e
    / E% x: L' G7 S  Z: e% b
    另外有个更简洁的例子
      [: }% ^. A3 a( X( z  def josephus(n, k):$ y" u4 h" B5 `% T4 |
        if n ==1:
    6 T$ W; d2 t7 {, U      return 1
    7 ?% U) [* F* o! m9 q    else:# k$ }% H8 y9 M. M: J
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1, ~9 z& N( E1 i2 z

    . p5 m' v4 x/ M(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)' C- H- Q. q5 y# E$ I: L* s# c( U
    2 j3 m6 w- j& A  g% G
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    7 f7 V  ^5 j, Q- a9 C" Y" U4 R) _7 Y  X

    ( }! D3 i2 D3 ]关于n的分析:
      u; @5 U, l4 k4 g, @设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。, B, Q% c; ], y3 _& q
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    0 P7 h+ X/ l4 J1 r: N# ?; n3 S: }& L
    ' F0 L9 m2 L/ uf(2n)=2f(n)-1
    0 s2 X, z; o) ]如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    / Q9 x( Q1 @' n1 G6 ]+ D+ Z! G% D* N' L+ Q/ B  z2 d( L" w
    f(2n+1)=2f(n)+1
    $ f' ]6 \' y& B9 C7 B
      P6 F' ]4 l# Z- M" v; h4 W& [' R
    & r  o" A/ G: w: L6 `+ j  z0 p* F如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    3 {4 K; L" L9 B" u2 X" T( z% x, r: n8 P9 w
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16* k- Z7 _/ e' [9 Z$ f
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    0 e( m0 @! F, u% Z' C  ]* ^4 w8 k/ ^
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    / R, |* E) U& A& `( ~) B; {6 g. f' s/ l. Y
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。8 a3 ]  m+ \4 k; e) Y  R2 ~

    3 v  N4 ~& f9 K/ D- y1 j
    5 @7 B2 v, t- e( J9 k- T答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    * ?+ R8 e9 ^3 E2 I) P兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看& ?% n; |2 A) E& a
    1 s  \8 }/ j8 z! L
    在 ...

    ( T1 E: c6 r/ Y: l/ L0 `$ U我的推法就是这个:
    5 a2 h" l, `3 k; I; `" Q- @) G+ k: c! S1 e' W6 ]$ J; m; d
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    + j/ d: A9 B2 L
      i6 w5 |: G; d9 _  M' A5 }# J我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    # w1 y/ _7 }* N7 Z) g. X" U
    . k+ K: E4 D( [2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    3 天前
  • 签到天数: 2120 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    ( x( j$ J) A) r2 i不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    , Q% g7 e" A6 b3 \8 O+ E看不懂
    ; R/ r1 t& Z$ I# a7 \& [不过今天不幸运数是17
    8 {0 B+ ?+ j4 {+ v' v( h% P, L
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。% ?1 D- H$ e# K5 r  g' C5 r5 X

    7 V. O% J" f' c5 W9 p# o以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    4 S) z% ?( S8 r+ V: e0 a" U3 o* N+ p" i; ~
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2025-7-9 12:41 , Processed in 0.049516 second(s), 28 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表