TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
$ X6 Z; U3 f! B& x7 c+ @看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
( P$ I+ h( Y& r0 c, M! G1 {# s
0 |' y/ w# s4 m1 J/ W7 g% G8 z他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
/ ^" G, v7 ~4 e6 `9 n, S6 H( r& M3 Z2 R
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。4 _. s( i X. F1 Q% t
/ Z1 H- J* P1 {( `, O2 i0 oIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
% h' V8 m4 K( _& o* v
3 ?- W" ], W% t; d幸运数的定义
2 H# d A0 s5 y P* dFORMULA : T6 { s- v+ ^4 k$ U$ C
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.2 I0 p3 O2 s5 V
4 W$ |# y0 E2 M0 Z% q具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
( v5 l8 k6 c+ F# w7 C. ~1 w5 s
D6 c( G% _" s& S初始,从1开始的自然数列:
3 S) }+ }/ k2 k$ U2 Q# E2 q3 kBegin with a list of integers starting with 1:4 J5 s1 B. @0 i! r2 j7 l1 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
- G; [0 S, b2 c% e) R0 S- g$ z& t9 d, ?: A3 h0 c9 m0 h$ \
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
g. b9 I \2 H4 E+ Q! |剩下的数列如下:0 Q5 p% o7 f& _; E! B- Y
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
- ?! c" K3 a( T/ a' U, B, ^1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
$ v+ {9 S( _1 k0 L, d5 B
: Z. c( @) d) I接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:* g# \+ w9 J4 K6 e/ K
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
( W: h3 a# ?/ z- S1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……% D0 q! J; ` p* ~( ?. u9 \: Y
+ n- |" O! x+ y/ ^& {现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
9 J7 q$ m4 O( I" l/ P$ |The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:$ V$ q. p; ^! Y; x
1 3 7 9 13 15 21 25 ……* o3 h' ?' h8 J- R Z
9 m% O6 H# K/ G$ n6 d9 K. \0 a( a5 `7 `6 ^接下来是9,…… j' O8 F Z: D, K5 L
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。* K# V8 z! l- j" H1 C& ~6 s
# N: o- b; Q p( n
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
4 H6 a. r+ V; B在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
/ W( @; n9 U8 z& S3 ^% V8 ?上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
; T. v9 l* ]* s4 W% E1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……, ]" ^0 w* n: N! h2 A
8 p% z; g8 b( Y4 O9 j- a5 ]
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?$ M# ]9 G# |6 z& t, J* T
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9 T) P+ I* H8 i( |* j2 a8 u( V! {
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
& S, R. ]/ o, l& L1 ^ S- I) @2 E; Y2 C: d4 l' \; r9 ?8 h
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
0 I) B5 z+ a* \8 @0 X M幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
/ h6 @+ y, U: K# J/ H另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。& D' X2 }3 v1 u. |- R
# q$ D% P6 z1 t- b+ ]' N暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
' Y: {. k9 P) `/ f9 M+ C# L" @" C. n9 t0 p( O6 w" `9 p P! u
**什么叫做Conjecture?' V+ r" M% ]' M M" w
**约瑟夫斯问题。 |
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