TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
1 S) h8 s0 [5 b( ]看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”0 ^* [, h' N. W( P. c$ J) R
) n$ b2 ^. j& S3 o2 b+ {0 V
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
4 [. {0 h. V9 U1 s& |8 E6 P; @7 }- T& E) J
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。8 x4 L$ I- k& \
+ z$ ]% d' C; U4 B# U
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes., J% T7 ]4 ^! {' a
% v% q$ `, L+ s7 k9 G
幸运数的定义
" B. u8 }6 U( pFORMULA 6 I- |5 V7 B- V h
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.9 g) ?- b" n- i: f S* n
" Z4 X- n. N4 E- y* y9 V/ G1 g Y
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
J/ J8 ?. U# T0 Z% C% ^/ y
4 X% k u' @: h1 H初始,从1开始的自然数列:
/ p9 {" r; g l/ Z6 rBegin with a list of integers starting with 1:7 X8 e% j$ D! c' b! B1 k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……8 b( e' {. l& s6 M1 D
) o$ E! t, s& f _/ G6 h1 `
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~( |- e5 O: l$ e2 t0 D
剩下的数列如下:# t' f0 b3 e3 C+ Z8 F
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:) C9 ^! \$ W9 p5 b9 C
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
1 n$ l7 `4 j8 X# R
0 |, W% }7 J% J3 j3 @接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
) I, R$ k9 `/ ~# j* NThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1 O( k- w4 Z1 e. j$ \1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
& D, K4 C5 E: [5 w% F; {1 m& j) [! U3 B6 u# A
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:" x5 b5 V) G' U: c/ W
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
# v, g5 k* O& p) o1 3 7 9 13 15 21 25 ……' S4 @$ r3 G3 `
+ \. ^3 [! z! P0 N$ {2 x% y
接下来是9,……
# F. u4 ?# H2 `# J这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。# F8 q" b, A3 Z; O: |3 l1 r
. A) a% V8 C' m6 r; o
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).! m$ _! T* j" @0 Q, H
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers% k$ q! z) D0 S+ U
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:$ }; [# H& i% z
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……3 M$ P1 S# A, H, t w" c& B
' m8 I) n. E7 k) m
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?9 E4 s% r7 ?, V2 M* m
" b3 G4 V# h2 t3 o& n! Y
7 {& [7 R% K) y4 |+ t
9 Y: o7 B% Z J, F* w% _+ \& d) k q第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。" n1 v+ `( W2 g* r9 e
2 Y1 o J; m3 n. I
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。0 S1 w0 m. I6 N+ @
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。5 w! a2 Q2 ^; t0 I% u' ^$ }! e& j
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
1 a4 [% E: H* u% G4 b! f
z6 O& w" R/ R7 i& ~0 ^暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?; n7 ~- L0 r, m9 ^
: _9 D6 Y- D, T% p/ G
**什么叫做Conjecture?6 }4 I! G: f* y6 I7 b
**约瑟夫斯问题。 |
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