刚刚看到的一个数学牛娃
在mitbbs上，一个家长问，娃问为什么PI是无理数。然后在回复的贴里，出现了一个牛娃。很喜欢他的思维：
“一年前在版上看到过相似的帖子，就是娃说，如果派不是无限不循环小数，那么肯定会
存在一个多边形来表达圆。。。”
http://www.mitbbs.com/article_t/Parenting/32673605.html
厉害！{:222:}{:225:} 妈呀，我都没想过他为什么会使无理数，我觉得他就是无理数啊 不知道更多，但知道笛卡尔是个坏人
膜拜，完全搞不懂嘛 学渣表示，不明觉厉。 河蚌 发表于 2015-11-30 16:14
学渣表示，不明觉厉。
有放学第一个昨晚思考题从来没被小学中学数学难住的学渣吗？{:198:} 不明觉厉{:201:} 不明觉厉{:9_306:} 本帖最后由 玩牌也 于 2015-11-30 17:38 编辑
我忽然想明白那個小孩在說什麼了。
大約是這樣子的，想像在圓形外邊畫上一個四方形，那個四方形的面積就是：2r x 2r ＝ 4r^2。
在小孩的眼中，圓形是按照一定的比例存在在四方形裡頭的。所以，如果π是有理數的話，當你把四方形放大時，它肯定不能呈現圓弧的面積。
這小孩真聰明。 本帖最后由 河蚌 于 2015-11-30 17:48 编辑
玩牌也 发表于 2015-11-30 17:34
我忽然想明白那個小孩在說什麼了。
大約是這樣子的，想像在圓形外邊畫上一個四方形，那個四方形的面積就是 ...
不是这样的。
任何的有理数都可以用分数表示，如果π是有理数，那么π也就可以表示成π＝a/b,
周长公式Ｃ＝ πD，就可以变成Ｃ＝Ｄa/b＝D/b*a。
这就意味着，你可以将直径Ｄ切成b份形成一个长度为D/b的线段，然后以a条这样的线段围成一个正多边型。
而我们知道，圆不可能是多边形，因为圆周上任何三个点，都不可能在一条直线上。 本帖最后由 玩牌也 于 2015-11-30 17:54 编辑
河蚌 发表于 2015-11-30 17:47
不是这样的。
任何的有理数都可以用分数表示，如果π是有理数，那么π也就可以表示成π＝a/b,
周长公式Ｃ ...
我只是順著那孩子的思路去琢磨他的想法。
如果，他想到的是和你說的一樣的話，那真是太牛了！
EDIT: 應該是你說的對，我沒注意到那句“質數推導公式”，以為是小小朋友在玩耍。 河蚌 发表于 2015-11-30 17:47
不是这样的。
任何的有理数都可以用分数表示，如果π是有理数，那么π也就可以表示成π＝a/b,
周长公式Ｃ ...
这个不错。受教。 这个答案牛B！
更严格的说法应该是如果pi是有理数，那么就不存在真正的园？
推广推广就是物理世界不存在真正的园，
其实就是极限的概念？ 了不起的娃{:7_327:} 穿着裤衩裸奔 发表于 2015-11-30 20:44
这个答案牛B！
更严格的说法应该是如果pi是有理数，那么就不存在真正的园？
推广推广就是物理世界不存在真 ...
说起来，pixel的大小决定了“圆”是多少边。所以，电脑上面无“真圆”{:7_308:} 河蚌 发表于 2015-11-30 17:47
不是这样的。
任何的有理数都可以用分数表示，如果π是有理数，那么π也就可以表示成π＝a/b,
周长公式Ｃ ...
关键是他这个思路，不光能说明问题，还能够让学过平面几何的初中生听懂，太牛了{:222:} 这个小牛娃太厉害了，他已经在用极限思维了。他这句话抓住了圆的本质。 这个解释很漂亮，他彻底吃透了分数的定义 首先，称赞一下小孩的思维。能够这样思考问题，能力还是很强的。
但是，具体到他的猜想，其实是错的。举个反例，多边形中最简单的一种一一正方形，它的周长与对角线长度之比是2*√2。其中根号2即为无理数，无限不循环的小数。
但是，小孩的猜测还是有可取之处，因为只要简单修改一下，将猜想中的无理数替换为超越数(transcendental number)，说法就成立了。超越数是比某些无理数更加“无理”的数，它们甚至不是任何代数方程(就是我们常说的多项式方程)的解，π和自然数e是它们的代表。对比一下，根号2显然是方程 X*X - 2 = 0的解。任何一个多边形的周长与对角线长(对应圆中的直径)之间的关系都可以用有限个多顶式方程表示。所以， 如果存在一个多边形来表达圆，那么π肯定不是超越数。
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