[讨论]数学思维的培养

龙血树

河蚌 发表于 2015-11-23 09:14
题库没问题，奥赛也没问题。初中没有奥赛，但题库之全，让人叹为观止。
准备上的高中，五大竞赛都是辽宁 ...

初中东西，高考几乎都没有用了（80年代是如此，或许现在需要再打听一下），所以学习方面差不多也就可以了，关键是帮孩子把心态和习惯调理好。基础好，是指懂得原理，到了高中不至于不会解方程 等等。但是初中是否满分对于高中学习好坏并不重要。比如小学时难度不得了的鸡兔同笼，到了初中就没有 意义了，对于初中有意义的也就是基本概念的熟练掌握应用而已，而不是那时候的偏题难题。

Radiohead

做父母的心情。。。
【个人观点】：
只是初中，我感觉真没有必要当回事。分数高也罢低也罢，在能进目标高中的前提下。真的不需要追求分数。
培养孩子的兴趣更重要。让孩子善于思考更重要。

外面那些培训班啥的，只是总结解题方法，各种题型，各种技巧啥的。对提高分数有些用处。但是孩子失去了思考的机会，失去了思考的乐趣。碰到一个难题，若能激发孩子的征服欲望，自己思考干掉它，哪怕花几天时间。经过自己艰苦的思考做出来后有巨大的成就感，这种成就感会激发孩子对学习的兴趣，培养自信。

高中数学为了高分还是需要多多训练。初中真的就不必了，就那么点知识，没有必要折腾，让孩子快活些。

qyangroo

龙血树 发表于 2015-11-28 17:00
有道理，而且这些培训未必需要是书本方面，生活方面，或者蒙特梭利风格都可以。俺初中搬家但是没有转校， ...

我个人感觉大学时画机械制图，要想象复杂机械结构的前视图、俯视图、侧视图，也很锻炼空间思维。
儿童时期的例子，我见过有些小孩玩复杂的乐高建筑积木非常得心应手，不知是家长有意培训的还是天份高。
我上次贴的那个超常儿童的贴子，他不经任何培训，画的就是细节完善的复杂建筑三维构图。

龙血树

qyangroo 发表于 2015-11-28 22:04
我个人感觉大学时画机械制图，要想象复杂机械结构的前视图、俯视图、侧视图，也很锻炼空间思维。
儿童时 ...

天分肯定重要。但是，给定天分，绘图、积木、3-D方面的建筑游戏或类似游戏，想来也会对空间思维有训练作用。

另外，儿童时期的钢琴训练，有研究发现，对语言和数学能力的发展都有帮助，而计算机、舞蹈、歌唱等等训练则不能。

qyangroo

龙血树 发表于 2015-11-28 22:14
天分肯定重要。但是，给定天分，绘图、积木、3-D方面的建筑游戏或类似游戏，想来也会对空间思维有训练作 ...

关于计算机，如果只是玩应用、玩社交，肯定啥用也没有。
如果是玩编程、编写具备数据结构加算法的应用，对应用数学的能力有提升，对数学思维用处不大。
但对于我们普通资质的人来说，能应用已有的数学知识来解决问题就已经足够了，毕竟只有凤毛麟角的人能提出原创数学理论或原创性应用数学理论到新领域。
大部分人通过培训可以成为程序员，而成为图灵，冯诺伊曼是需要天份的。

goon马甲

河蚌 发表于 2015-11-28 16:37
冰蚁兄，我真谈不上什么紧张，这次儿子的成绩，高兴还高兴不过来呢。所谓火气，针对的是另一位不谈数学， ...

那个不谈数学，开口闭口教人应该如何如何的人不就是我嘛。虽然楼主您投条让我禁言，可是我还是很关注这楼的哦。没想到您也还惦记着，哈哈。那我就再说两句

话说我那些都是金玉良言，您听不进去我也没办法。给您提供一些西西河前人写的东西。值得去看看。

http://www.ccthere.com/article/4013985

http://www.cchere.com/article/2944762

http://www.cchere.com/thread/949165

lanrenyg

都是可以培养的，也都是需要天赋的

河蚌

lanrenyg 发表于 2015-11-29 06:51
都是可以培养的，也都是需要天赋的

孩子的学习，就是在天分的基础上加上培养。但天分是天生的，是父母们做不了的，而培养，是父母们可以做的，而且做多做少做好做坏，都有很多可以探究的地方。而且，知道的方法越多，了解的案例越多，你就越能联系孩子的情况，懂得取舍，确定出最合适的目标和最切实的规划。
所以，在这儿就是谈培养不谈天分。因为谈天分，那就没什么可说的了，已经生出来，现换爹妈也来不及了。和别人对比也是一样，一句“那个人有天分”，其实下面就什么都不用谈了。可是，往往天分高的人，也是最努力的，而那么句话，其实就把这一部分完全给忽视了。所以，现在谈天分，更多时候就是懒人给自己找借口。
其实大家都明白，天分决定了人的层次，但努力决定了你在那个层次中的序位。你只要了解晨枫、水风、tanis、煮酒、老燕等的学历和经历就知道了，这些人本身就是天分很高的那种人，可是，你看他们啥时候谈过天分，因为他们的天分决定了层次就在那儿，而在那个层次上，依然有很多人在竞争在比拼，而达到那个层次的，天分都差不多高，所以，大家还是在比拼努力。
改变自己可以改变的，尊重那些改变不了的，这就是我们讨论和解决问题的方法论，其实在西河和爱坛呆久了人，都是习惯了这个风格的。

河蚌

qyangroo 发表于 2015-11-28 23:39
关于计算机，如果只是玩应用、玩社交，肯定啥用也没有。
如果是玩编程、编写具备数据结构加算法的应用， ...

计算机编程，是数学思维培养的结果，而不是培养的手段。这点我还是有些发言权的。
中学生去学编程，只能是学一些语言的规则，都是皮毛而已，离散数学、数据结构、计算机原理、数值分析，这些课程都没学，也就是会玩语言的工匠，成不了才。
高中信息竞赛是理科五大竞赛之一，但我很怀疑到底是怎么赛的，因为这个不象数理化生，稍微复杂一些的算法，一天都不一定能写完。

qyangroo

河蚌 发表于 2015-11-29 10:31
计算机编程，是数学思维培养的结果，而不是培养的手段。这点我还是有些发言权的。
中学生去学编程，只能 ...

这个我同意你的看法。

我儿子就是个观察对象。他平时大把空余时间打游戏，初中时穷极无聊开始要玩编程。当然我和他爹都坚决反对，认为他应该先打好数学基础，数学能学好将来想编程自然水到渠成。

但是儿子平时空闲时间太多，他自己要玩编程，反正打游戏一样浪费时间，我们就冷眼旁观。我儿子的数学基础一般，当时是正常的初中生水准，不超过初中学校教材范围。我家里有一些九几年出版的大学时代计算机教材。我儿子阅读计算机原理、数据结构和编程语言是毫无障碍的，因为数据结构和编程语言不需要任何高深的数学理论。他能照着一本加密算法的教材书上的步骤，完成上面各种加密算法编程，同时完全不理解算法的数学意义。

所以我的帖子也说了计算机编程不能培养数学思维，而只是提高了应用数学的能力，毕竟如果给出一个实际项目，把实际问题变成算法程序的过程中有个抽象建模的过程，算是应用数学知识的实例。

中梁山

个人觉得，对数学而言：
小学主要靠记忆能力、计算能力；
初中以小学的能力为基础，再加上逻辑推理能力、空间能力（推理链条较短，可以用记忆能力弥补一部分）；
高中以初中的能力为基础，但能力要求更高更强（推理链条长，记忆能力很难弥补），再加上分析能力，另外，语文阅读理解能力要达到中等水平（不然理解题目可能有歧义）。

所以从初中到高中，要看初中的高分数是怎么得来的，比如用记忆替代推理能力的培养，那么高中成绩多半要垮。

不爱吱声

数学解题能力不是天生的而是靠后天努力的结果，我觉得对数学与生俱来的兴趣可能是天生的。

我自己是从小就对数学特别感兴趣，对语言却总是缺乏兴趣，记得初中时候爱看的课外书不是武侠小说而是《几何原本》；高中时候暑假也是看拓扑的入门书，琢磨魔方拼法，都是当作业余读物看的。各种数学竞赛也一直参加不少，也拿过市里省里的很好的名次，可惜高三时候全国竞赛，当时学校校车司机碎懒觉，结果全校参加竞赛学生晚到考场半个小时，导致第一卷成绩不理想，尽管第二卷还不错，总成绩却不够进入冬令营，有点遗憾。自己最牛一次是高二期末考试有一道题超难，全年级五百多学生，我是唯一一个做出来的。于是那次考试，数学一项就比所有人多了10分。

以上有点老王卖瓜嫌疑，但这些不是重点。。。提这些当年勇主要是想让下面的总结显得更有说服力一些。

仔细想来，我的自以为还不错的数学能力更多其实还是因为自己从小就喜欢解各种数学题，于是就比大多数同学做过更多的题，题做多了自然对各种数学原理理解的更透彻，对各种技巧的运用也更熟练，在碰到疑难问题的时候所产生的联想也更快，更多面，然后因此数学成绩总是很高，这样产生成就感会让自己更加喜欢数学，形成良性循环。

所以，在我看，在数学思维培养上，最好是能让孩子自己对数学有足够的兴趣，然后他会把做数学题作为一种游戏，那就成功一半了，做题的同时要多思考解题思路，多归纳总结，也不要重复做那些自己已经会的题，而是多做那些新鲜的或者以前做错的题，这样解题后会更有成就感，会增强解数学题的兴趣。

我觉得不管是数学思维的培养，还是数学解题能力的提高，勤思考，多做题可能都是必不可少的，做题的量到一定程度会实现触类旁通的质变，对于数学的兴趣则是起到催化剂的作用，他让这个过程更高效，更快速。

河蚌

qyangroo 发表于 2015-11-29 11:15
这个我同意你的看法。

我儿子就是个观察对象。他平时大把空余时间打游戏，初中时穷极无聊开始要玩编程。 ...

首先得说，你儿子真是够强，数据结构、计算机原理，这两门课，大学时我们班都有５、６个没过的，在初中能够学通理解，真是挺难得。微机原理的机器周期与分时，数据结构中的堆、栈、二叉树及排序与搜索，确实不需要高等数学，但是想理解透也需要一定的逻辑思维和数字空间想象力。
现在，其实数学思维是区别应用程序员和系统程序员的门槛。很多程序员编了很多年程序，可以编出很规范的应用程序，但因为不具备这种数字空间想象力，因此编程都是流水线式的，而无法做到面向模式，因此也无法进阶到系统工具程序员。

燕庐敕

河蚌 发表于 2015-11-29 15:01
首先得说，你儿子真是够强，数据结构、计算机原理，这两门课，大学时我们班都有５、６个没过的，在初中能 ...

你这个数学思维的培养我是觉得我回答不了。

你跟狗蛋生气也没必要。

这样，为了补偿珍珠老弟，我来写一个如何掌握好初中数学课本的知识的帖子好不好？这个我还是有发言权的。

河蚌

中梁山 发表于 2015-11-29 12:35
个人觉得，对数学而言：
小学主要靠记忆能力、计算能力；
初中以小学的能力为基础，再加上逻辑推理能力、空 ...

你说的，正是我目前最有所感的，这段话算是让我抓住了要领了。
小学确实是靠记忆力和计算力，也就是知识点的掌握上。懂的越多，记得越牢，计算越快越准确，就越能取得高分。记忆力确实是天生的，但记忆力好的孩子，往往在学习中过分依赖记忆力，很多题，宁愿去死背，而不愿意理解，也不愿意去做推理。
而初中，特别是到了初二，就出现了问题。平面几何，一道题的关键点，往往就在于辅助线，而辅助线如何划成了解题的关键。这个当然可以归类然后记忆，但单凭记忆力，是不可能将所有的题型记下的，所以，必须要有一定的推理分析。
而这个推理分析能力，现在的培养没有正规的方法，包括学校都是通过不断地讲题讲难题来获得，而这种获得与其说是开发，不如说是筛选，即通过反复的题型讲解让孩子们自行领悟，从而激发出这种能力来，而激发出这种能力的孩子往往并不多。似乎是只有遇到这个坎时，某些孩子就显现出这种能力，然后度过，而另一些孩子显现不出来，就被拦住了。在此之前，这些孩子本来表现都是一样的优秀。
当然，初中，后一类孩子，还可以通过刻苦来保证成绩，通过英语及语文来拉平差距，但到了高中，由于上面的这种能力还是没有出来，数学可能完全绝望，甚至影响到对其它学科的信心，从而被前一类孩子远远拉下。
我一直是在想，这种长链条的推理归纳能力，有没有什么方法可以培养出来。

河蚌

不爱吱声 发表于 2015-11-29 13:01
数学解题能力不是天生的而是靠后天努力的结果，我觉得对数学与生俱来的兴趣可能是天生的。

我自己是从小就 ...

谢谢二当家的回复。
你的道路，也是所有的优秀生的道路。我当年实际上也是如此，小学时数学老师总会在讲完正课后出一道思考题让大家做，做完了的可以早走回家，我从来都是第一个做完，然后交卷走人。所以，我从来不知道在我走后发生了什么，到底有多少人做出来。就是这种近乎异类的培养，让我对于数学有一种超乎寻常的自信，也有着极高的兴趣，让我觉得解题所获得的快乐远大于别的任何乐趣，遇到难题就绝对会扑上去，不食不睡也要想明白。这让我即使在初二高二感觉到了困难，也通过不断地钻研而挺过来。
不过，我觉得，兴趣、坚持之类的品质，应该都是一个人数学优秀的外因，甚至可以说是因为优秀而具有了这些品质，而不是有这些品质而优秀（这个推理很有点鸡与蛋的感觉）。真正的内因，还是解题的能力，异乎寻常的洞查力，就能够在众多线索中一下抓出主线，异常强的推理能力，能够在脑海中存储７、８步甚至上十步的演算图。这些能力，我认为就是数学思维能力的关键。
其实在爱坛的很多人都具备，但是我们却不知道这是从什么地方来的。似乎是天生就有了，又似乎是因为痴迷数学而获得的。但是我总有种感觉，这个能力实际上与我们的众多爱好有关，比如当很多同学喜欢出去结队玩时，我们却喜欢看书，而且都喜欢看那种情节复杂的书，而且大多数人都对历史、地理有着超乎寻常的兴趣。也许正是这些因素导致了第一个蛋的出现，然后又有了鸡。
对于数学思维的讨论，其实就是想从这些优秀者身上找出这些因素。因为兴趣和坚持确实全是后天培养出来的，但是初中数学对于初中生是如此的困难（在我们看来是如此的简单有趣），以至于现在真的只有１０%左右的学生能够出现解题的快乐，然后产生这种兴趣和坚持。这还是以我儿子所在的优秀学苗集中的学校来说的，在很多初中，这个比例不到５%。
如此少的通过率，使得数学完全成为了很多优秀学生更优秀的拦路虎。要知道，很多孩子真的十分努力刻苦认真，父母也倾尽全力去培养，但是数学这道关就是过不去。
其实提出数学思维这个问题，是因为这次我是真的担心了。孩子的数学一直是班上最优秀的，在这上面，他花的精力也是最大的。但这个月期中考试前，他第一次提出了担忧，说是这个学期有很多题自己不会，别人却会做，担心自己数学要掉下来。我对此无言以对，只能鼓励他：“你不会的别人也不会，那些说会的孩子，只是平时做过这些题。”
应该说，这次期中考试的数学成绩，完全让我松了口气，也是让他树立了信心，因为他是最后四道题，班里唯一全都得分的孩子，没有哪道是不会的，而平时总能做出题的孩子成绩却并不如意。这个成绩让他重新有了信心，不再会象前一阵那样患得患失。
可以说，初二这个坎算是越过去，但是却是第一次不在我的掌握之中。我在孩子小时就有意识地沿用着自己的经验在培养孩子，历史、地理、文学，各方面的涉猎，让他喜欢书并且喜欢研究，讲科学家的故事让他有当科学家的理想。这些手段也让他在学习上游刃有余，可以说都是他从小学到初中，都处于优秀的行列，从来不费过多少力，却也从来就没有为成绩担心过。
这次的事情，其实让我后怕，这次孩子的数学考好了，而且证明了他具有那种数学思维的能力，但是如果没考好会怎么样，是不是意味着，我前面所做的事情，其实对数学思维能力的培养无效，那么到底有没有办法，可以培养出这种数学思维能力来？
如果我们能够找到这种培养方法，是不是就意味着，在小学优秀学生记忆力和计算能力的基础上，就会有大批的孩子能够被激发出数学思维能力来，我觉得，这甚至算是教育学中的一大突破。

河蚌

燕庐敕 发表于 2015-11-29 15:13
你这个数学思维的培养我是觉得我回答不了。

你跟狗蛋生气也没必要。

真是太好了。
爱坛每个人都拿出自己的学习心得以及育儿心得来，绝对可以出一本教材，恐怕这世面上还没有哪本书有这么强的阵容。

中梁山

河蚌 发表于 2015-11-29 15:20
你说的，正是我目前最有所感的，这段话算是让我抓住了要领了。
小学确实是靠记忆力和计算力，也就是知识 ...

先说一下我理解的“逻辑”和“分析”：逻辑是顺着推理，分析是分拆切割。

长链条的推理，我觉得主要还是要靠分析/分解来解决：目标和前提（及知识点）之间，划分几个段，每个段内部靠逻辑（这个靠常规思路即可：概念、原理及其常规使用），各个段之间当然也是逻辑。
现在问题就转化成怎么划分段了，这个一部分靠有意识的练习，另外就是靠悟性了。悟性没法说，划段的“有意识练习”是比较高级的训练，老师一般不会教，家长教给孩子，让他反复训练，反复琢磨，有点像两小块神经网络，不断冲击、不断尝试，终于连成一片了。
另外，我觉得功夫可以在诗外，比如小孩是孩子王，带着一伙人玩，分配任务、组织人马，这种工作任务分解也是“划段”呀。

再另外，悟性某种程度是一种综合思维。
逻辑、分析、形象、综合是四种思维方式。形象、综合是表面的、逻辑、分析是深入的，最后还是要回到形象综合上来，深入浅出。

河蚌

中梁山 发表于 2015-11-29 20:13
先说一下我理解的“逻辑”和“分析”：逻辑是顺着推理，分析是分拆切割。

长链条的推理，我觉得主要还是 ...

哈哈，我也正在研究这一点。
在我学习软件工程（这课是学校不教的，工作之后看的）时，有个概念是很有意思，软件过程设计分为两类，一种是变换分析设计，一种是事务分析设计，前一种就是输入、变换、输出三部分，由输入量经过变换最后变成输出量，而后一种，则是将一个输入流分解成多个处理路径，根据不同的输入值处理路径，最终得出不同的输出结果值。而任何的软件处理过程，最终都是两者的组合。
正因为软件过程就是对人脑处理的模拟，所以，这个定义就很有意思了。因为变换分析和事务分析，正好就对应你在这儿谈的“逻辑”和“分析”的概念。如果说，任何的数学推理最终都可以拆解成变换分析过程与事务分析过程，也就是逻辑过程和分析过程。而变换分析与事务分析的推理过程，又等同于我们在数据结构中的深度搜索和广度搜索过程。如果这一立论成立，那么，就意味着只要在日常训练中，针对这两种能力进行训练就会显著的提高相应的能力。
正因为这种想法，所以，我所产生的第二个疑问就是，到底是真的因为血缘遗传，而使得很多高级技术人员的孩子拥有了上述的能力，还是因为这些高级技术人员本身的日常生活中就完全是以特定的思维模式来行动，而造成孩子在这种环境中生活太久而养成了同样的思维习惯，这是很难说的。如果是后者，那么，就意味着，只要在幼儿早教期，有意识的按照相同的思维模式进行训练，就可以让很多孩子到了初中完全拥有这种能力。
不过，我可不认为孩子王能够变成工程师，实际上孩子王更看重所谓的领导力，即如何让别人服从的能力，而他们分配任务的能力，也更多的是采用事务分析。往往这样的孩子王，在变换分析能力上都会有很大的欠缺。当然，更多的原因，是孩子王们往往会沉醉在某个游戏和角色中，日复一日地重复着同一种处理过程，而这正是工程师成长过程中的大忌。
逻辑、分析、形象、综合是四种思维方式。
我觉得“分析”思维方式，实际上是包括四大步骤，就是分析、归类、抽象和引申，也就是将很多相似的问题归到一个类里，找出共同的特征，然后抽象出统一的规则，并在其它类型问题中进行借用和引申，这就是所谓的触类旁通，实际上小学优秀学生往往就是能够熟练地使用分析方法所以才能出色。
而逻辑，则是更复杂更高一层的思维方式，这个是在分析的基础上，对于复杂的处理过程进行推演，但推演同时要伴随着排除、选定、演算、推论、回溯，实际上，推演的过程，就是一个先深度搜索的过程，但实际上，每一步也都必须先具有广度搜索来确定下一个分支。这个方法论本身就十分复杂，实际应用时如果分支无法确定，则会消耗大量的内存资源（对应人脑就是记忆）来存储整个演算过程，也就是所谓的的穷尽心力。对于初中的优秀生，要想更优秀，实际上就是要加强培养逻辑能力。

晨池

我觉得吧，以高考中考的难度，是轮不到拼天赋的，努力就够了，竞赛可能才会用到天赋。
语文这个真没法说，我的阅读量是很大的，但是成绩不稳定，高考就语文考的最差。不过数理化我有一个案例，可能比较有价值。
初中二年纪开始我的成绩在班里进入前五名，单科也没哪个特别好或者特别差。到初三寒假，物理老师给我们发了一本他总结的物理题目小册子，几十页全是有一定难度的物理题，而且越往后越难，后来据他讲全是他在一些教学杂志上摘抄下来的，所以也不超纲。他说的是有空就做做，但是我听成了一定要做完。于是拼了老命做了一寒假的物理题，开学以后才知道就没人做多少。
开学后不久物理竞赛，我竟然拿到了鹤壁唯一一个名额可以去省里参赛，然后老师再给我的题目有时候一晚上都做不出来，后来省里去考试，成绩就一般，止步于此。不过初三下学期的物理考试，从此如履平地，就怕题不难。
后来高二时候我又如法炮制，催熟了一把化学，用的也不过是大家常用的习题集。从此物理化学两门无论考试还是竞赛都能很轻松的拿高分，题目越难拉的越开，不难反而拉不开差距。

我不是在物理化学上有天分的，不然不会止步于省里的复赛。但是只要努力做题，认真总结，勤于思考，完全可以在数理化上面，对中考、高考难度或者更难一些的题目做到游刃有余，很快的给出思路做出来，并且有其他思路验证，这样对难题有思路，对简单题目有验证，正确性和速度都有保证。
所以我觉得，如果以考好中考、高考为目标，那么家长提供好环境就可以，在小学初中时候建立学习习惯可能需要经常辅导或者和小孩一起做，但是到高中就不用管太多，引导小孩做到努力做题，认真总结，勤于思考就可以对付数理化和英语了。做题没什么好说的，总结就总结一下做错的、蒙对的就可以了，思考就要思考课程知识之间的联系，题目中如何体现的等等。
至于竞赛，那是有天分又努力的学生们秀天分的场所，个人觉得能去陪他们考试一下就很幸运了，不做非分之想就会觉得很开心了
语文这个妖孽，我也不知道怎么回事，但是应该是我下功夫不够吧，我没有在语文上特意找题目练习过。数学也没有，因为高中时候觉得化学比较好对付，捡软柿子催熟，觉得数学比较难，没有选择数学催熟，没想到河南高考改革三大门语数外，物理化学和历史政治地理生物一起归到大综合里去了，一万头草泥马在心中奔腾而过。。。