从“跑来跑去的狗狗”说开去

独角兽 · 发表于 2014-2-25 07:00:41

爱坛的同学们真是太可爱了，独角兽这几天一直享受着数学思想和方法带给自己的快乐和成长。在之前由“红包问题”引发的概率讨论的结尾，我写下了自小到大一直很喜欢的一道“狗狗跑来跑去”的问题：

A，B两地相距5公里。甲和一条狗与乙分别从A,B出发，相向而行。甲步行速度每小时5公里，乙骑车速度每小时10公里，狗每小时15公里。狗见到乙后就往回跑，见到甲后再折返去找乙。如此反复，请问甲乙相遇时，狗跑了多少公里？

小备注：这个在我小学的时候叫做应用题，所以我在出题的时候特别百度了一下步行速度的范围（开始差点随便写成10公里每小时了，那就改竞走了），同时兼顾数目的计算简单，便于心算（@不喜欢计算器的独角兽）。所以出现了步行，骑车，和狗狗跑三个速度。本来总距离设成15公里的，这样就是完全整数，很好算了。可是转念一想多么的有病才要走1个小时的路呀，改5公里（@懒人独角兽）。

不好意思，还是要分章节。。。

独角兽 · 发表于 2014-2-25 07:02:32

这并不是一个多么高大上的奥赛题，估计只是我们当时叫做附加题的程度。但是，只要抓住一点，那就是狗一直在跑，只需知道它最后跑了多久就可以了，而不必关心它的那一段路是从甲跑向乙，还是从乙跑向甲，或者在哪个点上跑。至于跑的时间就是简单的“相遇问题”。

这个思路，松鼠同学把相遇时间设成x, 方程解出来，然后算出狗狗跑了1/3小时，5公里。（这里，从小不喜欢列方程解应用题的独角兽多半会直接心里云计算一下，直接给出个式子和答案交卷。）

可是，还有很多小朋友他们只能想到相遇问题，只能一段一段的计算狗狗往返跑的距离，和甲乙之间剩下的距离。最后只能放弃。

小学生独角兽一直以为那样一段一段的计算是做不出来的，所以也是笨笨的。

好吧，小教主等人已经教育了独角兽，大数学家都是一段一段计算出来的。我乡下孩子真心没见过世面呀。。。

独角兽 · 发表于 2014-2-25 07:03:55

这次再认真的提起这个狗狗的问题，我才忽然明白到一段一段的算，也是可以算出来的。因为每次狗狗碰见乙，在回到甲以后大家又回到了原始状态，只是相距的距离短了。也就是每一个回合下来，甲乙距离是上一回合的某比例，而狗狗跑的距离也是上一回合的某比例。那么就是个等比数列极限求和的问题呀。大学和高中数学老师请原谅我，等比数列求和公式俺已经忘记了。想想，只知道1/2的是2，那个不是用公式记的，是用想象的。

想到等比数列，极限求和，独角兽很是高兴。不就是一半，一半，又是一半，总有一半剩下来么。我甚至想起来另一个有趣的问题，百米冠军追乌龟的问题。分成一段一段无数段来想，好像百米冠军永远都追不上乌龟似的。

老师，对不起，说道级数，我只能想到泰勒级数了。

独角兽 · 发表于 2014-2-25 07:06:00

每次搞数学题，总是有野蛮的同学用编程的方法解决。我掐指一算，这题肯定也能编程呀。曾经会用C语言排序的独角兽同学这次尝试着想象一下编程要点，请大师傅等编程达人指点。

首先，松鼠同学已经编了程序，做出来了，但是直觉上误差靠近0.5米，有点儿大。但是到底大不大我也不知道。之前大师傅不是还提到计算机浮点啥啥的会带来计算误差呢。我领会精神了。

我呢想编个循环的程序。每个循环就是上面说的一个回合，狗狗回到甲那里。三个速度不变，产生一个新的甲乙距离L，一个回合时间t，一个狗狗跑的路程s，一个狗狗总共跑过的路程S＝S+s。
因为是循环，我喜欢计数，所以整个n计算回合数。
结束的条件，设成L<某值（不知道我这么想对么？如果设置成0.1米，是不是可以保证最后的精确度在0.01米以内呢？）
当然，为了防止计算次数太多，计算机不高兴，可以设置另外一个结束条件，比如n＝10000. 达到两个条件任何一个就结束。

考虑到反正是计算机算，不妨多记一个信息，防备老师再往下问。比如总的时间T＝T+t。

还有，为了了解计算过程，可以中间输出L, S,T的信息（比如n＝1～10，100，1000，10000）

还有什么值得考虑和记录的点么？

编程达人别笑话我呀，我就是十几年前学了一个学期C语言的水平。

独角兽 · 发表于 2014-2-25 07:08:53

今早醒过来，脑子里在想如何编程的时候，突然灵光一闪，发现原来还有一个更加简洁一点儿的思路。因为我为了图省事，三个速度分别设成5，10，15千米每小时。狗狗的速度就是甲乙速度之和。而相向而行的速度也恰恰是甲乙速度之和。所以应该直接喊出，狗狗跑了5公里的答案呀。

同学们，小朋友们，真理来了，不管AB相距多远，狗狗最后实际就跑了多远。世界真奇妙，不看不知道呀！

这里，我们简化了另外一个参数，就是相遇时间。因为反正三个人（狗）都一直在走，所走的路程比就是大家的速度比。相遇问题的总路程就是俩人的路程和。狗狗的总路程就是俩人路程和乘以相应的速度比呀。而刚巧这个题目里，这个比例为1呀。世界真奇妙！

后来我想到一个有趣的事情，就是简单和难的问题。

比如1. 如果问题多问几个，是难度增加还是降低了呢？我觉得，如果先加一问，
（1）狗狗第一次遇见乙的时候，甲乙相距多远？
（2）甲乙相遇时，狗狗跑了多远？

这样就可能把更多的同学先引到一段一段思考的路上去。

但是如果问题（1）甲乙多长时间能相遇？

这样就可能把更多的引到总体思考的道路上去。

再比如，如果我把总距离改成4.9公里，我注意到5+10=15的几率就会增加，因为懒得算出来具体的时间了。就算是用笔算出了时间，然后发现最后结果居然也是4.9公里，估计能立刻反应到5+10=15的点上去。于是发现应该忽略具体时间，关注速度关系。

我不当老师有点儿浪费，不是嘛？这些都得写下来，将来给我家小孩做教材，嗯。。。

到处停留的叶子 · 发表于 2014-2-25 07:37:02

这么简单的一个问题，非要被你讲得这么复杂，以后你家小孩学数学不要你教，要被你搞昏头的~~~

嘿，不过还别说，这种由简入繁的精神，还颇有点像叶子游苏州的那种调调~~~

下次我到小叶子的数学题里去找找有没有好玩的让你再快活一下~~

sylvia · 发表于 2014-2-25 08:30:31

狗一直在跑.......比较好.
一段一段的似乎会昏头.

martian · 发表于 2014-2-25 09:09:27

独角兽发表于 2014-2-25 07:06
每次搞数学题，总是有野蛮的同学用编程的方法解决。我掐指一算，这题肯定也能编程呀。曾经会用C语言排序的 ...

只保留0.1的精度，误差会更大。俺的程序里保留小数点后8位。

河蚌 · 发表于 2014-2-25 10:37:42

本帖最后由河蚌于 2014-2-25 10:43 编辑

这个题是不是可以这样变通理解。
设定一个人不动，另一个人的速度是两个人之和，然后狗与运动的人同时出发，当运动的人到终点时，狗跑了多远。
PS：真心觉得自己比较笨呀。

gbdashen · 发表于 2014-2-25 12:20:10

狗不就跑了5公里吗？

gbdashen · 发表于 2014-2-25 12:20:34

本帖最后由 gbdashen 于 2014-2-25 12:22 编辑

呵呵，小学的时候做了很多类似的题目。

天狼星 · 发表于 2014-2-25 17:15:56

解：
甲乙同时出发，设X小时后他们相遇，则×甲走过的距离+乙走过的距离）= AB两地总距离，即：
5X + 10X = 5 ---> X = 1/3 （小时）
狗在这段时间内一直在跑，则狗跑过的距离总长为 15X = 5 （公里）

是这么解答格式吧？一元一次方程的内容。超过此水平即是误解。

沉宝 · 发表于 2014-3-3 14:45:50

本帖最后由沉宝于 2014-3-3 16:11 编辑

所谓解析解，就是不依赖于具体数值的答案。这里用的是通用的方法，也就是像数学家那样一段一段计算出来。考虑到读者的水平参差不齐，因此讨论尽量利用中学的知识

首先用代数的语言将问题复述一遍：A，B两地距离S。甲和一条狗与乙分别从A,B出发，相向而行。甲速度Va，乙速度Vb，狗速度Vd。狗见到乙后就往回跑，见到甲后再折返去找乙。如此反复，请问甲乙相遇时狗跑的总长度Sd。

显然，在第一次狗狗见到乙时，狗跑了
$S_{1}=\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
甲移动了
$S_{a}=\frac{V_{a}}{V_{d}+V_{b}}S$
乙移动了
$S_{b}=\frac{V_{b}}{V_{d}+V_{b}}S$
此时甲乙相距
$S{}'=S-S_{a}-S_{b}=S-\frac{V_{a}}{V_{d}+V_{b}}S-\frac{V_{b}}{V_{d}+V_{b}}S=\frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{b}}S$

狗狗折返去找甲，再见到甲时狗跑了
$S_{2}=\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{a}}S{}'=\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{a}}\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{b}}S \right )=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
甲移动了
$\frac{V_{a}}{V_{d}+V_{a}}S{}'$
乙移动了
$\frac{V_{b}}{V_{d}+V_{a}}S{}'$
此时甲乙相距
$S{}'-\frac{V_{a}}{V_{d}+V_{a}}S{}'-\frac{V_{b}}{V_{d}+V_{a}}S{}'\\=\frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{a}}S{}'\\=\frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{a}}\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{b}}S \right )\\=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )S$

同理，第三次狗狗跑了
$S_{3}=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
第四次狗狗跑了
$S_{4}=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )^{2}\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
第五次狗狗跑了
$S_{5}=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )^{2}\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )^{2}\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
第六次狗狗跑了
$S_{6}=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )^{3}\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )^{2}\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
...

那么，狗狗跑的总长度为
$\begin{align*}S_{d}=&S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}+S_{6}+\cdots\\ =& \frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S+\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S\\ &+\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S+\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )^{2}\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S\\ &+\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )^{2}\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )^{2}\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S+\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )^{3}\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )^{2}\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S\\ &+\cdots \end{align*}$

规律已经很明显了，有的同学可能已经做完了。反应慢的同学也不要着急，我一步一步尽量写详细。
做一个变换，令
$x=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right ),\ \ y=\left ( 1+\frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S$
那么
$S_{d}=y+yx+yx^{2}+\cdots$

Sd由无穷多项求和，因此实际上不可能计算所有项。构造前n项的部分和
$S_{d-n}=y+yx+yx^{2}+\cdots+yx^{n-1}$
显然，n的值越大，Sd-n中包含的项数就越多。当n趋近于无穷大时，Sd-n的值也就趋近于Sd。

忘记等比级数求和的同学，我们有
$\begin{align*}\left ( 1-x \right )\left ( 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1} \right )&=1-x^{n} \\ 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}&=\frac{1-x^{n}}{1-x} \\ S_{d-n}=y+yx+yx^{2}+\cdots+yx^{n-1}&=\frac{1-x^{n}}{1-x}y \end{align*}$

已知Va>0，Vb>0，Vd>0，且Vd>Va，Vd>Vb（狗跑得比人快）。所以
$0<x=\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )<1$
那么，当n趋近于无穷大时， $x^{n}$ 趋近于零。
于是
$S_{d}=\frac{1}{1-x}y$

代回x，y所代表的内容
$\begin{align*}S_{d}&=\frac{1}{1-x}y=\frac{y}{1-x} \\ &=\frac{\left ( 1+\frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}}S}{1-\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right )} \\ &=\frac{\lbrack\left ( 1+\frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\frac{V_{d}}{V_{d}+V_{b}} \rbrack\lbrack\left ( V_{d}+V_{a} \right )\left ( V_{d}+V_{b} \right ) \rbrack}{\lbrack1-\left ( \frac{V_{d}-V_{a}}{V_{d}+V_{a}} \right )\left ( \frac{V_{d}-V_{b}}{V_{d}+V_{b}} \right ) \rbrack\lbrack\left ( V_{d}+V_{a} \right )\left ( V_{d}+V_{b} \right ) \rbrack}S \\ &=\frac{\left ( V_{d}+V_{a} \right )V_{d}+\left ( V_{d}-V_{a} \right )V_{d}}{\left ( V_{d}+V_{a} \right )\left ( V_{d}+V_{b} \right )-\left ( V_{d}-V_{a} \right )\left ( V_{d}-V_{b} \right )}S \\ &=\frac{2V_{d}^{2}}{2V_{a}V_{d}+2V_{b}V_{d}}S \\ &=\frac{V_{d}}{V_{a}+V_{b}}S \end{align*}$

答案就是
$S_{d}=\frac{V_{d}}{V_{a}+V_{b}}S$

用具体数值验算一下：Va=5，Vb=10，Vd=15，S=5，狗狗跑了
$S_{d}=\frac{V_{d}}{V_{a}+V_{b}}S=\frac{15}{5+10}\times5=5km$
与主帖的答案相符。

【感想】小学方法能解的题目用高级数学方法一定能解，但反过来就不一定成立。事实上，小学水平哪怕是奥数的技巧，都只能解决某些特定的题目，并不具有普遍性。这就是为什么数学会不断向高层次发展。

【思考题】
（注：思考题仅供学有余力的同学自行研究提高。没有标准答案，答对了也没有奖励。）
题1：如果狗狗跑动时只有跟在狗后面的人在走，与狗迎面的人站在原地不动，静等狗扑上来。当狗转身后，原来静止的人运动起来，而原来走动的人停下来等狗。问在这种情况下最终狗跑了多远距离？这道题是否可以用小学的方法解答，还是需要高级的方法？
题2：这是题1中的一种特殊情况，即甲乙的速度相等。问是否可以用小学的方法求解狗跑动的总距离，还是需要高级的方法？

沉宝 · 发表于 2014-3-3 16:27:27

在你用爱元鼓励时，我帖子的显示还有问题，真不好意思。现在总算修好了。第一次在帖子中用LaTeX标签，出洋相了，哈哈。

独角兽 · 发表于 2014-3-3 16:58:47

沉宝发表于 2014-3-3 16:27
在你用爱元鼓励时，我帖子的显示还有问题，真不好意思。现在总算修好了。第一次在帖子中用LaTeX标签，出洋 ...

我就只有4分的权限，又是个不肯发红包的小气鬼，呵呵

你的问题第二问比较简单，应该就是S×Vd/Va。第一问的话因为Va，Vb不一样，整体法就没办法了，只能是分段，于是就回归了分段考虑，等比数列极限求和，但是也是可以解的，并不比相向而行的复杂。

沉宝 · 发表于 2014-3-3 23:59:18

独角兽发表于 2014-3-3 16:58
我就只有4分的权限，又是个不肯发红包的小气鬼，呵呵

你的问题第二问比较简单，应该就是S×Vd/Va。第一 ...

你的问题第二问比较简单，应该就是S×Vd/Va。第一问的话因为Va，Vb不一样，整体法就没办法了，只能是分段，于是就回归了分段考虑，等比数列极限求和，但是也是可以解的，并不比相向而行的复杂。

你这段话支持了我第一帖中【感想】里的讨论，谢谢。

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