独角兽说概率

独角兽

这几天独角兽可高兴了，就像一个遭到了表扬的好学生。突然意识到，做这些数学题是我青春常在的另一种表现呀！第一种就是儿童歌曲了。

叶子的面试题在爱坛掀起了一场小小的概率热，独角兽也想跟大家分享一下自己如何看待概率问题的。如果能对同学们在跟家里的小朋友交流概率问题时有一些帮助，那真真是极好的了。

独角兽从小就喜欢数学，不是那些枯燥的公式本身，而是数学之美，是数学思想在生活中的反射和应用。说起来很高大上，但是也可以是很简单。今天就从概率说起，从三个红包的面试题说起。

想说的太长，还是要分章节了。只对红包问题感兴趣的请跳到（二）

来召唤一下两位面试题的原作者：叶子和大师傅（@到处停留的叶子@holycow ），多年前就表扬独角兽的荷子兄 （[url=home.php?mod=space&uid=213]@荷子 ） ，用数学题搞到独角兽不吃饭的轧叔（@Highway ）

其他感兴趣和表扬过我的各位同学，我就不一一召唤了，免得漏下一两个。

  

独角兽

独角兽不是数学或者任何会用到的相关专业，我估计自己现在的概率知识相当于高中好学生的水平。大学里那些高大上的概率课估计早就忘了。所以当大家提起条件概率的时候，我只能从字面去理解，而不确定它具体该怎么描述了。可是，我觉得，就是高中学到的概率知识已经非常足够，非常受用了。

我觉得，概率的基本在于这些关键词的意义：随机，独立事件，顺序和步骤，概率全集（就是1），概率与发生，概率与感觉（或者说错觉）。

先举概率的最简单的例子，抽奖。年会抽奖，公司100个人参加，100张奖券，其中一张有奖。学过概率的人都能接受中奖是随机的，每个人抽奖是独立的（独立事件可能不是说明这儿的，我管不了那么多了），抽奖的顺序是不影响任何一个人的中奖概率的。结论是简单的，每个人的中奖概率是1/100。

好吧，那么什么是抽奖问题的概率全集呢？100个人有一个人中奖的概率是1；某一个人中奖和不中奖的概率和是1；每一个人中奖的概率之和是1；或者还有不同的角度来看待这个简单又基本的概率问题。

好吧，假设大家是排队一个一个去抽奖的。你是第50个去抽的，结果第20个抽的人已经中奖了。有些人就会有错觉，觉得自己是排队排晚了，都没轮到抽呢，就让人抽走了。或者第一个抽的人会觉得自己抽早了，在100张奖券中选，中奖概率很低的。这些多是我们在懊恼没能中奖的时候，容易发生的错觉。而如果是大家先抽奖，然后说好了一起刮开看，懊恼自己抽奖抽早了，或者抽晚了的错觉就可能不会发生的。所以，了解随机性，甄别顺序和步骤是否有影响就很重要。

另外一个可能的步骤的影响就是，假如顺序抽奖，前10个人没抽到。你会觉得自己的中奖概率提高了。那不是说你整个抽奖过程的中奖概率提高了。而是在这次游戏的剩余部份，你的中奖概率提高了。

还有就是，如果第20个人中奖了，说的就是一个1/100的概率在这次事件中发生了，而其他99个人中奖的概率都没有发生。

以上好像是对一个很简单的问题往啰嗦了说，下面就用三个红包的面试题来说明上述啰嗦的具体化。。。

独角兽

原题由叶子提供，我抄一下：

场景是这样的：我是面试官，我准备了3个红包，其中一个有一张千元礼券，另外两个是空的。
先请你任意挑一个拿在手里。
然后，我打开剩下两个红包中的其中一个，看到是空的，于是我把它扔掉了。
然后，我对你说，现在桌上留下了一个，还有你手里的一个，你有机会改变一次主意。
这时候，你想不想换一个红包？为什么？

这题如果是概率考试，问题就是换和不换红包的概率各是多少？

同学们非常严谨，提出了一个关键的问题，面试官知不知道哪个红包有钱？

第一种情况，面试官不知道哪个红包有钱：

似乎比较容易想，那就是换不换一样，都是1/3的中奖概率。但也有同学说换与不换一样，中奖概率都上升到50%了。

虽然容易想，但我想这个问题的时候，第一直觉就是1/3的概率不变，但仔细琢磨，我把这个事情等同于另一种情景：
三个红包，一个有礼券，三个人随机选。第一个选的人叫面试者，第二个选的人叫面试官，第三个选的人叫桌子。然后面试官发现自己没中，问面试者想不想跟桌子换。面试者跟桌子的中奖概率一样，简直是非常明确的。

那50%是怎么样数字呢？是这一次概率发生在后两个人身上，把一人出局以后重新定义成游戏的起点，面试者和桌子中奖概率各为50%。就是说，从头开始想的话，还是1/3。

第二种情况，面试官知道哪个红包有钱：

有一种想法是，三个红包概率是一样的，少了一个空信封，也不可能把一个红包的概率增加呀，所以从头开始算，每个红包的概率都是1/3；从现在开始算，剩下俩红包的概率都是1/2。

从概率的角度来纠正上面的错误结论就是要指出，面试者手中的红包和桌子上剩下的红包现在是不等价的了。面试者手中就是那个三个红包中的随便一个（中奖概率1/3）；而桌上的是三个红包中的随便两个，其中会中奖的那个（中奖概率2/3）。

那么我们把过程稍微变化一下，就更加容易理解了：
三个红包，一个有奖。面试者选一个，面试官选俩（虽然是人家选剩下的，可是概率与顺序无关呀）。然后面试官问，想不想用你的一个换我的俩？你肯定选换吧。然后换完之后，面试官指着其中一个说，这个可是空的呦。你会后悔换了么？反正两个里面必然有一个是空的，面试官在换之前指出来，还是换之后指出来，又有什么分别呢？（希望这样的解释，叶子家的小叶子能够更容易接受）。

我想说的是，在考虑概率问题的时候，要分清事件某个步骤的意义。比如，面试官打开一个空红包，其实是没有意义的，因为他手上两个红包里，肯定有一个是空的，没啥了不起了。重点还是他有俩红包。

独角兽

老实说，我面对这道题直接就假设面试官是知道哪个红包有钱的，虽然不严谨，但是有道理。我之前接触这个题描述的情景好像是这样的（记错了，不负责呀）：

电视节目，闯关成功者最后的大奖在三个门其中一个的后面。闯关者选择其中一个门，然后主持人把剩下两道门中的一扇空门推开，然后闯关者有机会再选一次。换还是不换？

在这个情景下，主持人当然知道哪个门是空的。这样的环节不是为了考验闯关者概率知识，其实是为了掉观众的胃口，和对闯关者多一轮的折磨。虽然2/3的概率是1/3的两倍。可是想象一下，如果你经过重重阻碍闯关成功，来到最后的大奖门前，结果你选错了。你能很理智的想到，这就是一个概率没有发生而已？你多半会非常懊恼：如果我不换（换了），那大奖就是我的了。又或者，你最后中奖了，你多半会非常自得：幸亏我换了（没换）。这就是人性的弱点，欲望绝对超越概率。

能够清醒的认识到概率就是概率，运气就是运气，生活才会少一些烦恼和失望！容我问上帝一句，北加的哪只鸟人中了上一期PowerBall的四亿呀？！！！命运太不公平了，呵呵。。。

呀，跑题了。我想说的是，如果主持人，或者面试官不知道哪个红包有钱，随便开一个，万一打开的不是空的，这游戏就提前over了，还咋考察概率知识，还咋把玩人性呢？

独角兽

从叶子说的那个面试女生的反应看，我会觉得她不是一个persistent或者proactive的人。她对这个问题一时没有头绪，于是直接转向个人personality的展现。如果是我，我会更喜欢一个人想个30秒，但没有头绪，于是从头开始说，这是一个概率问题，不换的话，中奖概率是1/3, 换的话，概率好像不变（或者增加），因为。。。即便错了，她表达了她了解概率的基本意义，只是这个问题她还没有想清楚。

但是，我想说的是另一种情况，如果面试者几秒钟之内就以这样的回答开头：“换，虽然我不知道概率到底会不会增加，但是肯定不会减少。至于换和不换的概率各是多少，我是这么想的。不换1/3, 换。。。）这样的思维方式是少有的具有抓住问题的实质，能最快得到解决方案的思维类型。我觉得这样的人是非常非常少的。我自己也是先想换了概率是否增加，具体是多少概率。都解决了以后才想起来，换没有成本的情况下，就选择换呗。选择换只需确定概率不会减少就行了，而不是是否增加。而换的概率不会减少是非常明确的。

当然，如果最后再加上那个小姑娘的话，关于概率，运气，选择等等的看法。就是一个非常接地气的人才了。因为在解答了问题以后，还能再兼顾主观的，个性的东西，光有聪明的人很难做到。

最后，一个问题不能给出什么结论。也许他刚好遇到过这个问题，或者类似的问题，所以对答如流；也许他一时短路，找不到方向。当然，学统计的，搞不明白这题，我觉得还是不太好的。

我觉得自己也能做个很好的面试官。

独角兽

现在我一看见趣味数学类的题目，我要是一眼望过去没有思路，我就会问自己，如果是小学的时候，我会做么？如果是初中的时候，我会做么？如果是高中的时候，我会做么？如果都不会，我估计就歇了。实在不记得大学数学都学了啥了，呵呵。。。

下面附加题是我小学时做出来，而且是第一感觉就做出来，觉得非常自得和欣喜的题目。

A，B两地相距5公里。甲和一条狗与乙分别从A,B出发，相向而行。甲步行速度每小时5公里，乙骑车速度每小时10公里，狗每小时15公里。狗见到乙后就往回跑，见到甲后再折返去找乙。如此反复，请问甲乙相遇时，狗跑了多少公里？

做出来的同学别嫌弃这题简单，这题是小学时做的呦。。。

另外，长大了的我们有多少种方法可以做这题呢？

独角兽

哈哈，沉宝同学。我骄傲的就是我讲的都没有超过高中（或者初中）的范畴。就是概率理论的入门级别。大学的我都忘了。@沉宝  

独角兽

martian 发表于 2014-2-24 13:17
甲乙相遇的时间为x： 5x+10x=5，x=1/3小时。
狗的速度15km，15*（1/3）=5公里。

松鼠和我的小学数学老师都感到很欣慰。呼叫公式达人，和编程达人用大学和计算机的方法来解题。。。

独角兽

常挨揍 发表于 2014-2-24 21:21
这样表述是内啥不咋对的，实际上第二个选和第三个选是可以颠倒的

同学，第一回讲的就是随机抽奖与顺序无关的。

我这样讲是对应的，面试者选了一个红包，面试官选了一个红包，剩下一个在桌子上。等同于三个人排队抽奖。与抽奖顺序无关，与开奖顺序也无关呀。

独角兽

张声语 发表于 2014-2-24 22:23
不是物理牛人，是von Neumann。别人问他这个问题以后，他瞬间给出答案了。提问的人就很失望，说，你一定 ...

呵呵，像我这样的优秀小学生，看了这个故事首先想到的是问问上帝，这孙子不是装的吧？用小学方法算，然后说是用级数算的，以惩罚提问的人这么naive。居然问数学家这种小学题目。

我一个普通人是理解不了天才的

独角兽

martian 发表于 2014-2-24 17:25
处于计算精度的考虑，把速度换算为米/秒，保留8位小数。

public class DogSecond {

松鼠同学是个好同学。独角兽不懂编程，感性的评论一下，觉得差0.5米误差太大了，对于编程而言。我一会儿也另开一贴全面说一下狗狗跑来跑去的问题。