爱吱声

标题: 三红包问题我的终极解答，手机输入豁出去了 [打印本页]

作者: 不爱吱声 时间: 2014-2-24 14:01
标题: 三红包问题我的终极解答，手机输入豁出去了
那天上飞机前写了日志分析三红包问题，但是急匆匆很多细节没考虑周全，甚至出现错误，飞机上一直合计这个问题，想清楚了许多也来不及改。今天去大峡谷感受一下自然的力量，所有细节一览无余，原本打算回去写出来我的答案，今天看独角兽和老轧齐上阵，实在憋不住了，用手机写多麻烦都要写，明天一生轻松游赌城。言归正传，下面是我终极答案的简化版。回去后补充。

问题描述：三张卡片，
第一步：面试者抽出一张信封
第二步：面试官抽出一张信封，没红包，扔掉
问题：面试者是否在第三步该换卡片？

问题本质：面试者有换和不换两种策略，在已知情形下该选择何种策略？

在第二步，面试官行动策略有很多中选项，但是面试者此时不知起采用何种策略。

面试官有两种基本策略：
1，知情，并且每次都选没红包的信封
2，不知情，每次随机选择信封

（其他的策略其实是此两种策略的现行组合，以后补充）

如果面试官采用第一种策略，那么考虑六次事件（六次有利于把问题说得清楚）
假定三个信封编号，a,b,c
A有红包
1:第一步选a,第二步选b
采用换策略，结果没红包
采用不换策略，结果有红包
2，a->b or c (面试管如果随机选一个就是c,否则是b,哪种策略不影响结果）
换-》没
不换-》有
3，b->一定是c
4，b->又一定是c
5，c->B
6,c->b
3.4,5,6都是换有，不还没有。
因此，此种情况下，采用不换策略，有2/6=1/3概率有红包，采用换策略有4/6=2/3概率有红包。

如果面试官采用第二种策略，那么六此结果如下：
1。a->b
2.a->c(因为是随机，那么两次选b和c概率各有一半，就是一次）
1，2换-》没有，不换-》有
3，b->a(因为是随机，是可能选到a)
此为无效，因为与条件不符合
4，b->c,
5,c->a
无效
6，c-》b
4，6都是换有，不还没有
因此此情况下，换概率为2/4=1/2，不换概率为2/4=1/2，（可以用条件概率算）

因此，如果明确知道面试官完全不知情的情况下，其实换策略与不还策略获得好的结果概率是一样的。这符合直觉。
但是如果明确知道面试官采用第一种策略，就是知情，那么换就比不换策略获得红包概率大一倍了。

如果不知道面试官采用何种策略，那么，也应该换，因为换最坏情况下也比不换不差。

用数学语言描述
假定面试官的策略一的可能性为p1,策略2的可能性为p2,
那么换策略获得红包概率=2/3*p1+1/2*p2
不换获得红包概率=1/3*p1+1/2*p2
换-不换=1/3*p1 大于等于零

对于本问题，以上公式不用也可以给出正确答案，但是设想有时候别人的行动策略对于自己采用的策略会有正面以及负面影响，那么你就可以根据别人策略的使用可能性评估你自己未来策略成功的可能性，在商场和战场例子应该都很多。

对于这个问题，在我解题过程中明白了很多有趣的事情背后的道理，以后再说。

最后我想说，我给出的答案或许有人给出了，不过这个头脑游戏我收获很多，最大的结论是我觉得我应该好好读读Game theory了。可惜明天赌场上来不及用了。

作者: 独角兽 时间: 2014-2-24 14:23
哈哈。二当家的忘了我一直强调的一条：概率是概率，运气是运气。祝二当家的明天买啥赢啥！

另外一个小虫子，第一种策略的结论，换，2/3, 不换1/3。你写反了。

作者: 逆天废柴 时间: 2014-2-24 14:27
本帖最后由逆天废柴于 2014-2-24 15:31 编辑

看到二当家的明天要

一生轻松游赌城

直接笑喷

这是神功练成的宣言啊！

介个红包问题，实在太妙啦~

二当家的解答是目前唯一俺看得完全明白的，上花！

PS，睡了一觉，又没分了！

作者: 白天爱黑夜 时间: 2014-2-24 14:50
二当家明天在赌场获得红包的概率大还是在赌场的客房里获得红包的概率大？这是一个更值得讨论的问题。

作者: 石头布 时间: 2014-2-24 17:52
正解。就是写的太长。

作者: 常挨揍 时间: 2014-2-24 21:36
本帖最后由常挨揍于 2014-2-24 21:43 编辑

终极简化版其实只有一个，也就是能影响到结果的选择只有一个：
“我”选了一个红包，它只有1/3中奖概率

所有后续都是假设出来的：你确定其他动作能影响结果？
考官即使知道结果也无法阻挡你选择哪个红包
即使考官选不中红包也是假设出来的，因为他是从剩余两个中选择一个，因为不存在同事存在两个红包的可能性，选不中红包的几率极端情况下可以达到100%

作者: 不爱吱声 时间: 2014-2-25 00:50

常挨揍发表于 2014-2-24 07:36
终极简化版其实只有一个，也就是能影响到结果的选择只有一个：
“我”选了一个红包，它只有1/3中奖概率

考官选不中红包不是假设是前提条件

作者: 不爱吱声 时间: 2014-2-25 02:51

石头布发表于 2014-2-24 03:52
正解。就是写的太长。

不能再简了否则有逻辑漏洞或者让人看不懂

作者: 不爱吱声 时间: 2014-2-25 03:11

逆天废柴发表于 2014-2-24 00:27
看到二当家的明天要直接笑喷这是神功练成的宣言啊！

介个红包问题，实在太妙啦~

那就好了，我就是写给如我一样仅仅知道并认可概率最基本原理--（概率均等原理）的人看的。相当于解决几何问题直接从五大共设出发，不用任何公理。

作者: 常挨揍 时间: 2014-2-25 12:56

不爱吱声发表于 2014-2-25 00:50
考官选不中红包不是假设是前提条件

最终面对的是叁个红包还是两个红包，这是个问题

最终面对叁个红包的话
摆在桌上的是：“我”手里一个，中奖概率1/3；裁判打开一个，中奖概率0（因为是空的）；剩下的那个中奖概率只能是2/3

作者: 隧道 时间: 2014-2-25 16:03
记得，这个是小学数学奥林匹克竞赛的逻辑推理题。
推理的过程很严密，可以手边书没有了。。。不然可以翻翻书找到标准答案。

作者: 常挨揍 时间: 2014-2-25 18:54

不爱吱声发表于 2014-2-25 00:50
考官选不中红包不是假设是前提条件

这两天彻底被这三个红包搞糊涂了，让我觉得待会儿看纸牌屋看到3P的时候都只会看到3个红包

继续三个红包案，糊涂就糊涂吧
再次看了你楼顶的文字，其实你也注意到出题明确了“考官抽到的是空”，所以你解读“考官不知情”的时候把考官抽中的选项排除了。但这样造成一个新问题，样本数量里从a出发的有两个，从b、c出发的只有一个。
我能想到的是，被剩下的几个中，从a出发的两个因为结果一致，可以忽略掉一个

作者: 不爱吱声 时间: 2014-2-26 00:10

常挨揍发表于 2014-2-25 04:54
这两天彻底被这三个红包搞糊涂了，让我觉得待会儿看纸牌屋看到3P的时候都只会看到3个红包
继续三 ...

样本不可以随便忽略，其实这正是我选六个样本的道理所在。
根据概率最基本的原理，如果是随机选，就是三选二，有六种排列情况，你必须把这六种情况全考虑到才能涵盖所有的可能性。
对于知情的情况来说，因为六种情况面试官第二次选的结果“看起来”是一样的，可以合并。其实我特意强调当第一步选a时候，面试官可以随机选一个，那么其实两种情况严格说也不应该合并了，只不过对最后的“结果”没影响。如果第一步实验两次a,那么取样本时候你必须实验两次b再实验两次c,因为第一次选，任何一个的概率是1/3，你不可以随便合并样本。
如果第二次不知情，随机选那你就更不能合并了，因为每次都是不同的结果，希望说明白了。我这个推理没有使用任何概率轮的高级定理公式，就是最基本的机会均等。如果直到条件概率，1/2也是不难算出来的。

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