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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情
    奋斗
    13 小时前
  • 签到天数: 1180 天

    [LV.10]大乘

     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 7 _. S; u  I5 k& s! ^: j/ r5 H& X

    ! @: ]- X. A; F/ G0 ]其实是个概率问题。6 {" G' ]& O. M( t0 ]5 a
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。4 U. _! h" A% p/ q
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
    # C" k+ Y9 A3 e! b! h问题就是这个人的表述# _3 f* d- P- v) Z9 g, w5 g2 g
    https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    " \9 e$ ~( `% F4 Y0 j/ t1 a: `( }# n( h4 ?3 t, q
    按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    4 q& c7 ~: j) S
    . q! K8 x/ J' m, b4 Z" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x". 8 N8 t; v0 O; N3 c6 H" _
    " \' ?: ^& d' @% }
    没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。% l9 \& o% y9 q* b5 _7 Y3 b" b  V

    9 r2 M" P1 W- A老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
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  • TA的每日心情
    开心
    19 小时前
  • 签到天数: 1615 天

    [LV.Master]无

    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 显示全部楼层
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑 3 \0 M- b* e* s; ]% q
    ( k) @+ `* k) e0 Y
    您对答案的理解似乎有误。/ V! @2 O: E0 J1 I- f3 }( K
    随机变量X是测试过的元素的数目4 }% S5 ]; X. r: I& n* e# o8 {
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    * e! `! U  `) Q) v8 |/ ~1 S所以才有E(x)=sum(E(Xi))。0 q+ \5 O/ x6 l/ I+ F; b8 a
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    5 `1 t8 Y# R' H您再想想?

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    该用户从未签到

    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 显示全部楼层
    这个题目可以用递归的方法解决:
    " T% ~" N: j. t" O' w, t2 [  j" N
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)! ^/ I) d9 y5 @! m- E+ U

    % D( m  v+ Y7 W, O5 q6 j然后从头开始:
    . S2 w6 a/ @' o% n# V# ]$ X+ VE(k|k)=1* u. j& X' X. A* K' D
    E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    ( c, |; R0 U7 \2 UE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    $ r# b3 u* v! R" b( }6 Y: R8 VFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)/ h: L: l8 o; ?$ z: u9 W
    7 g, ^, {4 W# f* [0 S* u
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情
    奋斗
    13 小时前
  • 签到天数: 1180 天

    [LV.10]大乘

     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 显示全部楼层
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32& y5 Q! K7 Z' G3 u% u$ I$ f4 I
    您对答案的理解似乎有误。% a: @/ W( J$ @9 X; L
    随机变量X是测试过的元素的数目
    . v0 a2 l& p, Q4 s& Y2 j" a3 u而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...

    0 j) e0 y) J4 f  C# K! h明白了。. J" h+ Y' S& y
    是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)3 X: o! U- \5 f( s' s( [0 F
    多谢
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  • TA的每日心情
    奋斗
    13 小时前
  • 签到天数: 1180 天

    [LV.10]大乘

     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 显示全部楼层
    老福 发表于 2022-3-26 10:44$ p3 e+ G3 N! \0 L+ N, t9 C
    这个题目可以用递归的方法解决:
    / f2 i3 R$ v: B0 u7 g- _! y; f/ B
    8 F( M  V+ E9 W! I# \  YE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    * U# f: W/ H* T: @( G
    2 S  y* L5 G" k& y
    递归法也是可以的。
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    该用户从未签到

    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 显示全部楼层
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07
    ( F; S/ J& A3 a/ w: z+ l$ a递归法也是可以的。
      r4 Y1 |) x% x! x7 P; A
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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  • TA的每日心情
    开心
    19 小时前
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    [LV.Master]无

    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 显示全部楼层
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑
    & ?6 \( s! P" r$ [' F7 [+ D
    老福 发表于 2022-3-26 12:01, v0 S  i) w- U
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    / _( \6 Q6 Q4 l' Z/ U
    . G4 V$ z, k) U- l; S( ^
    我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。
    2 U8 v5 x6 l9 \* l: x8 @% R否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。! o5 r" |: x( C

    : [* g; A) n- u. u' }而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    0 ], w6 i( e: a# s* _所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 显示全部楼层
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。
    $ s. C8 I+ ?* g0 G( o( s$ c! x! A* g3 a  b( {1 G% P
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    3 `$ @1 [! m# U( i2 i  _0 Z) T$ \6 |, W! L1 `( [
    For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.; `7 P( _6 z4 A7 }0 t

    9 y" q5 U) q7 l/ X- z6 C! J  FFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
    0 r" r& O, I" s; P7 |+ @( Y) |! |  _
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1)." P7 |* U7 v$ n

    : X1 [; N& f9 y# k. v# G$ v理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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