爱吱声

标题: 【动脑筋】数学魔术 [打印本页]

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 00:26
标题: 【动脑筋】数学魔术
昨天在天才帮出了一道题。既然天才帮声势浩大，帮众日多，我以为在那里出题就等于在版面出题了。
不料还是有很多人没看见这题，就是说还应该发在版面才能给更多的人看到。
可是，找来找去，不知道发在哪个版面合适。有心发在研究生院，但一看规矩，得有论文水平才行。俺还是别捣乱了。
就这儿吧，日志随笔，谁都能看见了，是吧？现在出题。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

本题还是取自七旬老人发明"数学魔术" 5秒猜出你心里想的数

请你想一个四位的自然数abcd，把它乘以8889，告诉我乘积的4位尾数ABCD，我就能知道你想的是什么数。
例如：
如果你告诉我尾数是9026，则我知道你原来想的那个数是1234；
如果你告诉我尾数是7421，则我知道你原来想的那个数是6789；
如果你告诉我尾数是5679，则我知道你原来想的那个数是1111；
……

本题有几重玩法。

第一重：请大家出题，我来给出答案。
即，你来给出尾数ABCD，我来给出原数abcd。
例：你说“ABCD=9026”，我说：“abcd=1234”。——这就是那七旬老者的玩法，即所谓“数学魔术”。很神奇？

第二重：我来出题，参与者给出答案。
1，ABCD=9369
2，ABCD=2412
3，ABCD=7889
4，ABCD=9160
5，ABCD=0668
6，ABCD=8059
7，ABCD=8002
8，ABCD=2908
9，ABCD=5094
10，ABCD=5992
这些是原数乘以8889之后的末尾四位，你能给出10个原数其中一个也行，我会给你评分～

第三重：打擂——参与者给出算法。
注意，我的算法都不是从网上找来的，而是自己推理演算得出的。也请你注明你的算法是找来的还是算出来的。——我都会给你评分～

第四重：揭榜——参与者推演出算法的原理。
我就是为了寻求这个算法并推演严格的逻辑，而花了大半天的时间！
你若能给出清晰无误的推演过程，你就是俺的知音！俺的偶像！以后就有人跟俺一起玩了～

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

昨天出完这题后。我把这题给了某聪明的朋友。
只肖几分钟，朋友就给出了一个算法，比俺的算法更简单易记——而且我相信这就是那老者的算法。
因为我的算法推演过程比较复杂，算法相对而言不大容易记住，算的过程也需小心谨慎，稍不留神就容易出错。

不过，凭心而论，我的算法也不是不可取，因为某种意义上讲，俺的算法还是更容易心算出来的。没有经过心算训练的人用我的算法能更快给出答案呢！

所以，无论你推演出了哪种算法，你都是好样的！

（嗯？还可以选来自哪个群组？选了天才帮，看看有个什么效果。）[groupid=191]天才帮[/groupid]

作者: 沉宝 时间: 2014-8-27 02:24
很简单，8889=10000-1111。

没时间了，回头再写。

作者: 仁 时间: 2014-8-27 02:59
本帖最后由仁于 2014-8-27 03:28 编辑

个位数是0:    D+d=10 or 0
十位数是0： C+c+d=0, 10, 9 or 19  (如果 D+d =0 , 可能的结果是0或10，如果D+d=10, 可能的结果是9或19）
...

（10000 - 1000 -100 - 10 -1 ）* abcd = 10000 * x  + ABCD
也就是说 abcd000 + abcd00 + abcd0 + abcd + ABCD 的结果一定是可以被10000整除，也就是说从个位到千位都是0。

作者: 牛腰 时间: 2014-8-27 03:48
本帖最后由牛腰于 2014-8-27 04:00 编辑

abcd X 8889 = abcd X (1,0000 - 1111) = abcd,0000 - aaaa000 - bbbb00 - cccc0 - dddd

只算最后四位数的话，那就是 (1),0000 - a000 - bb00 - ccc0 - dddd

如果ABCD=9369。能决定个位数的只有d，所以d=10-9=1

十位数 = 9 - 6 - c - d, 那么 c = 9 - 6 - 1 = 2

百位数 = 9(或19) - 3 - b - c - d，b = 9 - 3 - 1 - 2 = 3

千位数 = 9(或19) - 9 - a - b - c - d，a = 19 - 9 - 1 - 2 - 3 = 4

验算：4321 X 8889 = 3840,9369

上面如果ABCD的个位数是0，那么十位数就从10而不是9开始减起。再往后推也是一样，后面的借位决定每一位数的开始值是10，9还是8。

自己想出来的。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 03:59

牛腰发表于 2014-8-26 14:48
abcd X 8889 = abcd X (1,0000 - 1111) = abcd,0000 - aaaa000 - bbbb00 - cccc0 - dddd

只算最后四位数的 ...

用你的方法试试我出的10道题？如果没时间就只试最后两道吧～

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:02

仁发表于 2014-8-26 13:59
个位数是0: D+d=10 or 0
十位数是0： C+c+d=0, 10, 9 or 19 (如果 D+d =0 , 可能的结果是0或10，如果D+d ...

也就是说 abcd000 + abcd00 + abcd0 + abcd + ABCD 的结果一定是可以被10000整除

这句话似乎不是你本来想表达的意思？再仔细看看？

作者: 牛腰 时间: 2014-8-27 04:08
本帖最后由牛腰于 2014-8-27 04:14 编辑

喜欢发表于 2014-8-27 03:59
用你的方法试试我出的10道题？如果没时间就只试最后两道吧～

ABCD = 5094

d = 10 - 4 = 6
c = 19 - 9 - 6 = 4
b = 18 - 0 - 6 - 4 = 8
a = 28 - 5 - 6 - 4 - 8 = 5
验算：5846 X 8889 = 5196,5094

ABCD = 5992
d = 10 - 2 = 8
c = 19 - 9 - 8 = 2
b = 28 - 9 - 2 - 8 = 9
a = 27 - 5 - 8 - 2 - 9 = 3
验算：3928 X 8889 = 3491,5992

上面没说清楚的是（１）如果一位数的减法得了负数，就加１０的倍数，直到得出一个个位正数，（２）上一位数的起始值向上round到最小的１０的倍数，１０减去它的十位数就是下一位数起始值的个位数。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:12

牛腰发表于 2014-8-26 15:08
ABCD = 5094

d = 10 - 4 = 6

你如何确定那里是19或18或28或27的？
每道题都做减法大竖式吗？

作者: 牛腰 时间: 2014-8-27 04:14

喜欢发表于 2014-8-27 04:12
你如何确定那里是19或18或28或27的？
每道题都做减法大竖式吗？

补充了我上面的回复。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:20

牛腰发表于 2014-8-26 15:14
补充了我上面的回复。

能不能再说明白点儿？因为这魔术弄好了应该人人会玩呢。
你能用实例（我的10道题就行）把玩的过程解释清楚、教会旁人么？

作者: 牛腰 时间: 2014-8-27 04:22
本帖最后由牛腰于 2014-8-27 04:26 编辑

喜欢发表于 2014-8-27 04:12
你如何确定那里是19或18或28或27的？
每道题都做减法大竖式吗？

以ＡＢＣＤ＝５９９２为例

ｄ:　１０－２＝８

ｃ:　起始值个位数是１０－１＝９，９＋８＝１７大于１０，所以起始值是１９，　１９－９－８＝２

ｂ:　起始值个位数是１０－２　（１９变２０)　＝　８，９＋８＋２＝１９，起始值就是２８才能得到一个个位数：２８－９－２－８＝９

ａ:　起始值个位数是１０－３（２８变３０）＝７，　５＋８＋２＋９＝２４，起始值必须是２７，２７－５－８－２－９＝３。

想着容易，解释起来挺饶的

作者: 仁 时间: 2014-8-27 04:27

喜欢发表于 2014-8-27 04:02
这句话似乎不是你本来想表达的意思？再仔细看看？

要想严谨地说明还必叫麻烦，但是思路在那里，实际操作很简单。ABCD=9026

D+d= 0 or 10 >>>> d=4
C+c+d=9 or 19 >>>> c=3
B+b+c+d=9 or 19 or 29 >>> b=2
A+a+b+c+d =0 or 10 or 20or 30 >>>> a=1

最后四位数字都是0：
1234000 + 123400 + 12340 + 1234 + 9026=1380000

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-27 04:31
有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD
2. 为了方便说明，
定义一个数X的各位和为 sum.dig(X).
定义mod10(Y): (i) Y>0，则为Y的个位数字
(i)
则
1. d=P
2. O-

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:36

牛腰发表于 2014-8-26 15:22
以ＡＢＣＤ＝５９９２为例

ｄ:　１０－２＝８

我觉得做起来也很绕啊，这样的算法，能在5秒内就把任何一题心算出来么？

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:41

仁发表于 2014-8-26 15:27
要想严谨地说明还必叫麻烦，但是思路在那里，实际操作很简单。ABCD=9026

D+d= 0 or 10 >>>> d=4

B+b+c+d=9 or 19 or 29 >>> b=2
A+a+b+c+d =0 or 10 or 20or 30 >>>> a=1

两个式子中，前一个一定是9/19/29之一吗？
后一个，怎么会是0/10/20/30之一呢？

你换个例子试试看，比如用我出的10题中后面两个。

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-27 04:42
本帖最后由黑洞的颜色于 2014-8-27 04:44 编辑

有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD
2. 为了方便说明，
定义一个数X的各位和为 sum.dig(X).
定义mod(Y): (i) Y>=0，则为Y的个位数字 (ii) Y<0, 则为 10 - Y的个位数字
如 mod(3)=7, mod(-2)=8

那么
1. d=P
2. c=mod(O-d)
3. b=mod(N-sum.dig(c+d))
4. a=mod(M-sum.dig(c+c+d))

即先得到10000-ABCD，再从后向前找，减去前面已经找到的数字的和的各位和，如果是负数则加10。

比如
ABCD=7421，
得到2579，
d=9;
c=mod(7-9)=mod(-2)=8;
c+d=17, sum.dig=1+7=8, b=mod(5-8)=mod(-3)=7
b+c+d=24, sum.dig=2+4=6, a=mod(2-6)=6
得 abcd=6789

想明白了算得非常快。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:43

黑洞的颜色发表于 2014-8-26 15:31
有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD

您这是用电脑算呢还是人脑算呢？

俺们的目的是要用人脑算，5秒钟就出结果。

作者: 牛腰 时间: 2014-8-27 04:45

喜欢发表于 2014-8-27 04:36
我觉得做起来也很绕啊，这样的算法，能在5秒内就把任何一题心算出来么？ ...

刚试了一下第８题，ＡＢＣＤ＝２９０８，心算出６１７２，可以做到。练习一下应该可以做得更快。

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-27 04:47

喜欢发表于 2014-8-27 04:43
您这是用电脑算呢还是人脑算呢？

俺们的目的是要用人脑算，5秒钟就出结果。 ...

仔细看看就发觉不过是先做一个10000减法，然后不断加减个位数字而已。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:57

黑洞的颜色发表于 2014-8-26 15:42
有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD

哎哟，你这个我已经判断不能了！

貌似是对的？你自己用我那十题把这算法验算一下（十遍）好吗？

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 04:59

牛腰发表于 2014-8-26 15:45
刚试了一下第８题，ＡＢＣＤ＝２９０８，心算出６１７２，可以做到。练习一下应该可以做得更快。 ...

你这算法算是一家。

不过，还有其它算法哦。想不想继续？

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-27 05:00
本帖最后由黑洞的颜色于 2014-8-27 05:09 编辑

喜欢发表于 2014-8-27 04:57
哎哟，你这个我已经判断不能了！

貌似是对的？你自己用我那十题把这算法验算一下（十遍）好吗？{ ...

1，ABCD=9369
to 0631 to 4321
2，ABCD=2412
to 7588 to 1708
3，ABCD=7889
to 2111 to 1001
4，ABCD=9160
to 0840 to 2440
5，ABCD=0668
6，ABCD=8059
7，ABCD=8002
8，ABCD=2908
9，ABCD=5094
10，ABCD=5992

But now I think about it, maybe it would be easier if we noticed abcd*8889= abcd0000-1001*abcd. Sorry must run.

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 05:03

黑洞的颜色发表于 2014-8-26 15:47
仔细看看就发觉不过是先做一个10000减法，然后不断加减个位数字而已。

可是您这算法的原理何在呢？能解释到俺（们？）能听懂的程度么？

看来脑袋瓜好使的人真不少啊！这么绕的算法都能想出来！非常佩服！

不过，有更简单的算法哎！

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 05:05

黑洞的颜色发表于 2014-8-26 16:00
1，ABCD=9369

2，ABCD=2412

什么？您怎么净晃我！这是题目哎，答案呢？

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-27 05:09

喜欢发表于 2014-8-27 05:05
什么？您怎么净晃我！这是题目哎，答案呢？

sorry, fat finger and I must run now.

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 05:12

喜欢发表于 2014-8-26 15:02
这句话似乎不是你本来想表达的意思？再仔细看看？

@仁

我重看了一遍你那回复，你是对的，说法没有问题。我那回复说明我当时没理解。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 05:17

黑洞的颜色发表于 2014-8-26 16:00
1，ABCD=9369
to 0631 to 4321
2，ABCD=2412

嗯。你也要改到比较简洁的路上来了么？
不过你说的有个口误吧？回来再仔细看看～

作者: 仁 时间: 2014-8-27 05:36

喜欢发表于 2014-8-27 04:41
两个式子中，前一个一定是9/19/29之一吗？
后一个，怎么会是0/10/20/30之一呢？

这是要看他们后面那位数上劲了几个上来。后面进1，就是9结尾，后面进2 就是8 结尾，没有进位，就是0结尾。

佩服你的执著。我一般都是明确思路就可以了。这里用地10题演算：ABCD=5992

since D+d=x0 so d=8 and x=1
since C+c+d=y9 so c=2 and y=2
since B+b+c+d=z8 so b=9 and z=3
since A+a+b+c+d=w7 so b=3

abcd=3928

作者: 仁 时间: 2014-8-27 05:39

喜欢发表于 2014-8-27 05:12
@仁

我重看了一遍你那回复，你是对的，说法没有问题。我那回复说明我当时没理解。

这个要说比较费事，但是做起来比较容易。在你这个帖子出来前，我用第10题演算了。我开始就那么写就不会误会了。

作者: leekai 时间: 2014-8-27 06:21
太难了，脑子疼

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 08:47

仁发表于 2014-8-26 16:36
这是要看他们后面那位数上劲了几个上来。后面进1，就是9结尾，后面进2 就是8 结尾，没有进位，就是0结尾 ...

明确思路到能明确表达是两个台阶哈！
在中国，反正我学习那会儿，是要求明确表达的，否则没分！
在国外，只要求有答案，脑子里面什么样没人关心。甚至给出四个答案让学生挑。唉，没法评说。

你这里，我还是没看懂哎。

“since D+d=x0 so d=8 and x=1
since C+c+d=y9 so c=2 and y=2
since B+b+c+d=z8 so b=9 and z=3
since A+a+b+c+d=w7 so b=3”

1，最后一行里面的“b＝3”算你手误，减1分吧～

2，形如“y9”的表达式中，y和9的关系是“y9=y*10+9”的意思？没注明，减1分吧～

3，y怎么就等于2了呢？你是说“C+c+d=29”吗？现有C=9, c=2, d=8, 和怎么就是29了呢？
同理，后面的也就没看懂了。

咱们这么说吧。现在你是老师，你得负责把学生教懂啊！不能只你自己明白，学生一头雾水，让ta怎么去变这个数学魔术呢？

作者: 仁 时间: 2014-8-27 09:03

喜欢发表于 2014-8-27 08:47
明确思路到能明确表达是两个台阶哈！
在中国，反正我学习那会儿，是要求明确表达的，否则没分！
在国外， ...

我的思维有点跳了啊。y是1，向前面那个数位进2. 写成C+c+d+1=y0就清楚了？

作者: 大卫 时间: 2014-8-27 10:17
abcdx8889=abcd*（10000-1111）=abcd*10000-abcd*1111=abcd*10000-*（a*1000+b*100+c*10+d）*1111=abcd*10000-aaaa*1000-bbbb*100-cccc*10-dddd

由于只需计算末尾四位，则公式为：

(1)0000
-------------
   a000
   bb00
   ccc0
- dddd
-------------
   wxyz

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 10:17

仁发表于 2014-8-26 20:03
我的思维有点跳了啊。y是1，向前面那个数位进2. 写成C+c+d+1=y0就清楚了？

不懂啊！
有能看懂的人么？

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 10:19

大卫发表于 2014-8-26 21:17
abcdx8889=abcd*（10000-1111）=abcd*10000-abcd*1111=abcd*10000-*（a*1000+b*100+c*10+d）*1111=abcd*100 ...

然后呢？具体怎么操作，算出答案呢？

作者: 大卫 时间: 2014-8-27 11:33

喜欢发表于 2014-8-27 10:19
然后呢？具体怎么操作，算出答案呢？

后续解题步骤同4楼，注意借位（公式中以wxyz代替ABCD以免误解）。

答案：
1，ABCD=9369；abcd=4321
2，ABCD=2412；abcd=1708
3，ABCD=7889；abcd=1001
4，ABCD=9160；abcd=2440
5，ABCD=0668；abcd=6012
6，ABCD=8059；abcd=2351
7，ABCD=8002；abcd=2531
8，ABCD=2908；abcd=6172
9，ABCD=5094；abcd=5846
10，ABCD=5992；abcd=3928

作者: 独角兽 时间: 2014-8-27 15:52
本帖最后由独角兽于 2014-8-27 16:23 编辑

0， 9， 18， 27， 36， 45， 54， 63， 72， 81

1) ABCD＝9369: abcd=4321
d=1;
6+1=7; c+d=3; c=2;
3+1=4; b+c+d=6, b=3;
9+1=0, a+b+c+d=10; a=4

2) ABCD=2412; abcd=1708
d=8;
1+1=2; c+d=8; c=0;
4+1=5; b+c+d=15, b=7;
2+1+1=4, a+b+c+d=16; a=1

3) ABCD＝7889: abcd=1001
d=1;
8+1=9; c+d=1; c=0;
8+1=9; b+c+d=1, b=0;
7+1=8, a+b+c+d=2; a=1;

4) ABCD=9160; abcd=2440

5) ABCD=06668; abcd=6012

6) ABCD=8059; abcd=2531

7) ABCD=8002; abcd=2018

8) ABCD=2908; abcd=6172

9) ABCD=5094; abcd=5846

10) ABCD=5992; abcd=3928

第十题题发现了我找到所谓规律的小bug。

d=8
9+1=10, c+d=10, c=2
9+1+1=11, b+c+d=19, b=9
(5+1+1=7, a+b+c+d=23, a=4 -->验算时发现不对）
5+1+2＝8， a+b+c+d=22, a=3

附赠11）ABCD＝1111， abcd＝9999

d=9
1+1=2, c+d=18, c=9
1+2=3, b+c+d=27, b=9
1+3=4, a+b+c+d=36, a=9

哪位小伙伴能把我的解题思路写出来呢？

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 19:04

大卫发表于 2014-8-26 22:33
后续解题步骤同4楼，注意借位（公式中以wxyz代替ABCD以免误解）。

所以你的算法也是每题都列大竖式。

可以，但不简洁。还有更简洁的算法呢，要不要继续？：）

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 19:08
可了不得！这个推荐是怎么回事啊？！

系统自作聪明推荐的？这么一来就把楼层都弄乱了啊！让人怎么看明白前后因果关系呢？

能不能把自动推荐功能关掉？若要推荐也得由楼主人工推荐啊！

（不会是版主人工推荐的吧？）

作者: 喜欢 时间: 2014-8-27 19:21

独角兽发表于 2014-8-27 02:52
0， 9， 18， 27， 36， 45， 54， 63， 72， 81

1) ABCD＝9369: abcd=4321

独角兽MM终于来了！我就觉得你会来～

你这个是在找规律，或者叫直接找算法。算我主楼说的第三重玩法。

但是你无法解释什么情况下“+1”，什么情况下“+1+1”以至“+1+2”吧？

所以你有两个途经继续，一个是用严格的推理证明你找到的规律；另一个是另辟蹊径——那是存在的。：）

对了，你看看你这做法跟仁做的是不是一回事？他的我就没看懂。

没准儿黑洞的颜色那程序说的也是这样的意思？那个我更没看懂。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 04:11

独角兽发表于 2014-8-27 02:52
0， 9， 18， 27， 36， 45， 54， 63， 72， 81

1) ABCD＝9369: abcd=4321

独角兽喜欢gg，我这是很严格的，呵呵。。。

那你把你的推理过程写出来？就当给学生上课，要能把不懂的人教懂哦。

作者: 独角兽 时间: 2014-8-28 04:25
本帖最后由独角兽于 2014-8-28 05:14 编辑

独角兽发表于 2014-8-27 15:52
0， 9， 18， 27， 36， 45， 54， 63， 72， 81

1) ABCD＝9369: abcd=4321

喜欢gg喜欢我，我就接着写了。

最近电脑上爱坛少了，一般就是手机扫一眼，所以错过了好些帖子，日志什么的。评论和回复更是少了。昨晚才看见喜欢gg的这个帖子。看了题目，我确定一定以及肯定自己是一定会做的，可是写起来应该怪麻烦的，我就没算，然后就该干啥干啥去了。

可是，俺这一颗热爱趣味数学的真心呀，准备睡觉的时候突然又忍不住想把这题作出来。再后来觉得自己的算法还是有特别之处的，就忍不住写出来显摆了。

第一段：

俺觉得吧，这题的正道是逆向思维，也就是发现8889＝10000－1111. 然后顺着这个思路下去，从后往前一位一位的推，把借位搞清楚了，就没问题了。同学们纷纷顺着这个思路给出了算法，有些表述的简洁一些，有些啰嗦一些，有些还有点儿小疏漏，但基本上都算是答出来了。

第二段：

给大家介绍一下独角兽的正向思维，邪派招术吧。

从8889到1111是此题的关键，但我当时第一感觉是8889会变成9999。9 为什么好呢？9乘以任何一个各位的数字尾数各不相同。是一一对应的关系。换句话说，任何一个ABCD我都能张口说出d的值来。正是因为想把8889变成9999，我一下困意全无，拿出纸笔就开练了。

我在解题的第一行给出了0到9与9的乘积就是想看看有没有人能够跟我想到同一个方向上去。

假如不考虑进位， abcd×8889
个位＝9×d
十位＝9×c+8×d
百位＝9×b+8×c+8×d
千位＝9×a+8×b+8×c+8d

这时候个位数乘9的另一个伟大的特性派上了用场，那就是乘积的十位数其实是比它本身小1. （注意0还是0）
这个数就是进位的。

考虑进位后：十位＝9×c+8×d+（d－1）＝9×（c+d）－1 （这个1就是我前面计算过程提示中的+1），然后又可以用乘9的尾数定位出c+d的尾数了。

百位＝9×b+8×c+8×d + （c+d－1）＝9×（b+c+d）－1 （到了这里停一下，如果上面(c+d)已经不是个位数字了，咋办？直觉告诉我，把10位再加上去就行了。于是，我用abcd＝9999这个极限值验证了一下，果然如此。）

剩下的就是心算九九表和加减法了。5秒钟一个题没问题，但会出错，因为乘法的这个对应关系还是没有加法的直接。

算完了以后回帖，写答案之前心里没底，excel验算了一下，发现第10题居然错了。于是猜（+2）不是从20开始的，而是从19开始的。分别验算了18，19，20的情况，发现确实如此。猜测如果（+3)应该是从28开始，可惜只有(b+c+d)最大27，没法验算了。

以上，从9的乘法出发找出了这个所谓魔术的解法，心满意足的睡觉去了。。。

作者: 独角兽 时间: 2014-8-28 05:09

独角兽发表于 2014-8-28 04:25
喜欢gg习惯我，我就接着写了。

最近电脑上爱坛少了，一般就是手机扫一眼，所以错过了好些帖子，日志什么 ...

另外，我之所以第一反应会做，但懒得做，有一个原因是我前一段看了一本编程的书想拓展自己的思维方式。所以，我其实想用编程的方法做这个题。

int a=b=c=d=0, M=ABCD, N=8889

while (d*9)%10 != M%10
{
d++;
if d ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}
while ((10*c+d)*89)%100 !=M%100
{
c++;
if c ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}

while ((100*b+10*c+d)*889)%1000 !=M%1000
{
b++;
if b ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}
while ((1000*a+100*b+10*c+d)*8889)%10000 != M
｛
a++;
if a ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}

最后输出 abcd=1000*a+100*b+10*c+d Oh yeah!

The end!

出错信息是后来想起来加上去的。具体编程的语言我记不太清楚，但思路是前两个月看编程书的收获。感觉自己很帅。哈哈。@holycow 神牛师傅来鉴定一下，这个程序编得够简洁吧

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-28 05:57

喜欢发表于 2014-8-27 05:03
可是您这算法的原理何在呢？能解释到俺（们？）能听懂的程度么？

看来脑袋瓜好使的人真不少啊！这么绕的 ...

抱歉，文笔不好，写算法用的时间比想出来的时间还长，也没说明白。好像匆忙中也没有贴全。

步骤为
0）得到四位数MNOP=10000-ABCD
例如以上部分题目
1，ABCD=9369得 MNOP=0631
2，ABCD=2412得 MNOP=7588
3，ABCD=7889得 MNOP=2111
10，ABCD=5992得 MNOP=4008

1） d=P：
1，ABCD=9369得 MNOP=0631; d=1;
2，ABCD=2412得 MNOP=7588; d=8;
3，ABCD=7889得 MNOP=2111; d=1;
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;

2） c=O-d, 如c小于0则加上10:
1，ABCD=9369得 MNOP=0631;d=1;  c=3-1=2;
2，ABCD=2412得 MNOP=7588;d=8;  c=8-8=0;
3，ABCD=7889得 MNOP=2111;d=1;  c=1-1=0;
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;c=0-8+10=2;

3） b=N-n, 其中n 是c+d的各位数字之和。如b小于0则加上10:
   例如 c=7, d=8 则c+d=15,其各位数字之和 n=1+5=6; 如c=8,d=2, c+d=10, n=1
1，ABCD=9369得 MNOP=0631;d=1; c=2; n=3, b=6-3=3
2，ABCD=2412得 MNOP=7588;d=8; c=0; n=8, b=5-8+10=7
3，ABCD=7889得 MNOP=2111;d=1; c=0; n=1, b=1-1=0
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;c=2;n=1,b=0-1+10=9
4） a=M-m, 其中m 是b+c+d的各位数字之和。如a小于0则加上10:
1，ABCD=9369得 MNOP=0631;d=1; c=2; b=3; m=0-6+10=4, 最后 abcd=4321
2，ABCD=2412得 MNOP=7588;d=8; c=0; b=7; m=6,a=1，abcd=1708
3，ABCD=7889得 MNOP=2111;d=1; c=0; b=0; m=1,a=1，abcd=1001
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;c=2;b=9, m=1, a=3, abcd=3928

注：d=8;c=2;b=9，其各位数字之和要反复加到只剩一位： 8+2+9=19 =》10 =》1

上面36楼似乎有点typo.
6) ABCD=8059,应为abcd=2531.
7) ABCD=8002, abcd=2018

回头写原理

作者: 不爱吱声 时间: 2014-8-28 07:36
算法：
如果 D 等于 0:
d = 0
c = D-C
如果 D 不等于 0:
d = 10-D
c = D-C-1

如果 c 小于 0：
b = C-B-1
同时更新 c: c = c+10
如果 c 大于 0：
b = C-B
c 不变

如果  b 小于 0:
a = B-A-1
同时更新 b: b = b+10
如果 b 大于 0：
a = B-A
b 不变

如果 a 小于 0:
更新 a: a = a+10
====================== 下面使用python实现上面算法，以及运行结果 ==============
def multiply8889(digits):
A,B,C,D = int(digits[0]),int(digits[1]),int(digits[2]),int(digits[3])
if D!= 0:
      d = 10-D
      c = D-C-1
else:
      d = 0
      c = -C

if c <0:
      c = c+10
      b = C-B-1
else:
      b = C-B

if b <0:
      b = b+10
      a = B-A-1
else:
      a = B-A

if a<0:
      a = a+10

number = a*1000+b*100+c*10+d
print 'answer:'+digits+'=>'+str(number)
print 'check:'+'8889''*'+str(number)+'='+str(8889*number)
return

multiply8889('9369')
multiply8889('2412')
multiply8889('7889')
multiply8889('9160')
multiply8889('0668')
multiply8889('8059')
multiply8889('8002')
multiply8889('2908')
multiply8889('5094')
multiply8889('5992')

======== 运行结果 =======================
answer:9369=>4321
check:8889*4321=38409369

answer:2412=>1708
check:8889*1708=15182412

answer:7889=>1001
check:8889*1001=8897889

answer:9160=>2440
check:8889*2440=21689160

answer:0668=>6012
check:8889*6012=53440668

answer:8059=>2531
check:8889*2531=22498059

answer:8002=>2018
check:8889*2018=17938002

answer:2908=>6172
check:8889*6172=54862908

answer:5094=>5846
check:8889*5846=51965094

answer:5992=>3928
check:8889*3928=34915992

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 09:50

不爱吱声发表于 2014-8-27 18:36
算法：
if D 等于 0:
d = 0

耶！你是俺滴知音～俺基本上就是这么做的。

不过，你是否需要阐明一下你的算法呢？如果有人说不懂，你怎么办？

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 09:55

黑洞的颜色发表于 2014-8-27 16:57
抱歉，文笔不好，写算法用的时间比想出来的时间还长，也没说明白。好像匆忙中也没有贴全。

步骤为

你这个好复杂，需要慢慢消化。尤其不明觉厉的是
其各位数字之和要反复加到只剩一位： 8+2+9=19 =》10 =》1
这部分是怎么来的？做什么用的？

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 10:00

独角兽发表于 2014-8-27 15:25
喜欢gg喜欢我，我就接着写了。

最近电脑上爱坛少了，一般就是手机扫一眼，所以错过了好些帖子，日志什么 ...

你这个我也得慢慢消化～

作者: 不爱吱声 时间: 2014-8-28 10:23

喜欢发表于 2014-8-27 19:50
耶！你是俺滴知音～俺基本上就是这么做的。

不过，你是否需要阐明一下你的算法呢？如果有人说不 ...

简单说一下，

abcd*8889 = abcd*10000-abcd*1111
不考虑借位的话
（1）D = 10-d => d=10-D
（2）C = 10-d-c
      （1）-（2）=> c=D-C
（3）B = 10-d-c-b
      （2）-（3）=> b=C-B
（4）A = 10-d-c-b-a
      （3）-（4）=> a=B-A

然后考虑借位，就是最后的算法。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 10:53

不爱吱声发表于 2014-8-27 21:23
简单说一下，

abcd*8889 = abcd*10000-abcd*1111

行，有你说的垫底，我可以不说什么了！

花哦！

作者: 独角兽 时间: 2014-8-28 11:39

不爱吱声发表于 2014-8-28 10:23
简单说一下，

abcd*8889 = abcd*10000-abcd*1111

二当家的厉害，觉得这就是正道终极解法了。

有一点说得不太准确，10－x不是不考虑借位，是考虑了最正常的只借一位的情况。然后对特殊情况进行修改，比如 D=0， d＝0，不需借位；x>=10，多借一位。但是，是不是漏掉了x>=20的修正呀？

二当家的用你的程序算一下ABCD＝1111，看看答案是多少？

另外，都算到这份上了，不用编程，口算就行了。编程最大的优势就是傻骡子计算机不怕累，让它去排除去吧。咱们就不用动脑筋推导了

作者: 不爱吱声 时间: 2014-8-28 13:05

独角兽发表于 2014-8-27 21:39
二当家的厉害，觉得这就是正道终极解法了。

有一点说得不太准确，10－x不是不考虑借位，是考虑了最正常 ...

不考虑借位的意思是不用考虑借位的不同情况,不是不借位,呵呵,写得着急了点.

编这种小程序也就是一两分钟的事儿,当时原本正在编其他的程序,随手就写了,这也是为什么我喜欢python的原因.

程序是为了比较方便地验证算法,省得还得自己算,10个还容易,成百上千的验算就不容易了,好处是可以一劳永逸地把所有的数都验证了,而不仅仅局限于这10个,总的来说还是程序更方便啊.

你可能想多了,用这种递进似算法不会出现借2位的情况阿,因为后一个与前一个只差一个数位.

我刚刚用我的算法程序遍历了所有的可能的数,全部都计算正确了.(程序见下面)

=======================遍历程序=====================
def multiply8889(digits):
A,B,C,D = int(digits[0]),int(digits[1]),int(digits[2]),int(digits[3])
if D!= 0:
      d = 10-D
      c = D-C-1
else:
      d = 0
      c = -C

if c <0:
      c = c+10
      b = C-B-1
else:
      b = C-B

if b <0:
      b = b+10
      a = B-A-1
else:
      a = B-A

if a<0:
      a = a+10

number = a*1000+b*100+c*10+d
return number

def check(digits):
number = multiply8889(digits)
if digits != str(8889*number)[-4:]: # last four digits
      return False
else:
      return True

def print_result(digits):
number = multiply8889(digits)
print 'answer:'+digits+'=>'+str(number)
print 'check:'+'8889''*'+str(number)+'='+str(8889*number)

anywrong = False
for i0 in range(1,10):
  for i1 in range(10):
for i2 in range(10):
   for i3 in range(10):
         digits = str(i0)+str(i1)+str(i2)+str(i3)
         if not check(digits):
            anywrong = True
            break

if not anywrong:
print "The algorithm is correct!"
else:
print "The algorithm is incorrect!"

print_result('1111')
=======================最后结果=========================
The algorithm is correct!

answer:1111=>9999
check:8889*9999=88881111

作者: 独角兽 时间: 2014-8-28 13:35

不爱吱声发表于 2014-8-28 13:05
不考虑借位的意思是不用考虑借位的不同情况,不是不借位,呵呵,写得着急了点.

编这种小程序也就是一两分钟 ...

呵呵，牛！

我没用你的算法算，所以看下来觉得好像少了一种情况似的。如果没少的话，我还得再去想为啥20多也不例外。我估摸着是每次10啊10的补上了，就没20啥事了。

我不会编程，所以觉得编程麻烦。但是现在觉得用程序算胜在思路简单，步骤麻烦点其实没啥。思路复杂了，更容易想错，或者想不出来。还似乎计算机厉害，跟少林寺罗汉拳似的。

作者: 不爱吱声 时间: 2014-8-28 13:45

独角兽发表于 2014-8-27 23:35
呵呵，牛！

我没用你的算法算，所以看下来觉得好像少了一种情况似的。如果没少的话，我还得再去想为啥20 ...

如果你想学习一门编程语言就推荐你学python,是最接近自然语言的,而且数据结构丰富,有丰富的库,我现在工作中编程序基本全靠python搞定,可以实现非常复杂的功能,不管是科学计算,还是用户接口界面都可以.而且完全免费哦.

放弃你学的 C 吧,python 走起.https://www.python.org/

我使用pythonxy package写工作上用的软件:
http://code.google.com/p/pythonxy/

作者: 独角兽 时间: 2014-8-28 14:07

不爱吱声发表于 2014-8-28 13:45
如果你想学习一门编程语言就推荐你学python,是最接近自然语言的,而且数据结构丰富,有丰富的库,我现在工作 ...

嘿嘿，其实我是看了一本java教程。当然，记住多少我就不知道了。就是觉得我怎么能不会编程呢，感觉像是放弃了很大一片天空似的。下面有空我再想看编程的东西就看这个蟒蛇。你和轧叔都这么喜欢蟒蛇呢。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 21:27

不爱吱声发表于 2014-8-28 00:05
不考虑借位的意思是不用考虑借位的不同情况,不是不借位,呵呵,写得着急了点.

编这种小程序也就是一两分钟 ...

这个太棒了！

（等我有分额了再评分～）
本来我还想写个程序呢（好久没写了，若写还得费点儿工夫），这下也不用写了。

最喜欢这样严格的思路了，滴水不漏，童叟无欺，久经考验！

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 21:48

独角兽发表于 2014-8-27 22:39
二当家的厉害，觉得这就是正道终极解法了。

有一点说得不太准确，10－x不是不考虑借位，是考虑了最正常 ...

二当家的编程，一是为了严格——电脑不允许手误、口误之类，你说的每一个字都必须对，它才认可；二是为了遍历——所有可能的题都对了，你出题的还有什么说的？那算法是肯定对了！

作者: 喜欢 时间: 2014-8-28 23:42
本帖最后由喜欢于 2014-8-28 11:04 编辑

我来说说我做这题的答案吧。那天折腾了半天，不让它见见天日它也难受！

先说算法，即第三重玩法——掌握了这方法，即使是一年级的小朋友也可以去变这个魔术了！

已知某数abcd乘以8889所得尾数为ABCD，求abcd。

拿来一道题，基本上眼睛盯着那ABCD四个数字就能把答案abcd说出来了。因为只要做这四个数字间的20以内的减法。只不过要从最后一位往前算起，按照d、c、b、a的次序。
比如第1题，ABCD＝9026
d=10-D=10-6=4
c=D-C-1=6-2-1=3
b=C-B=2-0=2
a=B-A=0-9=1
咦？0-9不够减怎么办？你就+10，当它是10-9就行了！

简单吗？会了吗？

拿第2题试试手：ABCD=2412
你的答案是多少？
8，1，7，2？——第二个数字忘记-1了吧？记住，（答案中倒数）第二个数字c必须有“－1”才对！
8，0，7，2？——嗯，这是你找答案的次序，答案只要反过来就行了；
2708？——这次对啦！
不错，你连中间那个“1-4”不够减都知道当成“11-4”去做了，很好！

嗯？你要去找小伙伴变魔术了？等等，先别走。这里还有绝招呢。不是所有的题都那么简单。事实上有很多题需要用绝招来对付！
什么样的题呢？就是答案abcd里面，后两位相加超过9的数，和后三位相加超过9的数，还有后三位相加超过18的数。

刚才我讲算法的时候就有小朋友问为什么要从后往前算，直接从前往后算不是更直接吗？等我讲完绝招你就知道为什么啦。

注意我刚才教的四个算式：
1，d=10-D
2，c=D-C-1
3，b=C-B
4，a=B-A

第一个比较特殊，是每次都用10做被减数，要单独记住；
第二个也比较特殊，它每次都要做完相邻两数的减法后再-1，也要记牢；
那么后面的两个算式就永远不用-1吗？
不是的！它们有的时候也要-1！——这就是绝招。什么时候用绝招呢？你会做超过10的加法吗？（会做30以内的加法就行。）
要把答案里面的数字相加，d+c的结果决定第三个算式要不要-1；d+c+b的结果决定第四个算式要不要-1。
这就是说你要先知道d和c才能知道b；要先知道d、c和b才能知道a——所以我们得反着找答案。

好，现在就是对付那一大堆“难题”的绝招：

绝招1

当(d+c)>9，b=C-B-1；——此时后位减前位需再减1，才得出b；
这个时候你还要注意这个：当(d+c+b)>18，a=B-A-1——即此时后位减前位需再减1，才得出a。

举个例子：
ABCD=5992，
d=10-D＝10-2＝8
c=D-C-1＝12-9-1＝2（注意，2-9不够减了，自动变成12-9）
上面这两个算式永远这样，不会变；
下来两个算式就要用到绝招了，因为我们发现，已经算出来的两个数字(8+2)＝10>9了！那么就要多-1：
b＝9-9-1＝9（——注意，9-9＝0，后面又不够减了，那就+10再减，10-1＝9。）
这里有了-1就要注意后面一个数字a的算法了，果然(d+c+b)=(8+2+9)=19>18，那么算a的时候也要-1：
a=B-A-1=9-5-1=3
答案是，abcd=3928

再举一个例子巩固一下：
ABCD=5094
d=10-D=10-4=6
c=D-C-1=14-9-1=4
b=C-B-1=9-0-1=8——为什么这里要-1呢？因为(d+c)=10>9
a=B-A=9-3=6——咦，这里不需要-1吗？不需要！因为(d+c+b)=6+4+8=18——没有大于18就不要用绝招！

绝招2
当(d+c)<=9，算b的时候不用绝招。那么算a的时候还需要小心吗？需要！这时需要判断(d+c+b)是否大于9——注意这时用9判断，而不是18（实际上不可能大于18）。
当(d+c)<=9, 且(d+c+b)>9时，a=B-A-1——这个时候算a就要用到“-1绝招”！

例：
ABCD=3904
d=10-4=6
c=4-0-1=3
b=10-9=1——即使(d+c)＝6+3=9，也无需使用绝招
a=B-A-1=9-3-1=5——要用绝招了，因为(d+c+b)=6+3+1=10>9

至此，算法全部教完。

现在你可以做主帖里面的10道题了，并对照一下答案，看看你能不能做对。

题目：
1，ABCD=9369；
2，ABCD=2412；
3，ABCD=7889；
4，ABCD=9160；
5，ABCD=0668；
6，ABCD=8059；
7，ABCD=8002；
8，ABCD=2908；
9，ABCD=5094；
10，ABCD=5992；

答案：
1，ABCD=9369；abcd=4321
2，ABCD=2412；abcd=1708
3，ABCD=7889；abcd=1001
4，ABCD=9160；abcd=2440
5，ABCD=0668；abcd=6012
6，ABCD=8059；abcd=2531
7，ABCD=8002；abcd=2018
8，ABCD=2908；abcd=6172
9，ABCD=5094；abcd=5846
10，ABCD=5992；abcd=3928

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

下面是给大人看的算法。呵呵。

1，从最后一位d算起，依次向左，求出c、b、a。

2，d＝“D对10求补”。例：D=3，则d=7。

3，c＝D-C-1，不够减时+10再减（下同）。

例：D=5，C=2，则c=5-2=3；
D=4，C=6，则c=10+D-C-1=10+4-6-1=7；
D=C，则c=10+D-C-1=9。

4，b分两种情况，

4.1 当(d+c)<=9，b=C-B；此时只管后位减前位，即得出b；
4.2 当(d+c)>9，b=C-B-1；此时后位减前位需再减1，才得出b。

5，a分四种情况，

当b无需－1，则此时用9做关键数，决定是否－1：
5.1 当(d+c)<=9，且当(d+c+b)<=9，a=B-A，即此时只管后位减前位，即得出a；例5：ABCD=8002，则abcd=2018
（——b、a都直接相减得出）
5.2 当(d+c)<=9，且当(d+c+b)>9，a=B-A-1，即此时后位减前位需再减1，才得出a；例6：ABCD=2908，则abcd=6172
（——b直接得出、a需－1）

当b已经－1，则此时用18做关键数，决定是否－1：
5.3 当(d+c)>9，且当(d+c+b)<=18，a=B-A，即此时只管后位减前位，即得出a；例7：ABCD=5094，则abcd=5846
（——b需－1、a直接得出）
5.4 当(d+c)>9，且当(d+c+b)>18，a=B-A-1，即此时后位减前位需再减1，才得出a；例8：ABCD=5992，则abcd=3928
（——b、a都需－1）

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本帖最后由喜欢于 2014-8-28 13:20 编辑

解释一下我那算法的推理过程——第四重玩法。

原理如下：

设有四位正整数形如abcd，将其乘以8889，则有

abcd*8889=abcd*(10000-1000-100-10-1)=
abcd0000
- abcd000
- abcd00
-    abcd0
-    abcd
-------------------
   ABCD

设其结果的末尾4位形如ABCD，我们只看后面黑体字部分的四位数，其每一列的减法。则有

最初，十位、百位、千位肯定都被借位1，变成9，而个位得到10，因此，

D这里的被减数肯定是10，
D=(10-d)
=>d=10-D

C这里的被减数肯定是9，
当(d+c)<=9，
C=9-d-c=(10-1)-d-c=(10-1)-(10-D)-c=D-c-1
=>c=D-C-1
当(d+c)>9，向前借位，+10再减，（+10或-10只影响前面一位，不影响本位的数字。我们称为“公理1”。）
C=10+9-d-c=10+(10-1)-(10-D)-c=D-c-1+10
=>c=(D-C-1)+10＝D-C-1（公理1）
=>c=D-C-1

B这里的被减数，当(d+c)<=9，是9；当(d+c)>9，是8（因为又被借过1），
当(d+c)<=9,
B=9-d-c-b=(10-1)-d-c-b=(10-1)-(10-D)-(D-C-1)-b=C-b
=>b=C-B
当(d+c)>9,
B=8-d-c-b=(10-1-1)-d-c-b=(10-1-1)-(10-D)-(D-C+9)-b=C-b-11
=>b=C-B-1-10＝C-B-1（公理1）
=>b=C-B-1

万位，A这里，被减数-d-c-b-a=A，

● 当(d+c)<=9，关键数是9，
当(d+c+b)<=9，被减数保持为9；当(d+c+b)>9，被减数是8（又被借过1），

· 当(d+c)<=9且(d+c+b)<=9，
A=9-d-c-b-a=(10-1)-d-c-b-a=(10-1)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B)-a=B-a
=>a=B-A
例1：ABCD=8059，则abcd=2531——(d+c)<=9, (d+c+b)<=9

· 当(d+c)<=9且(d+c+b)>9，
A=8-d-c-b-a=(10-1-1)-d-c-b-a=(10-1-1)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B)-a=B-a-1
=>a=B-A-1
例2：ABCD=3904，则abcd=5136——(d+c)<=9, (d+c+b)>9

● 当(d+c)>9，因为(d+c+b)肯定>9，故万位至少曾再被借位1，即A这里的被减数，至多是8，也许是7。所以，此时用来判断的关键数是18，
当(d+c+b)<=18（肯定>9），被减数是8（仅被借位1）；当(d+c+b)>18，被减数是7（曾被借位2），

· 当(d+c)>9且(d+c+b)<=18
A=8-d-c-b-a=(10-1-1)-d-c-b-a=(10-1-1)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B-1)-a=B-a
=>a=B-A
例3：ABCD=6091，则abcd=4819——(d+c)>9, (d+c+b)<=18

· 当(d+c)>9且(d+c+b)>18，
A=7-d-c-b-a=(10-1-2)-d-c-b-a=(10-1-2)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B-1)-a=B-a-2+1
=>a=B-A-1
例4：ABCD=1994，则abcd=7946——(d+c)>9, (d+c+b)>18

证明完毕。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-29 10:53
接着来。这次是爆炸性的答案！

俺说过，俺把这题目给了一个朋友——一直被我奉为聪明人的朋友。果然不负我望。不到十分钟，答案回来了，就两句话：

把ABCD乘以9；

8889x9=80001。

我告诉ta我的算法后，又给我一句话，长一点的：

你用竖式做“ABCD0-ABCD”，看看跟你那算法一样不一样？

我傻了，我服了！

我知道什么叫巧劲，什么叫窍门，什么叫题眼了！

我知道什么叫豁然开朗了！

我知道世界上真的存在聪明人了！

于是我的算法被简化了，直接就减了啊，从前往后就能说出答案了啊！（只要看后一位是否够减/是否借1就行了！）不用管什么(d+c)、(d+c+b)的值了！

即使最极端的ABCD=5992，也能立刻算出ABCD=3928来！

作者: 大脚丫 时间: 2014-8-29 11:34

喜欢发表于 2014-8-29 10:53
接着来。这次是爆炸性的答案！

俺说过，俺把这题目给了一个朋友——一直被我奉为聪明人的朋友。果然不负我 ...

数学以前就没学的怎么好，现在陪着孩子一起学，也是速度上不来，去考试肯定完蛋。
这种题目是数论方面的，小学知识就可以解决，但是现在小学生要去学奥数才接触这类题目。

这道题我还要睡一觉才解决，昨天晚上就没做出来。

我的思路也是那个8889=10000-1111，然后列竖式计算。过程不复杂，和你前面列出来的差不多，但是有细微的不同。我的基本公式是这样的：

d=10-D
c=9-(C-D)
b=9-(B-C)
a=9-(A-B)

这样的公式方便记忆，但是要处理进位问题，就是这个进位昨天晚上把我难住了。

如：ABCD=7421，这个例子高位上的数字都大于低位上的数字，所以没有进位问题，直接用公式，

d=10-D=10-1=9
c=9-(C-D)=9-(2-1)=8
b=9-(B-C)=9-(4-2)=7
a=9-(A-B)=9-(7-4)=6

得：abcd=6789

例二：ABCD=9026 ，这个就有进位问题了。

d=10=D=10-6=4
c=9-(C-D)=9-(2-6)=13 ；这里发生进位了，十位上的数字1要加到下面一位。
b=9-(B-C)+1=9-(0-2)+1=12；再次发生进位，十位上的数字1再次加到下面一位。
a=9-(A-B)+1=9-(9-0)+1=1

得：abcd=1234

这种算法容易记忆，但是和前面那个用10000来减的算法比起来就笨多了。

虽然慢了一点，但是我好歹自己想办法解决了。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-29 11:52

大脚丫发表于 2014-8-28 22:34
数学以前就没学的怎么好，现在陪着孩子一起学，也是速度上不来，去考试肯定完蛋。
这种题目是数论方面的 ...

说得很明白。
只是那几个公式是怎么推出来的，需要详细一点才好。

要说简单好算，我在60楼的“爆炸性解法”才是最简单的解法。

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-8-29 12:01
本帖最后由黑洞的颜色于 2014-8-29 12:05 编辑

喜欢发表于 2014-8-29 10:53
接着来。这次是爆炸性的答案！

俺说过，俺把这题目给了一个朋友——一直被我奉为聪明人的朋友。果然不负我 ...

这个要佩服一下。能够直接看到乘数的结果的确是天才。

我的方法要直接一点，和你的方法原理是一样的，只不过注意到了进位关系而已。看到这个时已经差不多写完了，还是做个记录吧。

原理
1. abcd*8889=abcd*(10000-1111)=abcd0000 – abcd*1111=？？？*10000+ABCD，
2. 只要考虑最后四位数字，所以只有最后四位有关系。就是
10000-（ abcd*1111）之最后四位=ABCD，
也即
（ abcd*1111）之最后四位=10000-ABCD=MNOP 为四位数字（M可能为0）
3.    列出竖式乘法
                  abcd
  ×                1111
=                abcd
               abcd
               abcd
            abcd
=       ……….MNOP 是刚才得到的最后四位数。
显然
1) P=d,
2) O = c+d 的个位数=mod(c+d) 。
即我们定义mod（X）为数X的个位数。例如mod(3)=3; mod(12)=2; mod(10)=0.
在这一步可能有进位，也就是说c+d=O或者 c+d=10+O（进位）。为了以下说明方便，统一写成c+d=yO。即y=c+d可能的进位。进位时y=1, 否则y=0。
这样我们容易写出c=yO-d, 并且当O<d时 y=1
例如O=9，d=8,则 c=mod(09-8)=1;
又如O=2，d=8,则 c=mod(12-8)= 4
3) N = (b+c+d+y) 的个位数=mod(b+c+d+y)。y 是c+d可能的进位。
看上去复杂，其实除了未知b以外，等式右边真正有需要的只有c+d+y的个位数，记为x=mod(c+d+y)。
现在理解的关键在这一步：x就是c+d的各位数字之和。

例如 c=7, d=8 则c+d=15,其各位数字之和 x=1+5;
再例如c=1，d=2 则c+d=3, x=3;
再例如c=2，d=8,  x=1。
也就是说不断的加数字直到只剩下1位。
得到x之后我们就回到了2），只要计算N=mod(b+x), 可同理得
b=zN-x, z=1 if N<x。
4) M=(a+b+c+d+z) 的个位数, 推理同上

这种方法没有特殊情况需要记忆，所以想明白之后计算起来很快。如果考虑到MNOP和ABCD的关系，基本上就是你的算法了。

这个说起来特别麻烦，实际上要是对模数和进位有了解的话（比如程序员），以上推理都不要，基本就能看出来。我猜二当家的就是用了近似的思路。

作者: 喜欢 时间: 2014-8-29 12:44

黑洞的颜色发表于 2014-8-28 23:01
这个要佩服一下。能够直接看到乘数的结果的确是天才。

我的方法要直接一点，和你的方法原理是一样的，只 ...

谢谢你说得这么详尽，我比较明白你的思路了。

不过，对那个关键点还需要你指点一下：为什么mod(c+d+y)就是(c+d)各位数字之和？

作者: 大脚丫 时间: 2014-8-29 14:22

喜欢发表于 2014-8-29 11:52
说得很明白。
只是那几个公式是怎么推出来的，需要详细一点才好。

没有详细写推导过程，主要是前面已经有朋友推导过了，我和前面的没有大的差异。

abcd*8889=abcd*(10000-1111)=abcd0000-abcd*1111

下面列竖式：（是个减法的竖式）

abcd0000
abcd000
   abcd00
   abcd0
      abcd
-------------------
      ABCD

与下面这个等价！
abcd0000
abcd000
   abcd00
   abcd0
      ABCD
-------------------
      abcd


排版不好弄，意思一下。转成横式，可以得出：

d=10-D
c=19-d-C=9+10-d-C=9+D-C=9-(C-D)；这里是19是因为后面已经借了一位了。
b=28-(c+d)-B=9+19-(c+d)-B=9-B+C=9-(B-C)；这里是28是因为后面已经借了两位了。
同上，a=9-(A-B)。

===================

前面我没有理解60楼的方法，他的方法出色的地方是用到了乘法的特殊性，我们其他人的方法基本上是应用加法的特殊性。他是8889*9=80001，我们是10000-1111=8889。简直就是高下立判。

作者: 黑洞的颜色 时间: 2014-9-5 03:30

喜欢发表于 2014-8-29 12:44
谢谢你说得这么详尽，我比较明白你的思路了。

不过，对那个关键点还需要你指点一下：为什么mod(c+d+y)就 ...

在这一步里

3) N = (b+c+d+y) 的个位数=mod(b+c+d+y)。

注意到y 就是c+d 的进位，比如c=8, d=9, c+d=17, 则y=1. 那么在计算N的竖式里
N = b+c+d+y 的个位数 =b+8+9+1 的个位数 =b+18 的个位数 =b+8
注意到18的个位数 8 就是 c+d 的个位数 (7) 加上进位了的 1。就是说把c+d的进位又加回来到个位数上来。

作者: loy_20002000 时间: 2017-2-8 00:06
abcd * 8889=abcd*(8888+1)=abcd*(1111*8 +1)=abcd*1111*8+abcd

示意图如下：

   abcd
x)    1111
____________
   abcd
   abcd0
   abcd00
abcd000
=       r1

x)       8
+)    abcd
____________

[(a+b+c+d)*1000+(b+c+d)*100+(c+d)*10+d]*8+a*1000+b*100+c*10+d ===

(8a+8b+8c+8d)*1000+(8b+8c+8d)*100+(8c+8d)*10+8*d+a*1000+b*100+c*10+d

【(9a+8b+8c+8d)*1000+(9b+8c+8d)*100+(9c+8d)*10+9*d=xxxxxABCD】这是公式。由于9的乘积个位数都是唯一的，从D开始可以依次得到A的数字。

例题1：xxxxx4583

9*d=xxxxx4583，d=7。仅有7，D是3。

(9c+8d)*10+9*d=(9c+56)*10+63=(9c+56)*10+6*10+3=(9c+62)*10+3,c=4。仅当4时，C是8，下同。

(9b+32+56)*100+(36+56)*10+63=(9b+88)*100+92*10+63=(9b+88)*100+983=(9b+88)*100+9*100+83
=100*(9b+97)+63,b=2

(9a+16+32+56)*1000+(18+32+56)*100+(36+56)*10+63=(9a+104)*1000+11583=(9a+104)*1000+11*1000+583
=1000*(9a+115)+683,a=1

abcd=1247

例题2：xxxxx9026，楼主例

9*d=xxxxx9026，d=4

(9a+8b+8c+32)*1000+(9b+8c+32)*100+(9c+32)*10+36

(9c+32)*10+36=xxxxx9026,(9c+32)*10+10*3+6=(9c+35)+6,c=3

(9a+8b+24+32)*1000+(9b+24+32)*100+(27+32)*10+36
=(9a+8b+56)*1000+(9b+56)*100+626

(9b+56)*100+626=(9b+56)*100+100*6+26=100*(9b+62)+26,b=2

(9a+16+56)*1000+(18+56)*100+626=(9a+72)*1000+8026=(9a+72)*1000+1000*8+26
=(9a+80)+26,a=1

abcd=1234

计算得到的原数有无穷个，abcd的原数是xxxxxabcd。

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