爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 * p; X. G* [: J5 u3 ]5 M+ F3 p

% d# d; w* _# {( X" A5 t+ n经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。5 k( P; |# z% T
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。' o7 d( `  Q! _2 W! m
* n) U2 A3 I) i$ }
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
: x9 r# A: Y* P- V2 [6 h
8 W8 e9 T0 _! D7 D! T" Y9 Z& b一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。- c- a2 L+ j' m0 e( }
1 Q5 u" N9 @- F0 W* [
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
& m4 I# X9 Y! K4 C  o; `- C$ K0 F& g& S0 v  }
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。: I! \& ~, Y3 l

" D4 r4 \3 a: h3 \8 U那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？  t# p$ A- g* B
9 I& z5 L' V" e
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。& Q" ~# c% C% Q& G# ]

$ i( w+ W3 B! z
) E& H7 K; m, |  M4 T% x1 S. Q量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 0 A( h" n! P* \# a" y
, |( ?% O% Y" g6 o: \' ~3 q
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱7 N( M. v5 Y% N

3 G, \( b4 p. L经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
; R& h& Y" l$ f8 a0 h1 q, D5 {% }1 s* z9 w- J0 u2 K
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系9 v/ {5 v) e  |

8 M3 n% c# E. }9 d. `) @6 _外行人瞎说的，别当真
2 k1 t: }. a# y* @) j
2 p4 v. r9 ?9 {& {+ }
  y4 X- M9 i+ w3 `7 V; q
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
8 i; L7 }6 i9 \这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

+ O9 a. A  ]8 y6 m# d收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
* c' S' I+ Y- Y+ k  _4 n效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~# F! j- x! q: ?3 m2 H5 ~4 W4 D
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？* a; m& i% [8 W1 j7 N9 o
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
: v! ]. O3 B1 ]( q1 h( T$ w收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
% C* W, g  i" X% ]0 M: k' b效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
; H6 m# K6 Z* L& `7 N你的意思是marginal ...

8 e% g3 \. Z* O) K2 {就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
) U% D- m0 W& v
$ m' d' S; `" G( Y$ s7 a( x这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 $ ~  g  o( h( n4 d
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
6 d0 a# g1 F' C* p" v7 X2 ~. ~6 J9 l
经济学又有点像理论物理 ...
& d0 w! h8 {1 q
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
8 w+ _! e8 M, w不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
" r% R) K) i$ I/ ~" n就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
  e$ V+ P6 z' o/ i% ?# U
+ V- p  e0 U6 M# q& f% i4 \; n这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

" D; D2 ?  W. G1 g; G. G/ a几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。$ R- x/ R: ]  o5 }8 p$ f: s
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
% N- z& L, A: I; c! O( ]几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
9 }3 ]$ [1 N) X. d; b5 k

* U7 l3 A# c/ V8 |所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 6 N/ ^; s" [3 T0 G
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
  U: b! K, Y% e+ q1 h; t2 V% \
& x! G( W3 W0 j% ?这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

6 P: {- D7 o9 M5 Q2 `0 M, n$ Q你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。; u+ J% }- G8 y) C, o+ |% [
0 S$ l9 w) J" _7 u! l1 z( R
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
' D' t4 V5 R9 P0 z8 }( y* `: _0 P0 I7 L2 o" F' h) E: ~+ Y5 N
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
' H2 l4 t' P7 J" e. O
- G+ a& s2 b8 V0 |2 k
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
0 ^8 G3 }) ]+ n( r* H: r# v3 t7 X经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱. \+ `- z$ ?% T
6 Z) O; E3 Q2 A; E
经济学又有点像理论物理 ...

$ J5 A0 ^8 A0 S9 ^5 J7 s6 Q& r经济学还能挣钱的。
0 ?4 p; `- V& z" y3 T' o3 [6 \% \  N6 f' d' b/ d* G- N

( ~1 ]1 p0 i! t" t3 ]理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
2 x$ T* u9 ~+ Z& G  E对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。( O$ @& w: t; e* M7 l. f
术语上来讲，叫calibration。9 ~/ Z+ {$ |; ~7 W) @
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
( K& [: F3 ~9 o: Q% ^! `4 n7 ?" l) J- c. |1 b, U( Y9 K
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。" J% t( c1 M) H. d
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
% M; h$ g1 l9 W9 a/ }7 P——计量的方法。  A, f/ x; t, W

7 C' N: l% h' X' I9 I7 ~计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
# ?4 ?1 A. ~7 s; I- c7 I' J4 c( i- A+ P, Y* G
下面我提几个问题，
6 j7 n: g- O- b( c9 D比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
' e- w  N$ |. }+ \再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响& @/ X/ A  Z+ x1 s* r" r
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
& W3 X4 f. _0 l这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
8 M8 s. E( v' L术语上叫做regression。5 r% J( T1 x% ~( X' k6 q
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
; c( r+ K7 n# H6 p: E- z5 u
- f2 f, c; N; W, ~最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。2 G: Q2 u  r; }/ X
每个观测到的数据之间是否是独立的。; x# a1 T+ y9 `* Q, O
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
4 r) _/ q2 R4 F* z% `这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）0 c' o! _% c. K3 v/ p: O
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
( N$ A+ i. P- J' q% ~2 \
3 W8 Z: ^: F# G于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。6 O8 y* G0 }1 ^' |2 }
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
8 `9 ^% L8 ~/ O* x# N* ^至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。2 u5 _# \0 b2 Q2 o
) \" a2 v0 f3 @" z5 x
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 8 f" A, ~: B$ J; p# K
下面就要来说说“量化”了~~
$ ~8 ]. x  \- d2 I% U0 J对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

2 V9 q, }' q. K5 E( H所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
. @% r8 i5 k/ e, X" |3 j! L效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

2 A4 b6 ^/ a+ e# L) i! a, X这个我有个模模糊糊想到的问题。6 j. p" }+ s& c1 ?- s) F3 _* }4 B! o6 S1 E

- R( s+ E- q. @' H! E5 l2 U比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。2 e+ O. }9 k. q7 z& p9 p+ _' `
& _; W2 r/ i. f! @  C. r8 Y
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
# k, B8 F' t- s4 Z7 j这个我有个模模糊糊想到的问题。
0 R4 e( m) }! @$ u" Y+ E
  w  S' \! j) n8 D/ a$ e$ Z比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
2 J+ \8 @5 b3 B
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。4 Q# K8 p0 p9 l, n& [; ^$ O
4 C/ b2 `  T: Y/ M  `6 `
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
4 g5 B2 D* w! |- x- A下面就要来说说“量化”了~~7 n9 j. w/ _3 r4 U* @" `
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

$ l# c7 H6 f( F7 z) h$ j7 {Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 4 F/ e2 C; s; V. U$ H9 S8 x6 H
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 8 s$ F9 S6 ?- l- T
这个我有个模模糊糊想到的问题。& Q* @) f+ O4 w, l, [

- m1 g$ a2 {, b% [比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
* Y! ~. u0 Y! f1 Q7 U  y' a9 w: e

/ e7 d5 z! _5 ?) k# v. d由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。( Q0 x- ^  T3 L7 ?/ c
9 ?! e% s3 @$ l* [+ `
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。" L4 L% \5 V+ i3 t2 b
2 g3 b2 q( F/ ^/ N! U& ^5 n5 X
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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