爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
) ]0 Z: A" @. ]% H( Z; i' B: L
, S' l, T" F* W7 d经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。% |& ?1 E( \& F. B: k
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
& U  g; p/ K4 a5 K+ \; p# R+ i, G# _2 {
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
& N% c. s6 ~! m
  y* C% `+ R! W0 u2 Z2 V一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。, {% |: L  G+ L  H. M0 U
+ K4 V% n7 E# }+ U
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）' g4 k+ g5 L! l# e

9 V+ b5 k5 h( [所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
; m! S3 v8 d) Z$ e# D# M) V$ t
, j9 ^0 o" C: R3 M" h7 ]那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？0 G! r2 l6 t5 ?, D# c9 i8 E, q
; l6 ^/ C* H! I' j7 c
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。/ d( I/ H9 e1 p( Z/ P  i

: w, Z3 \2 @0 ~
  S+ p# }+ N4 ~+ ~9 W5 v% Z) \+ B量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 - |3 I) D, D0 Z% V5 T1 R! U: [

6 }0 i4 A6 _8 Q/ n经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 N1 \0 o# m3 {: q; K3 t
. W! w6 m5 T& p' Z0 K9 ]
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
$ X% @" w1 r' f  N5 m) V4 p3 O7 W- R4 c7 Y+ S6 N+ ?/ Z
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系. E! Q7 Z$ G" C) X

! H% b* d3 M2 X. K; z外行人瞎说的，别当真$ Z2 a. j  i" c" Q$ b* e$ d

- I$ T, ?% T  U- J, z  {5 u  }" e) u
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
/ O9 Y) w; J, b9 }3 d* Y这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

, R& ]3 {3 U$ a: S" t收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。. e4 G' M5 ]/ l
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~- B6 R7 Y; x# F' {+ W
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？0 e5 m# m6 G7 O
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
0 S' b4 K/ `) j8 {, g5 ?收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
! D) h; k$ ]; i  G1 [+ x8 L效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
/ D+ U# A7 F/ @# t你的意思是marginal ...
8 H% [5 Z3 r3 a* X, L, `; M
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
" a! y: a7 y$ a, x: r9 Z' w0 j7 r- y# j4 v5 x- P4 ]8 W
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
& Q- q+ f/ u9 U% T' R6 c经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱$ T" M' V& ?/ y: [1 }2 v; A0 y" g6 k8 g
5 p. }( o" y; s' G5 N
经济学又有点像理论物理 ...
! {* S- [2 T& O6 K
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
7 \, ^! R3 l* v* v  R$ [9 ~不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 5 T4 w( I+ q5 [
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
; t) Z- E5 Z6 F4 e& |/ i; j  [! E# x6 M, o- `" M
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

& b1 _0 `( b+ U% d# z几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
. U4 m5 n8 s1 {* ]因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
' W* H- G) \8 C( X8 c几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
& ~0 G. E" B( c. D$ n

' R) \& p% Q0 d+ \; H: o所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
6 S" a# c% m1 S0 N就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。" I) O! q8 {! W1 ?$ d

8 z  D8 A7 w  E- `1 I这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
$ L9 R) R7 L9 h, G
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。+ P' n' X4 b" Q& ~+ k
% c( P1 L& b% s( M1 [( T& p9 N
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory) Q$ ^6 E9 g3 ~- }6 [; q

4 \- C1 \% e7 b3 b4 {3 |  f经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
3 N% @: p$ \% E5 n6 p/ G9 h0 V. _4 d2 M6 x8 _  ^6 \; J
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
4 A4 _) o1 x! f经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱' r  x2 ?5 p" b4 }$ y8 U6 m

" m# C- R9 j0 ~! h4 P6 e, u经济学又有点像理论物理 ...

3 y4 }5 m3 x: L经济学还能挣钱的。" t- C/ V/ a6 K- h- m/ }
+ u. J+ I* m0 l: S0 f, H

6 e9 G* e1 w# |9 P6 H* _理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
+ E4 U- `: {; V' s  j对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。/ o9 S" o) G# _0 i7 F3 `& i4 Q7 u: A. Q
术语上来讲，叫calibration。; L2 H* p- d0 i$ U+ S" b# f
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。' x$ }7 x- b% I" {1 l$ V5 U
3 O- L# E* e( {/ Z, ~- @( @5 L
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
- `: X& ]; @6 P/ X. c/ w那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
. p0 N% L  L/ l3 |" R8 k3 n9 B——计量的方法。/ v# Y8 z* M6 @0 j

; [( A8 m' S0 f7 x1 g9 ]: M计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。: Q* v& }! l1 V, g+ ], g
& `$ o/ |2 W, z# U
下面我提几个问题，- D8 ]% |* z4 s, j) k2 f
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
2 d1 C9 L% e( A再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
& P- v6 R+ u) o& r8 s! W: j再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
4 o. A; W* Z! V5 j; R4 L这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
" T" W! ?6 i) }2 b; P/ f3 m术语上叫做regression。% I/ z3 g* w% s/ s3 G2 ?& K  q( h
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
& {3 Z7 r5 B, D- X; b1 \+ n5 y
7 V2 }0 z* s" \* k: Y9 Y最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。8 N, V4 f! ~7 A# A
每个观测到的数据之间是否是独立的。
- S5 F+ `1 N* g: K2 ]3 C3 |比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。- L4 T' N8 I1 \( K
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
$ t" t7 P- d- w8 L" ]( _这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。7 e* m8 B. Y: O8 X  ]
0 Q. _4 L% e5 b7 K
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
" U4 S, r2 h9 A% A/ z这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
! z- r" l$ V$ F8 E0 q至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。/ k0 y* u- w" k3 R! J
0 H8 t7 c$ ~+ L! t2 u4 e, r
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 + ~3 N3 v2 z7 P  l7 ~
下面就要来说说“量化”了~~) U+ }) {( T: I
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

/ C% S8 q$ z3 L8 S* Y; D# g6 V1 b所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
' a1 I8 K5 e! W6 d+ r" k' T* t效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
. L" P! R" X0 t& p8 Q8 H5 p+ o) C
这个我有个模模糊糊想到的问题。
9 F4 x4 a- ]6 [
- S* V$ h8 M( `# q3 W# B/ k比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。! J9 ^0 l6 ~& ~/ t5 R7 j

* g5 N8 X/ E. Z5 |" ?. u这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 9 V9 @' B# Y" ]) V, v% }
这个我有个模模糊糊想到的问题。8 h6 l* x0 A( x9 ?+ V- }

; @& n/ E! v2 V: S& d比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

6 H" \& _/ ^/ e( G1 ?6 \# r0 |万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。4 x8 Y5 G, T+ Z
  n+ k2 u* q0 m! q# q6 o# a7 e
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 9 u+ L7 H) z1 G6 v) ^. n" s2 ?
下面就要来说说“量化”了~~
0 h5 W6 a: ~( T对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
0 J+ [- a8 k4 [( O' c. j
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 : b0 d( c0 e. [! W- o8 O8 Y
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
, z) {  ~" K& ]/ @, [% i这个我有个模模糊糊想到的问题。
  O+ S/ Y! s. Z; \% c% D
4 q1 n" N0 P3 O1 U* q比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

! r# @. K+ x( @9 J% o) G
& D+ {6 x. B0 P1 B; R  i由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。& a- T) {$ {" [% z  ]" P

/ O- E# w: a% M% \' D金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。) X# I; a% m$ k- ]+ G

0 }- \2 L0 P3 S1 r金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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