爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
( j. [- P( K* D( U9 G- Z. s
' N/ j4 m5 t6 p; i, Q经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。3 W8 }8 ?5 r1 m5 W1 Z/ V3 [
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。" D+ X8 q4 e& l

0 `% m# z$ \' P1 x& ~不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。, n2 I& {; B, `; C- c7 A, P
) R& d! x! |- v& b8 ~- D
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。8 u9 \  u8 S) e( M
0 b3 `" w5 i2 e1 c! _' a  c7 h
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）; h! X$ O3 ~, U5 Y1 F# R6 l3 d3 P

/ j. F% @7 F& }! C" F; m0 X! ^所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。+ M4 c6 T5 y& `* d
6 [$ M) b( U$ W* @3 e& B& i# g
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
1 q1 k3 Q4 {5 r5 g
& p7 E; f' R' f3 l问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
2 e( X" ]: h. s" r7 k
7 j! Z( \- s; \* j1 a( r
' G$ ~, _" Y: x; Y3 k$ R量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
  |( t( v8 G- e* {; c. {6 R/ y
, c# X/ W' a4 O: k经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
, |8 F/ [) `; W8 Y# V, j7 G' J9 c  a1 c+ \
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵; E6 t( x4 l/ p0 f  E
8 Q9 m2 Q1 H7 ]& U, U; O
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系2 I$ m8 y  a5 s# Y7 A# T
- H3 I2 e( k1 \+ ]
外行人瞎说的，别当真
9 _1 ~: z& T; P
0 T5 _( L& s  s0 m3 f8 w- ~+ m& D, n0 g
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
9 j8 m1 v7 }9 }" f- D8 e) x这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
3 n0 m0 n9 O% T0 a; w% |2 E$ Q; M
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。, [, P1 g% Z8 A/ m7 {% f. K
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~% D$ ?% S$ |# G* r1 [
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
5 G* b* ?/ M" e/ ]只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 - ]+ R/ ^. Z( M4 N! D  a7 E3 e
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。& h8 l2 S- G4 ]# N
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
+ f  }) R# ]: Y  g# f你的意思是marginal ...
" |7 _% q3 ~" f
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。6 O! K1 r" n" J
! k  H8 [# E/ I/ c3 c
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 + U; p: f5 i. t6 o- F) U3 D1 F1 B
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱% x9 Z& ]( h8 X# G0 [

, ^5 s" R, C& N' T# v- N经济学又有点像理论物理 ...
/ l4 U$ n, T$ M- x, R
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。4 Z' Z" _9 o2 o* C
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
+ n" D: ~7 J7 x, @2 @就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。3 B) C5 Q' d. N2 Y$ u

6 A9 F' a6 z/ _这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
5 ^4 Z, L: O5 D$ _) ^* d
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
, K6 O8 J! E) ?% F# J因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
& I% r% v8 e. ]几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
0 R; u$ ?& z& g

& g/ n" z( y1 h) X6 Q所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
- O) q5 a' D2 W* y: ?就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
/ }1 v; ~& M* U( t% |8 d& L, j
  G, u# e, h8 _( F* s0 A这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

+ S& g* }# i1 T$ M6 U+ {& `你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
( P4 |" f( t; Z: W$ l$ D% _
4 |# y9 Q- J) ]+ chttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory! t- n$ x; I6 V

7 c' y. }$ _, O经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。* ~9 s! {5 I$ h) o% X% T% N6 r

7 `2 b' e: \  ~6 T9 S) |/ g' P
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ' B" V; N8 s$ q$ p/ i
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
+ O# m$ W6 N* ]! q, ]1 {: a- m4 [
经济学又有点像理论物理 ...

3 Y& n- I6 c$ h/ p6 W7 T: L/ h经济学还能挣钱的。
! X3 b0 \$ {1 L8 `2 `, f6 o# {& c8 e

. z5 H/ U6 c  u9 _1 o理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~. }9 ]' s4 b6 p0 G, [' L5 e' G7 j
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
( j+ G' O9 R  o7 D术语上来讲，叫calibration。
' ^+ U" X2 _& Y" @" }( i怎么找呢？基本上就是来match empirical data。% A& T3 g. W; q% c0 b' f
2 g& {+ ?3 e7 }. ?) E! o" \
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。+ S# c& c. l$ J5 y$ q0 C( Q; g, A
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
4 p+ L5 l' R/ L" Y——计量的方法。: I: Y! R1 f6 d

3 t0 C$ Q/ J# e* f3 r/ m计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。4 V6 @0 @3 Q/ Q, _8 L1 q# }

+ s  P/ V% j* o* }下面我提几个问题，
3 s; O) p# H" j, M比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？$ l/ r% k* Z8 ?* {  K
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% B- _! V8 o# v0 |: n# A' @
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
0 |* \' S: ?: E这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
+ Q! E. C2 _) g# k  Q' \" m. z术语上叫做regression。8 {, ?/ U8 u# `/ I/ ?
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。/ f3 x" K8 {0 S* X* U9 R
; V+ x* @7 T- {+ E9 V5 s/ f9 a  p# n+ S
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
1 O7 K/ U0 `$ y2 e- t( @) O3 Q0 s每个观测到的数据之间是否是独立的。
: @' s1 N' @, i# x9 x+ v7 y比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
/ P5 y% t( \0 H% ]; U% ~2 |5 q: y这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）9 S: _+ v$ g$ ]: A- G
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
2 Z% U- s, c5 {, P4 J, D' [# k4 m5 @6 d- a( s
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
9 H  s- ]( n- C8 a; R5 @' S6 v  a5 B这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
3 P# p: ~/ `8 [$ l2 R! H9 i至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
. |! u7 ^. @, c( j) A! F- ]( V! h- D" j* X% A
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
$ _- K5 K% |( s- M" p/ C$ n下面就要来说说“量化”了~~# n2 I5 H4 F. }8 [# m9 G
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
0 R7 y) o0 t6 W3 T; q
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
6 X3 H8 S, ^6 F0 n* Z1 z效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

' E; W2 q, T( [/ v. V' k2 m/ {这个我有个模模糊糊想到的问题。
, ~5 S* r0 w/ g) m+ N4 }" Z8 C- K3 d1 p% n2 E# N8 D) ~
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。3 E* X" d, f. s! ~

. U$ [) L7 F  ]% V% o4 G这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 / J" k1 H; F) d
这个我有个模模糊糊想到的问题。0 C# v! d. Q8 ~! v/ l# y( L( l
( J: C& A9 A: o, _' \/ J; h
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
0 @4 I6 Z( C0 k7 H
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。& g0 Y# F$ P  k

/ T( C4 F2 w7 o- ^. @  F多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ! D, J4 p' `+ r* `7 l
下面就要来说说“量化”了~~% z4 p% ]) l3 Y' W$ x
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
4 s4 B1 _! T1 W1 v7 E6 d
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
4 d9 v  h) _) g8 c! Q" _* M; z& }
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
$ b$ P; r5 q' k9 c这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ P/ e# Z* W7 L9 ^. W: a- h4 B3 m7 U  j9 U" w
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
1 M0 i# b5 Z5 ?7 H9 M: F
6 C8 a; y8 r/ W1 v, M9 v4 \
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。+ H8 g4 E; P3 A- T  j, l

) G* u0 z; c% d* M& ~1 M2 R. k, X% ]金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
& c; o% x7 a5 y$ O, A  r, O; x  t; v$ p( J; c$ |/ z
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
  I# n/ a8 j& E9 e8 J% }) a5 ?4 i! l1 p& b: L  r1 C




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