爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
, y2 U; G2 H$ M+ B9 H6 t, m/ ]8 h/ I$ ~' `' b# \- }. B
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
6 X; W# ^- s% {& H3 V7 ]' L$ O. J* Q& h# l大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。4 B1 {9 L4 y- x
$ A; U" V& o  ?1 i* t2 Q- f3 }
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
+ D! x# b, @: H& d2 ]" x. |0 A% h: F- x
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
7 M, Q, F1 g- n
. n# p; S* q/ y3 i% X9 d这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）8 ]& g. j7 R3 z% o

4 U- r! X7 N0 J8 g  X2 o* m所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
% I! [& t$ }( w) P. a, j) g0 u
% Q2 A$ t) |( ^6 V1 |那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
. J9 u: Q& ^7 l2 m* x
* i8 Z( S7 G) d9 ?' y问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。- u, h3 S% e. Q) U

4 F4 D- j6 I1 c1 r  i7 R: O5 s) t& y. T3 A7 n8 G6 C" {
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 4 ?2 a2 X; A% b* g6 ^( ?# g
1 ?( P. N7 W/ h
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 x+ a+ A* n0 f) n( C/ H
; H9 y( o. L3 C& F& j1 ?1 u
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
3 B! k0 j* s7 k- k/ B. ]+ T  ?: a8 G7 ]: e8 C$ p
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
4 b( A& {* O8 F: z: N( }; M! d' \% t9 P2 f( u$ t+ ^
外行人瞎说的，别当真3 _- [+ p) }, k4 y2 q: p

* ?/ G/ W; f! T! s3 @5 v! M/ [6 a( b0 c" l5 u  `( O* S% \2 D
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
3 U  J& `7 G  J$ c5 `! }这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

0 a$ `4 w' X2 o" u, s收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。. @! m1 z0 q7 u5 s( r7 w# `
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~0 l+ q2 P0 ?- A. ?$ C5 P2 W
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
: V" y: s; J2 r6 l5 D. f7 E  i只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 : ?# r! h+ t# ]- U8 x
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
) `6 z* b0 |. y" f4 A) A8 n效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~' F) E* ^/ A* t" I. Q  \
你的意思是marginal ...

* s$ r5 n5 c5 Y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。- w. i9 p- F3 T- U, w$ }, G

$ S% C1 G% q  l: [* X/ q; j) N- G这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
1 d5 J. \5 {6 k. K8 K1 y经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
8 E. ~; k8 z& g7 \4 B# ?9 P$ |) k7 T5 |
经济学又有点像理论物理 ...

3 m2 E& C- |, }嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。) Q- D4 u: X4 d# ]' s
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
! o  z0 {1 _. M* `9 t就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。5 Y; K- c# @) I/ P7 Q
9 Q/ ]2 l- i) L$ ?; @7 T; @/ d4 P) D
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
5 B* q" ^! _" M6 m/ j! d0 A
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。% w9 |/ m1 d/ k8 |' J7 x
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
- g- ]( x1 @  A' w) Z# m$ i# u7 E几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

# a6 ^8 d3 R+ `+ x% ~$ m6 W9 r3 z; @- g. V
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 & V9 L1 S9 v" R  o% g( r
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
2 h6 I% w9 q- L! C* h9 @, B4 e' y$ S' B" ~- A/ g
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
% r3 ^4 F7 V3 D; @- o
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。3 J5 V5 Y, l8 |( _' S: I4 R

7 Z8 V% R; F: @http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory- H, f1 j: ~" e! @7 u, V
, \+ N0 ~, O7 y% d- J( R7 t- Y
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
9 l  @, s6 y" }  U5 S7 N2 P2 _  y( y( V$ `
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
  j# l8 I0 ]7 x! V经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
4 ^* ~6 r$ T& c) O
* S9 b! x, Y2 C5 A经济学又有点像理论物理 ...

) k0 V7 ?  K# E0 T7 `7 }经济学还能挣钱的。
$ q3 p5 P% _; l, n
9 ~- B' y; P9 S0 P0 w4 Y' \) o/ G2 k5 G$ h2 t
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
8 ?" a7 m& r: z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
' c# q% l! j+ J& `* ^3 m4 d1 b% j术语上来讲，叫calibration。
) P$ x* ^$ Q! G+ F! @7 d* @+ H怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
% m. G* U0 u' o* X3 ?! ^4 o0 w9 D  Y/ p
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。0 Q( i8 y! z9 o7 N  ^
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
1 Q  a) K: V3 A8 W8 P. }- c' I——计量的方法。5 {' R% ]4 \4 C
# C0 u/ s0 ?/ \) `3 O
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。) g$ }6 f/ H& n4 p

. @7 f8 G+ u- z. ~下面我提几个问题，
1 R  s" y. j! Q; a* l/ ^比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
! [$ \) O- J3 D6 j5 F# e5 {4 _" O8 G再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响" X4 |* Q0 H4 }
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
8 S+ y$ X1 l5 k8 ]- z这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
( E4 A& i2 Z5 M- O术语上叫做regression。% p2 y- U5 u/ Y! a/ `( Z
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
  s" @# R7 t7 J8 Q& b( C1 U/ x
) E5 W. |6 G& T8 A" G) m8 R. S最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。: S: c2 F  G5 ^/ v4 q2 r) p% O
每个观测到的数据之间是否是独立的。
9 y, h' {9 g  ]8 \3 b; a比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。3 Z/ z9 j$ x1 c* y
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）3 G. F1 r1 s4 u
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。9 t% ]& J! s9 E
8 h" J8 ^' y$ |; O  F
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
: I/ P) }1 _, M  Q1 ^1 O这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
( A5 ]- \* f; p* k% A至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
! n- V& U  g( J$ W& {' S3 S2 O- Y7 R" ?" ]3 F7 r
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
$ o' Q2 w  L! h" d下面就要来说说“量化”了~~
; \% \9 u% H7 L! A4 Y% u2 p1 E对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
: ?% P* |& p% ~) `
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
: Y9 p7 f5 F9 \+ E+ T0 E; o效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

6 o3 g# Q, G' h, b* g" y' I( }这个我有个模模糊糊想到的问题。2 m9 C: _+ h+ K& R  [
$ ~! y' T3 p" G, D! N! Y
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
! \% s6 i. P6 K3 ~
  r0 |8 Z* O5 \/ A( K这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 5 z' O: m# K  y: L0 `, V0 l
这个我有个模模糊糊想到的问题。7 U) W' n8 \8 F* F) s% K

7 h! Z, Z- A; {' `比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
( M/ p4 B/ j( A) g
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
, C" z1 }" W$ m" ?  E! o* D
) d; H5 z: ^; i' I/ Y* R多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
1 Y" W/ D$ L0 @  v! o下面就要来说说“量化”了~~3 v# H# H3 s% i8 w9 K
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
: r- c, G" F& P& ~
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
8 p# W* {# o. l5 g4 u
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 0 p; J$ W% R3 e. D
这个我有个模模糊糊想到的问题。
: z" y9 V1 L* `/ w" ^/ G
# p2 S1 C! G9 y; |: `  b$ z比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

' k& \) {* u+ ?8 b3 z8 e
4 b; i9 K$ B( X0 u0 w; t4 p由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。. E$ g! j& X) ~) E  k, y
0 p# o( ?! V: A! ?$ ]! _0 @
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
3 c  x& K) S; B( k$ K8 U+ q5 \7 |& G. A6 C
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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