爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 9 L; H4 V8 r# |* j2 V+ Y9 D$ \

& T" H8 Z4 |: |' r! y" P经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
1 ]2 u# J6 K9 _$ ~# w1 Q大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。6 f* h, V- W5 t# k$ y' O
! T( s- E, j" V. w1 K% b
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。* c" l$ s# ^: r6 T$ V& p/ T

( _$ l( f; l- ]0 p+ E0 ^5 t$ n一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。  Y# D/ l* z4 s% J; G  ^

8 P4 O; N4 G4 @: v* O* h1 v这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
5 F! h1 \* |# K) p8 C* A
& R- g+ z0 o4 F5 `: n! ?" ^所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
" ]1 i" E8 z  Z( Y
  v( t5 e/ j5 ?4 }- L那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？$ E# o1 W/ C4 Z" f  g& P

( A0 j5 g: e2 o, ~0 c问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
. m: |7 K  V2 v: q# ]$ W, F& h: y0 @1 Q; m0 h4 J' Q

. T, f9 s1 p% z0 v' ?9 T. J量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 : M0 W) b8 ]" h8 e3 D& b, b% M6 G3 ~) `

; |  J; v; k; j5 W4 Z, A+ l$ }经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
4 R: R  y+ h. [1 u4 L9 G  v
: H3 X8 I' W' Y5 J. M9 Q) L7 P经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
8 @% I' {0 K6 A7 f. ]$ O
* S1 |; I4 b% j# Q; t2 z理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系& T: E; J# e; C. u9 I
5 p6 d3 I$ Z9 @; g0 X0 t6 m
外行人瞎说的，别当真
" e) A: h) }6 V" z# k' z
, z7 v1 ]9 S) x5 Z0 D+ P3 i: V6 }8 o
; r' h9 X2 [+ P, A, l( R2 F6 W
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
* x+ @8 E8 A( t. N这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

$ ~# `) p3 E& t% E% R2 k收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。; ^2 O' ?  e  l/ t% x: C% J3 L
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~% ?5 q5 R# W2 E8 e! _
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？5 m, @8 k  t0 |( c
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
* `- k% p& d" `9 {, {& P' ]收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。" i7 d; M' T2 |2 H7 ~  J
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~4 C$ A" _3 F: r9 N- A. ]1 n
你的意思是marginal ...

( f. M( s& ~2 Q! ?) r% u就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
2 L1 \* Q! W# u+ Y$ _: K; w
! C. T. I+ d2 {这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 * |1 P, {' c" Z$ a! J- E  U. m8 I
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱4 T) N. a# C3 W$ @1 H
6 l0 P) Q9 W9 D( w* x
经济学又有点像理论物理 ...

6 V, j# i3 o+ P' n嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
( ?2 k+ `' M! t/ @( ]7 P1 |不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
! |: g% f+ j3 R- w( \& _就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。6 K' f+ l' @4 M

- W; L6 Y, Y$ U7 `3 I' f) Y' B7 O这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

. J& z* Q( B; n* z7 X几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
6 N2 c/ J/ S9 F因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 7 h# Y9 A4 g: v- S
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

5 q# V  {9 j8 [6 @' N# c) n' s8 n! X& C- f2 j0 R- n0 R6 F
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 $ R% t9 w( n+ r6 T
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
  p! n/ N1 O3 J1 w& e
4 U0 C9 o, b4 N  w. }/ m这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

* |3 ?  r) r5 D$ D  v0 r4 o你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。/ j) G7 Z. i3 w0 L7 ~
3 D. i+ p# n& z9 c' W4 p! z2 H
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory) |7 ?& C( X: `. j6 B

, z1 A7 S+ v: e0 R经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
( u) x% P: v6 C% D" ]% y
4 s, F& `3 E2 E+ h  F
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 9 Q2 [( N6 F, Y: x- m
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱5 I, {( q& W- O/ g" R

9 }2 W# L, i0 P0 l$ s经济学又有点像理论物理 ...

& F1 y/ E3 z5 H- i1 s$ h1 s经济学还能挣钱的。+ ~% z. Y. y" w9 i3 a+ g: ^0 D) O: f

0 H+ k! Q2 L, a/ v) K4 B7 R3 e5 |* l+ L9 ?3 @
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~) R1 R+ S& Q2 D4 H6 N( m
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。9 H; @8 n/ k, W5 A; \
术语上来讲，叫calibration。
' ~2 [% A0 G1 |% y怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
! E9 z$ p/ j! R9 ]0 r4 _, J5 J( P  u6 @
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。( r  k, Q: k& B4 i5 [1 h6 m) D4 a" D
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
" \3 l. C& o. y——计量的方法。0 ~& Y* U- o9 U" B% q/ z% C( N

7 L! j& h  w* m2 b, [计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。  G" j' d/ N: a- F/ Y, t1 |% e
9 S* `2 A/ L" o) z: t$ ]: Y# k
下面我提几个问题，% U! V) ]& M. ^# k
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？, a, a# ~0 x7 a; O& X  Q5 E
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% c) Y# ~8 S8 L2 y" C% R! U
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
6 h, \4 P& h) h% s这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。6 {- g" Q  j: F/ _5 S
术语上叫做regression。
6 S9 Y) n/ d1 _; @- L; C: s, }而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
- F& x, X1 M& |3 \8 w8 y" `1 y3 P$ |2 C  T; s% }# {* d- v4 _
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
) \) K1 ^8 _7 K' [; C- X每个观测到的数据之间是否是独立的。
; l# y* Y+ ?2 H" {; J比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。* ^9 ]1 v2 `2 ]
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）7 a/ `( D- T; R8 r
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。4 ^8 v! n& k: O% j: [6 B. u

, f2 U" s: h/ \0 Q: P5 s$ n: B- T于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。" A( N3 d6 O& \  S* Q* m
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，" ~- n6 J/ s/ f0 N- L2 O
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。9 F; f9 s: E1 q0 U; Y
3 x5 U/ X0 H2 I" V7 b7 X5 C
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
3 l0 r( n9 b' R下面就要来说说“量化”了~~; A5 z% A0 [5 |
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

- ~. n8 i- w) y) c! \所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
: d0 F" L4 z& ~$ w3 L, J效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

- D9 |# o& i9 o4 m& D- y9 h! P* l这个我有个模模糊糊想到的问题。* ?5 K0 x& `+ k/ s8 c. I
& ]' |& w! W! R$ B- f5 J( F
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
3 S, Z  r) z3 \) n: f/ d; H2 e; Z8 X6 b& W7 ~! q5 a# s* J( A1 e
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
! Y. S; B2 Q% o4 C& Q9 x! \8 s& d这个我有个模模糊糊想到的问题。( X( l) h' l6 |: S

- l+ D2 {; P+ Q  a比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
/ t* C, |5 _1 K- e' p
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  q& t: q1 K# z0 d- Y5 g

* L& H. L9 h( Q7 B( p5 |1 z4 F6 {( ]多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 % h7 H. r$ ~4 j% D$ x
下面就要来说说“量化”了~~& ~+ d* V1 d# z$ W$ W2 k; l
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

- ]3 n; N+ R: A& n  eCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
& n  `) ~, x' j* R
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
2 ]) ~) i# G! R9 k$ {8 o" ~6 H这个我有个模模糊糊想到的问题。
) k& B8 ]2 s& }- b7 S1 C- ^
% _" m  b0 I+ O5 d# h/ ^6 ]- b比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

; @& q6 U* [) c2 ^3 B( j7 ]% R1 s9 ?( D% }4 M
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
6 \- ]+ z" a" ?. r
: G$ ^4 O8 s" R7 l2 ?金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
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金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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