爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
5 g2 q3 ?& p' |7 D5 t+ {3 k6 u- I
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
" U0 u. o# F+ b% L4 c大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。! ]+ i3 ^  W  ^* A

3 P( _* _2 n2 u不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
  \& }, I6 H9 }, }0 o! K8 \1 O
% w2 F+ B5 x% U  l* A一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。- o! z# A3 `4 I( H$ R

% `1 V4 v, [! s这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）3 _4 r% \; o6 @. t1 |

7 J' D7 o" n5 M- O% O8 k( q所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。8 w! m4 o8 q+ [1 l

3 e9 x1 m! o9 S+ f: P  T那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
- q3 K6 Q: D7 m3 Q* G/ S# I! @4 f+ k! y9 J0 s, P  C6 u
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。% x4 @9 m- c* S& x4 V' ]9 E# A

+ N. k& \- |& M7 y0 ?  ?
- q! f: a5 y) \  h量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
' F& {! V# P1 \& l6 L4 a' v, P
0 p6 f1 ^  t+ X. U经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
7 D6 z: K$ W, p7 V) y) x
, l0 N* ~6 ^! o经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
4 d% a2 p' z5 u9 ~) M8 P9 n3 w$ p# K! t1 X2 |0 Z( x5 V
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系) v5 j) ]' h- H0 G& o3 g

3 y0 J; c. D6 ]% |3 ~1 s6 ~外行人瞎说的，别当真8 D0 x  Q$ o' f$ u4 L6 T
" F1 q0 \1 ^; X/ m
* E* w$ g1 c2 K( V' s! w
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
+ ~: G4 Q8 N; f; {3 R这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

; E" t4 G. E% D收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。; ?& G) ]: ^! l/ G4 M" h0 G& b
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
, w! t2 b$ P! h5 X+ A& S" ?" f9 m) c你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？$ F# y  ~4 G  v9 u, M+ T
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
$ s3 X8 q0 B# s9 v, ]收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
( Z; D2 d% S% `7 }6 g效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
- o( l& |- J+ L; f8 N, \' _  t你的意思是marginal ...
# D0 g! ?0 G. k) D: @2 b
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
* l1 H4 E; @" k" l
/ y- s9 @3 l! B3 H这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 # v$ w. v8 g  H/ }0 {1 Q" s
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
2 J0 z7 b2 e, n% J
. k/ f( @8 A. L; }2 a- i经济学又有点像理论物理 ...

, C( M) T8 j  c3 V! a! B嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。" }7 T4 {3 @# ?" k$ a* I; k* |
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 * X8 ?- ?7 ~, s' L7 `# V2 I
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。  O8 K% \- E7 [0 V6 |
, O7 }3 C& @+ ~7 n4 d( A
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

& i8 h' r6 b; Z* ^# A+ l4 r几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
; a) B# B* C' C4 o因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
7 O6 b$ z: d. S1 L- s几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
. ~" d% V9 S/ q/ x
) V8 |+ [( [" b0 {, ~7 R
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 , T# b5 p0 s* a) b/ w/ ?: M
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
# h4 q! L+ ^! O3 _& N9 }: g, D6 A6 W- h- y$ o; U
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

6 P+ [5 f  A7 ^8 I7 L' a6 ]3 K' w- G. v你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。+ \# j! u0 G1 L6 r( J

: M8 d# a$ {3 J$ n% ~http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory  a1 r. k, r( x6 {& ]1 v9 B- ?/ v; h

  G+ _6 Z$ M$ O/ h; v- W- I经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。, B3 U* F! o; @8 Z
, B( N. O  ^6 L, H, _8 Y
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ! f! [1 V( _" j6 ?
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
6 l$ \8 g, v3 \0 ^$ V/ O% D, {$ X8 i- h. @2 K+ v) R- ~
经济学又有点像理论物理 ...
7 ^* f, F% F' E, }: c, Q
经济学还能挣钱的。  k/ L% r% X6 `5 h, h/ _
" P+ q# S, D2 G0 a" T* Y2 K+ B
& j6 g7 i. H. G  F0 h( [7 h/ w
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
0 l* X$ o8 _  S6 e/ v, T* R对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。. Y6 @2 O& o  g: b% @8 P
术语上来讲，叫calibration。& |( J! m% x6 c7 o, ?& @( ?
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
5 V$ |5 {5 ]. r. i* [
0 O, v1 ~) |) U2 o上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
9 N  D/ E8 r: \0 v' V那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。* m- u, U" ?! c+ N7 [4 n
——计量的方法。
# s+ N- X5 `0 B. W+ y' _  _' r8 d1 k; m  A% C; y
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
3 w2 s/ f' [' i- a! Q! U; ?( r
& J+ j" C5 _# R; Q- v1 J/ }下面我提几个问题，
# y# ~, r, U  W2 Q7 _6 S比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？! R0 |: t7 X& `- \5 d
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响+ {1 `+ Z$ S) t3 I8 |  Z
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？8 M6 I5 A7 {/ F. P& p' S
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
" l5 N  y; e! f, l( _* t  z6 q术语上叫做regression。
, h6 h- y6 Z) Y) \; ?6 ]0 B% ^而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
8 V6 d8 r  T5 w. j, F/ B# j, h
4 R  g/ L/ N  X+ a- L& X# F最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。+ k* @& R* s: w1 K) H
每个观测到的数据之间是否是独立的。) d: j8 J5 }0 U2 q; T* s
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。4 J$ _, x5 y! G: A
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）' V; J, [6 q0 F% V. q
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。6 Q2 ]7 R1 I: Q/ G/ }8 a

- R% J7 ~/ F+ ]5 v7 A8 b于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。* z6 C- b7 a) o% D4 K
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，3 |$ R8 e  J* S  h+ a
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。) b+ \4 t8 W: [" ~0 l. ~% k: U
* z9 y; U% [% H0 a; l
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 $ B9 O+ ?) |* E5 g8 t3 L% Y9 C
下面就要来说说“量化”了~~6 e4 m$ q- L5 M  L- I* @
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
" \' ?* M6 y  T3 p% }
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
' ]7 X- i; e! M' P* A0 \0 c效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

- Q. e0 X1 z2 Y. M6 e这个我有个模模糊糊想到的问题。
! K) Z8 ]! A8 t# M3 V# E( k7 k% o  d! v9 _% }4 w
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
9 a3 x9 x8 X) L( b& `
# r$ [* p0 a! W这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
* F7 g% ^3 i& W8 k: c, t- g这个我有个模模糊糊想到的问题。
8 D  h/ m+ C1 {- }
# t1 R9 W/ v- m6 p: U* Q比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
8 c5 k* V* R6 X+ W
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
  q2 x5 g9 O8 q% ~% e  {; s5 n  A  x+ Y" D# j
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 6 k2 l: p: w& ^
下面就要来说说“量化”了~~
. i! N; v7 V2 w对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

# N, e: E0 `# D6 x& D; xCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 8 f1 o9 b$ z6 c0 Y7 w- e' f
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
# r7 [" B2 x3 n' D: {这个我有个模模糊糊想到的问题。2 a& O) V6 C( r2 V. t( z$ h

- K0 W9 X% o. k# F" M比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

2 j& n& y, c8 M2 w  c
& ^! s7 V6 d+ I) r6 O由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
3 F4 C) Z( K4 X7 \
* V2 i" b' j2 q$ J8 u金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。6 S2 p. ~: _7 S0 h: u1 m* |% W
# j$ v, u! R+ ?6 G' {9 _
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。" P* J9 G5 V& v, A
9 ?8 A" p1 [5 e* |, y




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