爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义(已更新) [打印本页]

作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义(已更新)
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
0 z, i4 {$ o, C. v9 [( a0 y: g' f
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。+ g$ E* Y% _* w
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。6 j, _% T4 i9 L- n/ Q/ j7 @+ @
2 k+ T+ x+ b) O4 |/ }( n
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。( ?. \" @+ R: C" ]! O

1 ]! U& N7 |  |/ {$ V$ l) I一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
  O' w% f, d) {
7 H& ~9 e% {6 n2 |) F! u5 R这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
0 r) {; L1 a  e3 T
2 D; y, p+ R5 ^4 \. I! e所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。+ t* F4 w' F' u- T4 K, B1 Z
+ c& e# V& z1 ^1 l
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?  O( X. U7 P& V$ i3 W% m5 G
) I) g( N9 d. d' G
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。& G  E, j& N! V3 m6 \# q' u! e: V5 x

! n" ?% i& i4 [" `3 g; \" @1 S5 H+ Q
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
2 Q: i/ k7 G3 ~8 ?% \3 X$ y# o2 t1 y( q( c5 x8 z8 |& ]
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱. i4 r! @0 g6 K: {% }! r

/ B4 z' }$ y* k经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵1 O1 B8 j. Q! l
* Q1 }/ ^- X% X; Y9 w$ y* A
理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
, P# C( @! O* J; p, u, u2 Y6 {0 q' E0 i) t1 f, A, H
外行人瞎说的,别当真
- f9 h  x. P; Y; E; f( U" U) c" s4 s# T6 j

7 u& P; F3 O0 ]
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 , b8 e$ \$ V: c& L7 v6 f
这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
. o8 f: Q& J" d. `4 ^& h% S
收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。  S5 I: Z4 k7 {) t5 o
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~+ m$ |# T+ B# ^8 w- X$ D+ K, _
你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?! J- e& X; y/ N. m' p
只要是不连续的函数,都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
* ?& o4 N( v! w' b4 ^! [% k" F8 |5 j/ a收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。4 b  [0 W6 b) n* L- ^4 w8 S& O
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
9 z+ n$ G% Y: z( ^你的意思是marginal ...
& H/ f7 M4 R8 ?0 z9 v9 \
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。2 u7 p5 R5 G+ J$ ?* G4 R
3 X# ~* M# X* W
这种处处不可导的utility function真的用的多么?
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
- I( H; e! k, e9 J经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱8 r( P" A1 s" _8 g. p( q
. A. ^' k3 R1 Z- F
经济学又有点像理论物理 ...

7 U7 Z; q$ C% L0 E嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。: n) d9 P, I" X
不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 , G( H9 T) K- u: @' D
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。! E$ Z/ w! h: g% r6 `
2 p' U) Z1 Z# \8 l# X1 i
这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

& b" w4 r4 T: k几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
- F# W, ^4 C$ d因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 $ w" O) E3 \! x4 {. J, K! s
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
- R+ j- Y' I( w7 Q* G
9 f3 c4 r0 g( k& k+ r
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
! Q; l+ H+ f/ R2 p8 \8 i6 }- T3 p! P就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
$ L% N; W* d* n' G
0 |" z5 ~' \& ]& z1 _这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

/ [; t6 `, j! k. O' e8 t你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。3 B2 j: s. E8 ?; {0 M
4 ~* `6 P. A* ^4 q0 f8 r
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory7 `* r- r0 d- Q+ ?. q

7 u6 o5 l8 t  n经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
9 _9 ]. c+ G2 J
3 C  y2 A; P5 R9 u
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 3 ]3 ^" f3 r: G2 e/ ^- t( x
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
% j2 S, H! O3 O5 h, Q3 M9 E: l. \. T( ~7 X5 H) m0 X
经济学又有点像理论物理 ...
% ^$ N/ _; J6 t, V9 n, G
经济学还能挣钱的。
* l5 o3 q- Y2 {8 |% p1 _
. G! N8 a$ J: [3 M# \; H' r0 T, m
理论物理真中枪,只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~, f9 J5 ~& U$ V0 B% O
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。
  [$ T; j% c2 y+ g5 i0 G" G; b术语上来讲,叫calibration。
  k5 F  q" c# a1 ~7 o- c1 l怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
& ]. T( }: ^* p
+ x8 \( o0 S5 u, {( c上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。2 G, v2 p/ Q- A2 e% x
那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。
& [" A) _+ ^5 z' ]3 U- M+ `——计量的方法。
+ g2 j' j3 z9 h! P" x: y" N0 r) N. e! I; f* w
计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。
1 n* r# f- S6 a+ K! i# k
% b. y  B6 ^9 w& G  H下面我提几个问题,
& Y+ u3 D! H' x/ E; l比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?2 c4 u6 y* k& v' \8 S; a
再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响1 T5 ^0 O; C; E- J) w' C) m+ _
再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?& h) c3 w- t: D( D9 r
这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
# s8 T1 ?5 y: u( Y& b/ ]' f术语上叫做regression。) J. g$ k: O; G# l' j! i
而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。2 n1 x5 ]! d4 g) N+ J

, Q8 \1 K& S, v) W: w最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
" k0 n' Q5 a3 h4 ^8 b每个观测到的数据之间是否是独立的。, H2 v! m2 [+ ^, B
比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。* J$ N% g( c! w$ x9 w6 R
这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)/ K( T9 Z, L# r" U
这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。
* D9 K% a" l$ U5 c: l4 z
: U! N- O/ }" j0 w于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。& z4 Z% P2 G6 c  I
这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
7 a- d7 p2 }1 s* f+ L9 j8 L/ E9 o9 z至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。; B* S: c: k0 ]8 l
% k" Y: `; t# N# i- w( V
经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
" f+ n$ L4 _8 Z下面就要来说说“量化”了~~
6 l: T  [: f$ ^2 [/ i! }2 H对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

8 p% j- O1 R$ ]3 s: w' h2 X所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ; I7 [7 A. K. M1 V8 n) ^
效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

+ C  W0 D6 n& d这个我有个模模糊糊想到的问题。/ N) o! R. p3 W; x$ Z- w+ d
8 ~/ x3 |8 U1 |3 S/ |  X
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
* c4 _& i4 x# O; I5 H1 }5 l' f( {9 Q( p- k8 H& `; ^) S- a8 R8 l$ r# X
这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
1 q% k8 L! _9 ]. P+ V' [这个我有个模模糊糊想到的问题。. }$ s( M8 D* m3 g8 E5 @, x

* Y( U, @% N( @. M( _& G比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
! f* Y, V7 u/ m  x$ {
万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。6 \: o2 C! `3 m7 c/ z9 s
6 [; m) K5 x4 I' z" s
多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ' o8 S4 j1 |: y* w
下面就要来说说“量化”了~~
( [4 o2 S! d& Z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
, H; D' o% \+ S, N, k; v
Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
% t  w4 n- [) v# C. N
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 * X# p" L. K+ U* P+ H/ d( \
这个我有个模模糊糊想到的问题。
6 v. O" ^# p$ q3 c4 ]% z) C# G* L! D. `
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
( O: `4 n! ~7 \8 X! K

1 y0 w0 O9 P$ Z: R; v由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
- I, M( Q  l: [  K( ?- S, G. N$ G# ?1 Z( f* A2 o  ^8 k( y
金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。! a: e) ^- F. M3 r- C
7 {, e, U2 `( D
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
2 V, f, i4 [: N% E0 t7 z5 L# a2 {! ^6 d! u* V5 l% x) N7 h% S





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