爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 . t/ \. I: K3 `2 X  v2 |

  `1 U; w8 p6 N8 i4 p经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
3 t% `8 j3 z4 A7 h) s! @大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
9 ]. L" z+ j6 }. G3 q, M, F( p0 C2 X
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。( v1 h4 n" ?0 l* {
( P2 ?& U( r+ o$ x
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
/ B4 t8 D/ g- A) k& [3 F) `. f6 {4 i9 \2 e# C) v
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）4 Q# P% W1 t* H$ X1 s5 t

4 T& x" z" F& q7 w( A0 F7 d1 ^2 S所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。, f8 @( k& P) L' E0 P5 c( p' k$ f
7 W2 J1 x4 v7 j7 M, t/ ]2 R* l9 k
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？: U- Z6 Q2 Q/ B) |. k
2 ^) V  V* V% h# ]4 u
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。9 |- [0 n& ^$ k  p

; w. u6 T4 Q7 {" ]2 _$ ^6 `
4 w; g0 k( T& m; m量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑   F0 V9 {. Y1 t& Q; e- G
  c4 k# y- \/ `1 _( G
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱- m7 D6 T8 p$ D& I. w6 [  i, Y
% p+ {9 a% c6 X& T  A" E- C9 m. c
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
9 Z# ]- b0 {& C
- G$ j! ?; l! Q& e, c( @理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
& L2 w# a: k$ Y4 w. L, o) V3 Q' Y0 b5 p, d1 ^
外行人瞎说的，别当真2 u. w) w0 J% }; |6 J

9 ]/ c4 `( k, l/ N) h& x- m, J# T- K8 [# P/ h" s
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 # ?1 Z$ U6 W" h7 e9 R
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

$ D& q* ~' o( \$ Y9 ]收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。' I  k, c# O2 @
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~( g0 `; N8 [! I6 @
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
$ M: M7 ^5 d! q2 Q* v5 c只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
% j  {7 \* P, b收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
) o' J+ A6 L9 R* y  V- u7 H6 |+ e效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
, D1 m6 D5 @, z: W6 i# |你的意思是marginal ...
- K3 L7 r2 q: L: o" b2 C
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。5 u! \: I) J9 Y  S9 |' R. c; @9 o
  E" |, b, k" F" J; k% a
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 % X5 K8 J$ F+ r1 c- ?9 Z
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱* [4 X" l1 M; F

5 |1 Z# _" {, w8 P9 J8 ?经济学又有点像理论物理 ...

* }9 y/ |6 P5 Q4 I嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。5 w! ^; c* q6 J+ E3 M+ ]0 A: B* W
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
" y; o+ v+ v9 o, Y6 j3 B就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
" K: g' B  B9 b$ y1 q
! V) L1 c6 V' k2 O# Z. v这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

; k/ l1 b2 U# f0 S: z4 V几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
1 Q! ]9 G" N- A7 a7 X1 s因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 + v: B. l+ h2 A
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

2 x/ Z: Y0 P" x, H% |: J* Z8 x
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
4 @* @9 y9 v1 U# L就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
9 I5 e6 p" A3 z3 h/ T
7 o$ U8 ~5 G) }4 L7 T6 e9 j这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

  a% _  Y9 }$ s% _7 z+ ~& b* A你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
3 G; B0 `! T3 h/ o$ q# Y5 N
( z+ U8 @* X+ e; O, Rhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
+ P8 l# e1 v: ^9 d0 `, g/ O; v3 W8 W, @" t7 }
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。* U9 ], Q5 i( M5 u

; a- z' v- y0 x6 S; k: l' H
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 - T! h& U/ u6 O9 t0 g* x
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- t, s# i6 K( y% j
2 v1 b9 [* x& _. U经济学又有点像理论物理 ...
  b4 R0 ?5 R$ Q' X
经济学还能挣钱的。0 U- W' |: q  w) f
! V" `% W$ ?7 S" l$ r. {

* x- W9 x  ?/ p7 i0 A理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~4 U3 N) ^# k" X( |
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
& u& \7 D' u7 Z7 d3 K9 n术语上来讲，叫calibration。
6 B: F' v9 u  Z! y! r; x6 }怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
. D( _" u  N7 g% Z, l. b9 t# G2 C  F% u. l, ~, x0 A: u
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
  G& ^$ ]: Q( A' ]' s那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。3 D3 ~" g% w- R6 z& ~
——计量的方法。
3 |8 A* |0 p9 X7 j! |
5 Q7 s# h9 p. o! R! \* o* U+ e: I计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。- I) |. e% J- s0 K  l8 i
) N+ \- o5 @# E
下面我提几个问题，5 v- o0 I$ c; d7 V' [, E
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？  R3 I$ O1 X0 ^* z* c; v1 U$ P- e
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响. d# D0 o2 k7 B/ U, Q1 s
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
7 F3 b+ V8 \0 Y& |3 F9 n这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。( i6 M7 u" I8 `3 S# B
术语上叫做regression。
5 @% x$ {: t0 Y$ ^  o* v而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。) b8 ?& P4 l, ~
7 \' K. M) L3 t1 C. o
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。4 L4 j- {% W- U- Z9 N9 x% i
每个观测到的数据之间是否是独立的。: d1 M2 a/ f) x  Q; y
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
7 V3 ?: V$ x8 S( ^+ q" y: b% f这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）2 h: D- y" Y; D' C
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。# i6 @7 |9 J" H, [8 }' i* f7 X
% R5 B1 V* m" \
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
) Y" Z% I. S7 H1 C这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
+ v' ^3 [' k$ e. S. c1 L) {至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
& Y' g, L' A. ]3 W. U8 i- Q) r7 \6 J+ ^& y  A5 s% d) I
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ' S8 t% z% f" }4 ]0 K
下面就要来说说“量化”了~~( l$ r6 m% C2 S% s( t  H3 h
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

) }2 V9 z3 V1 G! ]6 T  o  D所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 4 G7 Y- S7 m7 ~, [5 q7 t+ G5 ~4 |5 A
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
$ C; G0 Y4 K2 |6 K9 q
这个我有个模模糊糊想到的问题。9 N# x8 A, M+ G* p2 o
) T# B) L. T% m( v3 u
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
) v5 V& c* d( }: a
9 _9 u. w1 k1 Y- S! Y7 ~" x这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 - b: E" _" y8 y" a
这个我有个模模糊糊想到的问题。
, ~; v; e- X/ `* f$ W+ y: T4 e3 S
2 _; b& ^5 V5 j0 c# }1 l( p比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

/ |' E: B( W- Y8 ^/ Y) t万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
( M' o: ^+ Y2 B6 w4 Q4 a& C/ l- k
& _! K/ _5 e% ]! ]0 C9 `: P多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
% U# @, v* b$ s; J4 I; z下面就要来说说“量化”了~~
6 W/ x" c7 m$ s8 N5 x6 t对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

5 N. M6 @" L0 f0 |Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
& D, b6 h+ T  b6 [$ t
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
) a) y( U% ~, u/ Y! c这个我有个模模糊糊想到的问题。0 e  h3 N& [  m( [4 N1 n
7 p7 j' O: X: O/ ]* {+ N; ^# u
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

* D- W' y5 J( l# M4 l1 p. [/ m3 U6 c( X9 ^( G3 u' c( a: H5 I
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
, g1 S6 w7 o+ M/ |! r' C8 m
8 m% y. }: l1 ~: O5 k1 i( L金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。0 z9 A9 z$ f0 h9 X5 A

% \* l) x' ~7 m% n3 b金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。: E* w6 e% W! A5 C7 c+ U

* y) ?! }- U. C3 |



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