爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 , w: `+ |  E7 \8 R. f: Z9 E% ^

8 Y2 u' X9 v+ O经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。+ s- q. h- q: \$ {% k0 W0 \
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
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- F2 o, s0 f7 K# Q, _/ i不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
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+ @  u) R5 }9 Q% c% `5 J9 x一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。' D8 y  c$ U( {) f' K1 \

; B  l/ b& |. E% z6 u这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
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- Y9 Q* |# @, i+ r# A所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。  ?0 A4 _. q+ a$ [( W" D  A
' H, q0 Z" E3 K% F$ X' K
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 0 V3 T& g, n* n
8 K* O/ Z  h" L! m  \5 o# p
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
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经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵* O: {6 u! y8 u; ?" U

' c6 p3 Y& ~, Y  j: ?理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系% a# b2 h( z0 N8 B' z

5 ~9 N  V6 O/ v: l* ]  P6 p外行人瞎说的，别当真
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
  O* T/ g. H8 P$ W" c这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
( i' `( I& t: [# g
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。. O8 s. r7 d. D( ]6 }
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
/ D% S- v9 v& j你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？9 y% Y  ]* g+ ~7 @. W1 z
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 1 [7 Z. e: w9 H6 z0 ]/ A
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。& `9 i( [4 z8 s* _+ M: F7 B( r
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
4 ]/ v; y# q: |8 U2 A! ]你的意思是marginal ...

% u) Z1 s! E( N6 F# o就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
1 ]0 r9 O) u; B! K  ^# ]% ?9 t+ A" s/ p. \( b9 l0 Y* O" v
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 * M- Q7 h8 q4 v( h/ t- b
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱" ^: U2 r1 W7 A- n

- ~. q6 ?2 e/ ~0 E2 h4 N' _7 K0 W经济学又有点像理论物理 ...
, r( {8 T* u  K  R% I/ j3 A
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。3 a" r6 J' d1 l$ I
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 " F4 p% a; A$ z; e
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
; t& [9 D. X: m( m7 n' W; |. s( K' p( `- _/ W; J! F
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
5 z; a4 |/ K- Q6 O
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
9 \- f( J4 P1 H# J+ R- t因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
1 f/ i* T) X9 c& P: G几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
& T& V4 c3 p6 n
# o' P7 I6 V1 @; p6 W
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 $ _3 z! t) Z/ W3 R4 ]! l
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 M0 w0 _: m6 R/ _, k) f5 t4 q) e* d) X

7 a0 K6 q' H( P- L) B5 E: n% h这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

# K4 |, w4 b5 p: H. ?5 P% K' t. o/ M" t你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
3 P6 }% Q7 L! {$ x5 d' |
( g' H, x5 D. ~0 `http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory* X; i! l9 f1 @
# z( C: h: D# s; m7 B- s: P
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
3 w) P, F8 a* n/ H
3 w$ ^) s. G8 j& H+ X8 _
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
) n- i% |' ]- M经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱" A- g  _1 w' j9 X
( ^6 I* a& s7 P8 l  D; p1 ^  N
经济学又有点像理论物理 ...
, V1 {; X  K" P1 N6 q
经济学还能挣钱的。. v  y2 \, T* J& b" A

& t4 V& ~1 X; T, m1 M( D! @; V1 k1 D
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
& Z* q$ h  B/ G  t对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
  j; W* X% t4 [7 s术语上来讲，叫calibration。& [' }  o+ j0 }: @
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
' [6 H, i) m1 T% r, l% a  s9 P
. j' p( O5 G1 ^( d1 j0 ~, ]上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。2 `  D& R% d. B9 h- p
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
4 i% M0 A* x: v! ^' G: D——计量的方法。/ O/ [( S) U5 p

+ B0 x4 }7 c' o计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。0 ?8 z' g" Q8 |$ f" ~

" d+ r) {( H# {) R, X下面我提几个问题，
* u5 H5 w/ z# r2 Q7 y1 |2 s比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
6 o# z* h4 s+ b3 z再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响! _; H/ R! O3 S! {) S! @
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？( g+ C/ n2 O, u
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
9 I7 I+ P- V4 I. j术语上叫做regression。
! W+ ^8 t1 ^- S1 U$ h; a而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。7 Z, ^1 ^8 L' L) e) i8 N' U  _* s# ^
  r8 t( i; n, N; p3 I; [5 H
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
  P" P& o0 [0 \! T% C4 w4 f8 H' Y0 b0 G每个观测到的数据之间是否是独立的。+ d; \) ], n9 q* p1 v
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。  J; J0 t0 @6 D- ?" W& v
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）" ?* c& t/ w) X9 \4 Q) I) c
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
+ ?+ `/ j# |- h. U0 K, x. E) W* z8 S# y" I8 z: a6 f0 |, Q( O7 t% [  _
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
+ x0 ~2 ^' ]- [这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，& f- r& m! t# R0 h, W
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。: ~9 m  w, O& H9 t1 b/ ^
" Z3 U6 J  F  [3 @- l4 H- q
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32   a3 W$ x! R+ b7 I9 ^( R
下面就要来说说“量化”了~~  t( q% q& K/ E5 d4 L
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
- B, X  M9 J& g1 ]
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ; r6 b( D5 a! I+ S8 I4 s" i, C
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
! [- |0 Y' s& T/ G' o+ s( w/ {6 w
这个我有个模模糊糊想到的问题。2 ~/ L% w3 C$ {, D+ t9 m

2 A* k- h7 D) J4 ~! R比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。; ^2 w8 T- U0 Y+ |

" f5 C5 s) j, J8 `这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
2 H' ?- e* ^2 F7 O5 \这个我有个模模糊糊想到的问题。- a, K" Y( s5 x8 }
3 ~# S& P+ ?$ `7 I  T5 e
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
+ D- v8 H5 `' X% c% Q2 B
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。. l2 b& h7 }) u7 O! s' c
2 c: |; ^% C( H& Y* z# @& T
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
2 B3 c" x1 t6 X下面就要来说说“量化”了~~
$ _" ]: C1 ~& Y! K; J& E7 D  m对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

* s* x) J5 X! i$ T! YCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 : _, ^) S: y3 z" F! j
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
" V" j/ `- n+ J; z这个我有个模模糊糊想到的问题。
: E; e6 F& H6 q4 m9 L
0 S6 O4 p! o! l0 Z5 R比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
3 |# w% p" v3 I3 y9 [" B

% o; \) t3 r0 ^( }3 ?由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。& f4 h- j  C1 E6 A
* ~  q7 N' u7 R6 q: O
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
) Y3 v( E* o+ d/ x- z
1 [* o( x* r) t- Z7 k/ I金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。; c3 d% S/ f$ s

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