爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
/ _1 ~: T' R/ I7 J' L7 ^
2 J0 X4 n" R" B& P) c' X7 m经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。! i8 Q9 d! z5 h% }& G
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
! B) V6 B# m. _( x4 I! p" Y
% P. S* m( y) D1 o  i/ c) t不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。& a# B$ A3 _+ S3 f- J/ z

: `0 u2 u! h* B: O一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
: G) R" h' U) v& p; }/ Q5 v# F
& u" q# t, l. q; v3 ~' C% H这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）4 d' O8 ?8 z, d" C/ c6 R

4 r- i) r) c3 o" i3 n所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
: t# W' T1 A8 B- s0 \1 p: O, y( a6 u4 ^0 R( ]
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？5 m: {# ~: \* I# }- b, W+ H
( R; I& Q* i4 e, @
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
/ \$ q# t. o  w' \5 z
& T/ \( \# H- b7 `  Y1 T  h, s( @
1 ?$ ?* O3 q: O7 U! u量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 # o& i* ?$ b! F1 H( g
# x' v4 G% F' Y  c; E3 t6 b8 h
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
; Z. |" c) O- v+ R* H" b1 I+ P" g- `/ C! U; O5 Z8 f/ r1 q' r
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵% _) \) ]2 k* b' X5 q; x" S
5 b# a3 N1 I( s
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
" _4 g# a  [2 f( @! k& \
+ M3 r: v$ q+ ^; d外行人瞎说的，别当真* r+ Z7 |# A: u, h9 X  r, M0 E" Y
4 q% J9 n/ p$ ~9 A% x9 P$ a, S

  {$ U1 M' Q0 q, C% ~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
. _% N9 s" @/ o. z这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
  }6 A2 }, j6 Y. o2 h
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
7 Q$ f( n! e7 h& |! H效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
0 @; V3 U/ _. j+ M3 F6 z3 e. m你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
+ U, ?! s1 p8 Q( n只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44   h$ d8 `8 J5 }" M0 l. E- W
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
+ m$ U- g. g# n* O# j; ]效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~9 L2 ]5 \1 I0 r% S
你的意思是marginal ...

3 g  q3 \/ F6 d4 r+ g- Y; _" g7 r! c就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。* Y9 Q/ n7 C/ ?0 ^4 L

, k  C- |1 M2 e" n1 T这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 . ~7 O- o: @. e6 [3 Y. V
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- D/ A- ]) ?. ~" f/ f! Y) }# s. I$ |, ~6 P6 ^9 C! z. c
经济学又有点像理论物理 ...

, m4 W* p) ~+ f- X, ?8 v' n" m嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。/ _, Q) b: t% b: D% G7 P4 M4 N
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 6 |! r( Z1 c* u) ?! F3 x0 D9 S: u
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
  `  E0 |: A. R0 S" y9 X) l& n; ^' w% `9 ~, H, c3 k! t
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

# S2 l7 q# V5 U7 x9 d3 l几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
) c/ V" s) J) `) F& v2 P. m* T因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
, @1 L; E% R7 Y3 _$ n# o3 Z, Z( Y几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
4 O: P) r$ ~  J6 i6 s6 C. L

7 z3 h" A) R7 w; F0 `所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 / m. a2 z. f8 X# C  n9 I
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
4 x, d4 R) E4 R" n- v
( D8 L( y# h+ ]0 j7 [  e' D. q这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

5 e: L) s, A' I  R7 k) n/ h你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。1 k- J# F! }9 [+ n% ?7 L) v
/ g3 J, T; n+ `& p2 U( m, j
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
' u' ]9 S) p( [  d+ s% [) _& ?9 ]8 i. Y3 G0 J
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。1 O4 ^: H5 f6 v$ Q" g/ Z) e! q

% d* b& V& r+ r. w; S2 n3 W
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 9 @2 O! p# b) O9 G6 M; J
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 ^4 F& u/ p8 y5 R0 X( c4 i/ h1 O

3 `4 R( I" l! _8 t1 u9 X2 `经济学又有点像理论物理 ...

3 [& q7 b, l$ ]  N0 D6 l经济学还能挣钱的。& ?, ^' P/ c5 k' W
6 h/ X" s0 _. ~
3 b& z/ I) J& N/ V! E
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
, F# ?/ w" x) k- J! M对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
. _5 d& p0 {7 Z6 q1 Y! D" X: ~1 D术语上来讲，叫calibration。
6 {, J6 R$ C) Q# O3 b) T& d怎么找呢？基本上就是来match empirical data。' Z0 l, L3 `5 Y+ ^& f
2 e/ |1 H8 l: `1 y5 Z' t
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。9 ?7 s) r! G5 N0 D* ?" t
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。$ O8 }8 g. n% v, U: R5 D9 f
——计量的方法。
; n! D) i+ u& v  H) s0 i$ n4 t' Y
' ?% ~, A/ [4 v! E) k计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
  E9 G) T/ a/ O: E# }  h+ U+ U; I2 N  e, W, N: ~
下面我提几个问题，
* ^0 `' H* _( R3 ?  E比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？4 @* ~# |; I* i( m% i
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
6 H$ O7 S4 K& r/ m, Q' c$ a& [1 h再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？( x2 x/ h) u8 W6 L  l
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。4 S) @2 [6 f. _5 k
术语上叫做regression。0 v; t3 U  a; s" a: p) I
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。3 g$ g3 R2 Z& l! D8 A2 T/ t! X0 s
  n1 U* p4 z+ a0 O2 E
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
, _# b, a+ Z& m. \& n1 s! b6 }每个观测到的数据之间是否是独立的。
" n3 W& S6 @& ^0 y3 T2 Z& A比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
& r5 m5 W6 h7 l7 N# s, C这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）% {2 e- y( P; m9 H; p! w- R
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
  r: u/ z1 C/ G" e; @0 ^
! {, a% x% [, j' [于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
7 F) ?# K" p! d! j# u' W2 `这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
! ^( R- m5 O8 y9 S7 s至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
# v7 `* e! @  h. S5 g$ d! J2 M# g$ A; C1 _1 u! v! ?
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
5 M' I- E9 ?3 \# I" i3 c8 L/ ]+ u. V$ V下面就要来说说“量化”了~~
- g7 r' u  _$ c. W* C1 C3 ]) ^9 a对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

# E5 H2 q# w9 T7 N. [6 y所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 6 Z3 V3 Z6 h# ^+ `) s
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

- x/ I/ q. b7 i. b" p* k" p5 J这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ z) V: K  A( p' N- A, t1 v& L) M$ V- _) u6 d
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
  d- @" S$ ~9 k# U) I
, C' n! N1 x' I这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 5 P! G8 Z7 L, K, _9 N
这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ F, o  p9 ^. s2 C8 u7 ~0 j+ b/ y) p" ]0 K+ a- b
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

9 W% S! o! j" z6 g( s$ |+ ]万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。0 g0 L, V4 \" T. a  ^: V0 k
3 V$ A6 i8 M% \3 X  F% E, \
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 , o$ }+ a# M, D5 |" l6 I, ]
下面就要来说说“量化”了~~: h3 x3 _! l7 h- @- b
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

1 |& c) o1 X. k' @2 l! w! ^Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
5 K  M2 Y0 d1 j% q/ ^
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
! {  n9 O$ q3 X! U+ I/ d, X' v这个我有个模模糊糊想到的问题。
( I* |6 w3 K$ n" F( [( B! {$ e* Y2 }! z
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

: @6 X0 |* }3 _, o8 R2 J* y8 {* |* q: g$ f* W6 C3 I
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
  K- o  ]6 u- B5 _4 P4 z& K* Z& N* C& g- Y
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。/ t' n, H9 o3 E0 C6 a3 E* S

3 a5 z3 U# Z+ O% _9 m# E9 Q金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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