爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 , y1 _% _) @! A4 C5 t% O( {

# M' p+ \/ `# d. X( _经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。6 r- b6 E, c2 M. ^5 b  P- R
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
+ t& P3 k9 j& \) J
! ~6 k! p; q% `" y* U) E* K不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。1 w$ B' I2 S% J* m+ J+ ^. D
0 g6 i9 s) X/ @" R+ Z, p0 K
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
9 i6 G( ^! M: S7 b- D* T1 Q' L1 l4 q& D/ f5 K2 _, Q; }
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
. {$ U& Z2 r$ X2 t( [4 H* ]  E. I7 @% W/ E) _
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
- H; @+ p) }$ X3 }' T8 a+ P' c! a$ W6 t- X% }4 b3 o! ^" u  ]
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
. r, n: r4 _2 _) M+ T" z; J* r& k. a4 h
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。- _5 a6 |/ _& a7 Z2 z
+ W$ Z; @( e' P7 X# S4 [. ]

7 A* u) ^% i% K0 j8 o7 ?量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 , P0 |8 F4 \! M7 e5 _  U

' V4 f( i' d9 w, _* t+ U经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
% h" `' \+ N/ C6 ~' x  [  M% n! D- l" _" e6 N. \% j! C1 w$ R* h
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵- k: {; x! M  x7 h+ K( r
0 S' v1 [$ D2 S6 ]  t+ `% Q
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系! s$ H: K( n# Y0 ~

" @' Y# z" h2 K' @: v, j: r& o外行人瞎说的，别当真
: C8 Q( T3 d8 u, \' _% {3 r1 g7 t, J! T6 ~
7 E$ F4 y5 f( i
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
0 Y( U5 U: a! z$ O这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
6 P) j% b1 R) a: n3 T7 m
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。- W7 I3 L$ D, o3 @8 n# H
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
; Y) X% Q. D+ Z; u3 t你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？8 O" X2 Z& D/ {, m2 \8 |5 r6 ~
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 0 z' _% R: V3 |: c- [6 o: k9 Y2 p' ^4 G+ i
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。8 ~8 b' |5 z0 d' c4 A. {' N
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
9 q) y* ~# E' M* T0 ?你的意思是marginal ...
3 w  B5 T$ |& Y) t( \
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
* J0 R- n) F, q9 T$ Z- X$ A# h' A0 }- o3 I, S; S, N
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 & @0 z; {' J0 N1 M% N' D  L1 f
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
2 I1 g  C$ ^; @& [% L6 n3 q/ W+ N
经济学又有点像理论物理 ...
8 O# F2 T5 V5 T4 }0 {' y2 M
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
3 j8 L* c- \8 m' D5 Z不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
, O) }0 D0 e" A, ]/ {; W. B' E6 Z7 e就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。- U9 i' I* R2 H

. d& C. O# q+ V5 E- q$ d" ~+ H这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
* x" [& c$ R4 H
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
8 i# X  |; d0 n/ U因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 & s1 G) @$ ~, K. H+ E9 b' h0 f
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

2 d) G, C: n' Z" p% L4 N) ~9 a; n7 O0 a
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 / d! C) k6 B/ Q# C# \
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。$ V: C$ R% ~3 F7 ?1 f

% c% _% W' w6 v这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
0 ^/ E8 v6 M5 ]
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
6 ]0 e/ L$ u/ S- p
5 M$ |9 ^6 q0 b5 j7 whttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
! u0 v3 J4 X2 n! f% p4 Y6 G3 \2 o7 J+ ~6 g( k2 N. C9 q
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
, @3 k' `% Z2 S& U2 [
0 d8 u- s5 G$ y# }. ]" @# A
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 1 t' n' u( r7 ?' v9 X
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
4 C! g+ V9 I' W; A$ t
. o. B' U7 @0 F/ R经济学又有点像理论物理 ...

- R# W7 B4 R( B) |. h1 K' M经济学还能挣钱的。( ^  [, L6 b3 B- Z

; F- @! D- N& Y5 t  K$ ?; v/ ~, ]4 m- A/ @4 n+ h1 G, N/ j
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~9 g. |/ `' I7 V3 F# I" F# ?
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
- i6 u3 ?. W! ]& Z) }" C  h术语上来讲，叫calibration。# ^' n4 G; G* A' {
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。8 P) l' H' ^  a" _

( W3 b  N: T5 M/ w上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。; H% K. [9 c4 @  X* w
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。/ j3 B5 }% K. Q- G) R( T. y1 S! g) n4 }
——计量的方法。7 F6 Z4 ^: q3 J5 g0 T
8 {7 e" K4 L4 `6 f
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。: D& b% J4 H# h1 Z: o0 d
  G- t6 c) `: l$ o9 ?
下面我提几个问题，
4 N/ B9 X3 i- k5 @4 k; W& R8 v& X比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？) r& r% Q1 p9 h# ~5 |4 o$ P
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响: E. z# ^4 [5 ]* m# I  {+ H+ c7 E
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？, t  ?5 Y% u4 ~5 U& x2 @6 s' H
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
3 D- t3 U/ Z6 J0 X+ }术语上叫做regression。
' i1 ]+ s: l, N5 |; g! f& `" K而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。  k- S8 p" \, u3 {2 C5 k  K. _
5 |5 ^' T# [/ `+ t
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。/ \5 \, g+ V& `) U: x; \
每个观测到的数据之间是否是独立的。* k6 }/ @& j" h' n0 I
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。6 ~; C6 g& w8 _. h
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）8 ~% _) a1 i3 ?8 R# X$ S: p4 \
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
  \! d/ ^, ^. p3 d) F' f$ i
& i2 m- t& U3 B" ^于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。' O8 T7 V# M7 Z& A4 t( [0 o9 h
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，3 Z3 a- ]% M! }0 g1 i5 _4 n' y$ a
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
7 _2 C) S& A7 b7 u) R8 }" x: Z6 D  {! S. E& }7 X* T/ L. a- h# m
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 9 r/ k$ G: j% L1 `% M' V+ O
下面就要来说说“量化”了~~
- J2 }( l4 s( a  j- X  k2 y对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

; X% i  z* F- v4 k+ ~所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 4 X4 B" n3 b. _+ d' V2 i
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

" r$ P- p* W' p9 c  v1 Y4 x这个我有个模模糊糊想到的问题。
/ G! e! q8 u/ r4 n' ~& w) Z0 R$ ^2 @* O
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。, x- B; v5 i4 W" |
  z- ]& k7 {! q+ V( {8 M, _
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
( I) J# b. V0 o/ L; W这个我有个模模糊糊想到的问题。# I0 w$ N4 f% s% j
. G  a8 f; i& n
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

% P, r- L& K% a9 k  G万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
# q1 ?4 P4 Z, c7 \7 D1 P
, @$ ^* X: ^5 \7 A) T' I3 H. U8 S多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 . H1 W# H% M$ b: T. p, m
下面就要来说说“量化”了~~
- |. D6 r: `, v% e7 G6 H! c. ^  s对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

& Y" {$ @& m. n$ t8 d! U; |Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 * }0 u( u5 C" w8 _# b
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 " S4 D3 x& j# q% ~" ^( J% _& w7 a) m$ V
这个我有个模模糊糊想到的问题。4 ~# Z6 Y) M9 A/ S4 u
% F2 Y0 ~& h* q8 i/ n- U6 j# _$ }
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

1 _& O/ x( b* n3 ?' ]
# R5 s: e  m# p+ C# @由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。% L7 B5 p, z- c$ q! k
9 H) H; G+ T( ?6 _' [- [$ A
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
# p) k+ \* H; K+ J- h1 m& [# n
; @  ?) a# c' l) O金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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