爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
# x- i$ J# ]! f% t4 ?5 m5 u. D
7 \/ l/ m7 h8 k1 B& G4 R  n经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。  n; X! I& T+ Q1 v% j
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
2 g( q! }6 ~  n  A# m' y5 G
2 y1 l% ]' R0 H不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。# F" K8 V9 |- N. w4 c
- d/ n) a, Y$ d8 G. D! I
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
: X" k. @/ g: E; s4 e2 P  h; y1 L/ {% Y- s6 T
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）& i' |/ H' ?! x0 o  r6 q1 }

0 F5 _) H& j$ C4 W( `所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
  p/ L0 K' y+ |0 A4 y8 D. @8 b+ o9 a5 q' h+ g% V
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？. m- C2 L# q  l" E
3 R( A) X+ k8 Q- {3 b0 X+ D# `9 h
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。) c( g$ Q5 h/ w  n$ o8 p" I

$ j' B5 D( K7 g9 n
, X1 R! _9 t5 t0 Z量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 ! m( P- \. A" ?" F$ U; G: ~: V3 V

1 a& b2 ?5 E; i0 e" o5 I9 m4 n经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- P, y+ e) [5 i* Y' K! _4 A. h2 f! B. A' i9 t) f" ^- y* c" z
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵4 ?8 Y& B4 c3 Q7 P9 Q
( V6 Z; Z7 h  s* d% ]* `% C6 Q/ R
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
4 d5 r- `; W" f7 F7 c
% J7 i3 z9 m2 ^9 u1 g外行人瞎说的，别当真
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+ I# p# ]& F  L
, @3 f, O# v: U+ b' d" ^
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 & n9 z6 \2 W) b' O
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
! }) B! e* P. f, i
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
5 S3 d; {: U0 m, q' s; u6 h效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
& t# U8 m  y4 L9 b+ Y3 l  S# w% Y你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
* I$ k3 a/ @: X% E. Y/ d只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
5 a* w+ I1 b! |) v4 \收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
( J5 {& i1 D, ^& \效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~$ q8 p0 L# ?. Y
你的意思是marginal ...

; w8 k6 v: H. [! a6 _1 w% }$ Q就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
8 n1 w& s8 g  F8 I  `" m4 s$ j8 R9 n
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
0 W% r1 ]' W2 G( k% v, N( y5 u( D) ?经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱4 z; t& G0 ~* K

$ j; ^" r" J! v( Z' j经济学又有点像理论物理 ...

3 v. E0 _8 E$ K0 r/ F- D6 F% G, ]嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。, l/ \$ ^' b+ s0 Q8 c) H
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 $ s  x9 ]+ M0 Z3 L& R
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。( r- T" W3 h* q/ ~6 N

- H$ j' w* ^2 t3 V6 r9 M这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

+ j$ s5 ?0 n1 P" s几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。" q4 g/ w# F' c; ]9 @3 j5 H
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
: }7 B9 H( K; |4 N* j' l- c几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

* P) g! t4 g( g1 w! V2 ?9 V, E1 i2 F. x) ^  J! z3 h
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
8 I8 B" o2 v$ r' J, A就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。, [: P7 r& X0 B" `' j

0 t3 g% J* `* H2 E' R这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
6 ?6 N4 t4 F. D( K7 K
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
6 n3 I" |6 ^6 l0 S" F9 t7 }. S3 s; e- |. K( N; Q) H& y
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory* A/ T  q5 o+ I5 L7 }. l
4 F( k, x' P6 z; r2 s7 A
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
; _! k1 k8 s8 _9 ~$ [! s7 D0 N
9 k! M6 q/ B! u& d% z8 o) ~! y
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
, X+ K0 Y4 x* E7 x# y& A经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
( y+ ]9 |9 G$ m( K( N" x4 e" {6 k0 a0 ?2 J# A
经济学又有点像理论物理 ...

% k9 m# T9 a: }/ T3 U; D$ A经济学还能挣钱的。4 M, R' M7 w- V4 J
+ i8 j, O* R9 l  \$ W+ J
% V. x# d0 `- V; ?
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
# |9 w! s; N; v; J4 P对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。' ~* W# Z: }3 R  Q
术语上来讲，叫calibration。
5 b( p/ ^/ b( _* [3 R怎么找呢？基本上就是来match empirical data。. T) J3 |$ s' |9 Y% q
0 t" O1 }% J- i
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
) O/ N/ X% d$ D: Y那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。1 E* N+ A3 H& m+ Q
——计量的方法。: q$ B2 y) G& j! N  B$ f/ r

) x& [4 {/ g) |& W计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。( d7 G- I& [, }. a: B' k6 }6 b
4 i' |: t7 J- ~6 R
下面我提几个问题，7 r- Y- E) k/ U9 P
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
! _' n) H. o6 K8 \再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
1 l. {: T# V+ H6 `5 f" l再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
$ H. ]( i+ V( @8 \' e  w这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。  a1 t1 E( A" Y% Q/ a% Q4 y
术语上叫做regression。
% P1 c1 h9 j9 j+ y/ o而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。! a( E1 }, R4 D; s0 Y
; t# k  C* h8 T' N( p
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。2 J7 Z; c& Z3 Y( w0 w, d- W% I
每个观测到的数据之间是否是独立的。* x1 e' H+ c! I0 m; m
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
1 R( t9 f8 `! G& v这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
( F! W; z# ?$ z7 _" Z( |: Y- |这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
+ ]' Z7 k, Z3 x+ I( t7 A3 k
6 q; w# U# ^, v9 r6 b) D1 @于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
  N$ y2 l5 A1 Q) h9 i+ u/ e这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
- s- {. O% H) x$ @, r至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
2 V" o- A3 }  z* N+ U) N8 o6 K  g! a+ n- g
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 0 q5 I4 e% B! g- O
下面就要来说说“量化”了~~
& U# T9 f) T% w" `8 v: D( T对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

  a/ t9 L* p; ]: ^所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ; L( E; i4 G6 u3 [  a3 p& g
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

# m  y1 M: P" T; [# h, [0 ~这个我有个模模糊糊想到的问题。
2 B( q; i: }" W; d) B9 a  `" K# C% i: v" J1 v% K9 X- H/ @" ]
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。1 d% z) T8 W' {6 U5 _+ E, Z
. w% S6 J# E. D* I5 w
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
! g0 Z) Z4 \' I5 A: F这个我有个模模糊糊想到的问题。
9 k/ K8 a& y& X% H9 m* Y2 D- G% C( n% E, Q$ `
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
' z5 n, V& H5 V; j7 @2 Z: z/ L  T
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。9 {! R9 J& H- U: a
; o- [5 D6 d1 R8 Y; j' c7 J/ _% U
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 5 K4 f1 s' P" I- e9 Q* m! E
下面就要来说说“量化”了~~( y' P7 ?2 e# j) v
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
0 }+ R' t5 X% d! [  N: @
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
2 o* a( V7 [& u) Q) b/ @  i
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
( B+ p2 k/ O" S) @: A6 }这个我有个模模糊糊想到的问题。
: c. t2 m3 }2 w# x' o" ?5 l
& h8 ?) i: L& C+ f& G8 C比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
9 L# f7 d2 z, b4 S5 p4 q9 q

9 U& ~5 Q2 V) T, a9 d! h由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。5 X1 l, z. k- R. ~' R4 H. W

# j8 D' h1 X4 f& ^2 d- ?金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。( O7 q  G4 w- ?4 R( @1 N. x! D& t
5 C9 s! ~$ d. X. k' S/ o+ T( X8 C
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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