爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
6 }8 d; k! u7 {! _; i6 @" c& z3 p7 }, ~
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。1 Z  ^3 S2 n0 T) @
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。: N' Y, P3 C3 v: m4 I* D
; i) t  O$ L( C7 K8 L6 k" T4 V' o* ?$ D
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
9 h+ B1 O  g' J" R' W0 V0 \5 N9 P; @0 a! y" M, Z, z1 v. d" ?- ]
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。2 d. E7 }5 I. x8 F( x

8 Z! l$ T  U7 r7 z$ f这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）! x; u2 Q) B. h$ k, v

9 V0 n: R) b0 Z0 b6 R: h7 \7 o+ U所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。3 k( `$ o3 `8 O% f& t2 u4 V: W# \& D
* W- O7 s2 m9 E; z( N/ a
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
% E1 S& S+ R. ^: \) l8 h/ ?7 X
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
6 V( Q& K8 g2 S8 v. t; Z6 r
* P' l" w5 R7 }. b. T" C& [0 |" X. p8 l$ J
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 ' A2 _4 ]$ R4 Y' x- N
3 t0 y: r/ Y9 d" z
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱5 t0 q# U$ J: `% K

; v+ Y& y* }/ I. o经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
+ {+ r; j3 O( e7 X$ c& G: _$ e+ W" F9 F8 t1 |
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系: |( q$ C1 n9 V: Y: v" b8 l
# \# j4 M7 _; _7 n$ _( a5 J  n5 p+ E
外行人瞎说的，别当真7 T! k/ W& n! N' e/ w( R' l  Y8 ~
! ]4 j- _# Z. ~" L9 ?% y# p* V

# E! i9 T. P( x+ k; k
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
" C1 v& y8 ]/ ?, Z这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
! N2 ?% f) N2 M  b# R" }
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。7 {6 y" c( U6 _5 V4 r+ f3 x
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~: s' `2 u' f8 A6 d( N
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
# F. J2 L* q7 o$ ]! y* i8 ~8 u只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 $ G0 o- `7 _3 G8 C
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。, D, _$ n+ y9 i* x
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
+ Q" T$ P, U4 N) D你的意思是marginal ...
8 h# b- y5 y- ]9 y2 _$ [8 b4 p
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
% w$ H7 c' E, V6 K" C" c, X
$ |6 \0 O% N8 r3 K0 k( s& E这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
4 X2 w* o2 C4 j, Q经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱) H4 s+ N  O- h* U5 A$ ?2 e

2 @4 n$ O0 T: y+ j' ]  _经济学又有点像理论物理 ...

' \& q& A" R! `$ ^嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
9 R9 v& ]% z, _3 H/ u不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
9 m& V8 w9 X* S! a' S2 i就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
$ n9 ]* b) o6 a. g. |3 x3 {
' a: M! g6 |8 h0 D  @9 i: L这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
: A  p. K3 \% ?- g5 [
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。4 y- H, {- ?6 i% U8 `3 A' F9 Y
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 2 g# H2 b' m$ J
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

2 x7 i5 y9 [' I2 a6 ?1 a5 B; p6 U6 y
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 9 a: _8 W, B1 C  j# m8 G" N
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
- C* N- L* h. v1 Z7 r+ Q) B3 c
6 O, R* n7 A5 ]0 Z+ R这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
8 h% R- x' @8 }' A
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。4 J  N- F; \5 K: c" t
+ {* P( |# r- f. ?( U' F$ z
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory8 g, z3 B2 p) N" l
0 @* j' R) q9 H5 U
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。2 L% k' }7 B: U2 C$ }
( P( m7 W; c( f1 H0 Z( \' v8 O
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
: N' c/ g! \' I# H6 O1 {& K% L经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱) _: X2 }; n, Y5 E% c. c# z
# s4 t4 i+ O7 n7 W0 {1 A
经济学又有点像理论物理 ...

" l" W; J1 P4 _5 A. u  w经济学还能挣钱的。0 `/ J0 d+ L3 C9 I4 p: l  {# D
; M# F! u/ Z8 R
( A8 |) I! k, f! l
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~2 U/ L& Q; }* a: K% t
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
( C* n" N8 G  g# O术语上来讲，叫calibration。/ ~) m: `% {9 E: ~
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
7 Y9 j2 i$ c2 }, q* O; _
( C2 M% f3 i+ Q& R上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
5 `0 c$ Z* J; E- z. ]那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。; ]2 Q+ U# m. K7 I
——计量的方法。$ \4 r6 [6 B% d3 j4 w) R" k5 @

% c6 _" z/ h' A$ I. X/ B' e计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
. _& z1 A; f5 X9 m6 n
: T; e5 B5 l' y; V' j) {0 e- C; I! M下面我提几个问题，* T8 F, K; ^9 o: u% v( I( I, L
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
1 I) T# u* G, F$ |再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
" X9 q3 N' _$ ~再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
/ m2 n( t# i8 {; }# Q" k7 j& j这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
9 @6 _' I4 E6 R9 F% j7 m术语上叫做regression。
7 y; j+ v$ N+ T2 h& ?& B而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。4 }; M8 A5 l' S4 `
4 p: ?- @% D' ?0 p1 r1 N( D, T
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。0 p& Q" T( b2 ]. G, M9 X
每个观测到的数据之间是否是独立的。& N( O* o4 {4 {( K  f# F
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
6 ?; K! J& v8 G3 C- }这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
0 H( Z+ {) w3 g, D  X  Z% b% e; G: m这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
5 K! {' R% K, ~
7 C) j) N3 L  w! s& ]) c7 @7 V于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。! O9 J/ E- \. s+ i5 T( H" U
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，3 b" R+ A) J! ~* O7 l# x8 {
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。# N  n2 x) ~1 y( r8 t! ]
: _' y0 Y, S  T" f" G" ?8 @% K
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 4 r" y- h! Y8 N, s0 G9 ~* O
下面就要来说说“量化”了~~
) z& T% d% Y* O1 _对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

% F/ ~5 x# ^. [5 g0 ~3 l+ u所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
# K4 u: C7 U8 e4 U9 g( {; r8 H1 J- y效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
3 Y" I& y: j+ T: D
这个我有个模模糊糊想到的问题。
. t/ K( `! |( _" q/ t% w. x: @
" g, p2 f0 Z9 V2 y比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
( m  ?, E' b% z0 T
0 l. y2 H) Z0 z- v% e1 m/ X这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 - D3 D! j, P. n0 ~+ g( Y$ [4 x
这个我有个模模糊糊想到的问题。' \6 @1 @8 Q8 l
0 K0 P' [4 [% ~; s+ n& [
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

4 Y" v2 u4 L, X+ F, u* s. f+ m' }/ a万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。* t3 }7 @' F  s% ?+ ~1 s3 V' o
: [7 T% T; Z) ]/ v  ]
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 " q/ n0 N3 c0 u; V0 Z) F
下面就要来说说“量化”了~~- W$ \0 \! |7 ^6 E( n
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
& E' i4 x! f- x
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 9 W1 [+ \& X# q* A+ h0 h
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ( p& ~. N/ O* p9 k: E5 @5 a
这个我有个模模糊糊想到的问题。( |- K3 J+ e0 `6 {5 C$ s  W: v
! s5 Y' k( a1 W- t
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
9 I: W% a4 d6 s: T" ^3 y8 G
  H% x+ S4 X1 k2 e" w% r
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
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金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
$ f6 v+ I3 v3 n: j! t+ s% V) G7 I; q4 d& w% W2 D3 s
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。- G4 e0 I2 a) d; Q

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