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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 4 J. [2 P/ B, ?5 C& [; n
9 F2 p( L- L* _
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
+ p9 g' n0 I0 d. n; F4 r9 B  k$ ^. m& Q3 X2 ]/ ?
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。. r) M% R% s/ I8 {' h

; w# f3 p/ o; I) E# s电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
4 G/ y2 c7 G( T
% K* Z4 ?/ C$ I% }6 S! c9 G: A  M% Q0 N4 s
0 o/ r( w9 ], C  o
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
: j3 y) y  y/ b3 m9 `/ |5 V& @, u- F- J, _8 o% F

3 g& X3 M& H* s* _' Y) J9 O$ d1 [+ B- h" X; L
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
; ?4 O) H3 o9 ]0 L0 r" z) H0 f+ [$ c8 {! F
. H: F1 M: e+ t4 _/ W* m* k, w

; v- p# `' A/ H9 j2 @, W数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。+ b: @$ J8 G# _) @9 c

. s9 f( ?. A" K; L3 V; t0 u+ Z! f1 e6 a( K9 G1 U

) q2 h; p) Z7 v6 Z* q9 I' f/ b傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
! i% Z+ I( @' B* P
4 d6 r4 N+ e9 l. k" `* W拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
# I; t# r5 s8 _* a8 [9 Y# Q1 {& i
! `" b- `! S5 i1 i7 L6 ~; P: |  M! M/ a. U) M# J1 t/ b

. s4 k( S0 F9 K- K指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
! d7 R2 G" C, I; X* H. X5 G: C# [0 i) U8 \! `/ v8 o2 K
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
, X; a4 P% [& d& }, N5 `以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05. F" |& u  G$ w7 R
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
4 [6 W( B$ h9 A
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
. }$ U! o; g4 P5 s. ]( O又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

3 ^( L1 e! T' U( D! Q: u) p+ e& G5 H对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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