爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换

! K" d; q9 }1 t& T
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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2 _8 D$ B* q! y8 L' n+ B. ~" ^众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
; w! u( Z' ]5 H, d8 C
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
3 C# y7 t- `" i

. d  t8 c# v6 \; C2 B
( O3 Y' O+ u! h3 L. f6 s$ {3 C' f翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

  Z0 C& b2 u- Q9 V8 }6 U+ b7 p, O
; d$ g0 W2 D/ A7 M+ {! ?8 M
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
, Q, i" ]& Z0 w" f* k, O5 i: p
$ F- s( C4 F: T

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

7 I7 b" F- _3 J. i. I- L1 P
* I, s9 b9 k3 A3 Q1 i4 Z
9 D: z1 P1 e- a4 m% x6 o, b傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

/ Y3 G& `9 V9 l; J6 E
+ M1 R& w, B+ I- e3 y
) B. |# m6 x8 }$ A指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

4 R- ~7 ^0 W. }, ]1 M% u; ?1 j有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
& m+ Z- U2 a: ~" x以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

' p) \8 M& \3 |对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
+ |# m3 K8 v7 b) `6 m9 w又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

1 n8 P' a- W" Y2 x+ ~2 O6 N对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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