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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
7 t7 }( _. {$ ^/ |# b. J: m" C: P
; Q( N1 c1 Y: K) e最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
5 d. n0 |) P5 E+ @8 q; u  R* e  w/ i: P) h
众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。0 Y' y1 e% M7 c6 ?) C# S
$ F% \9 [" x; v9 c  f2 x
电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?6 F! @2 o+ m" I' A+ v) d9 J
5 R2 c4 \( d  `3 F( z

4 c0 m7 ~# I6 d) f/ `! [7 e$ z; Z7 i
翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
& }0 ^% u2 E' U* w0 h7 P0 n. e. y* x5 i( i0 J% U5 h9 L* \

1 ?7 w) p$ N3 y* _/ n* q
; k: G/ P. F# E( b% ^$ J7 a不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法0 \4 C( B& |2 Y3 P
1 F7 C8 j/ F: Y9 w7 M
2 a& b* D) `* N/ z2 J

' r) _, W) k5 o+ w8 r1 x6 v8 ^数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。! W, Y6 |. d% m' f# j

5 U9 s' N, B. Z3 d4 d, K
$ ]! l7 X/ O- O- i2 f
% k$ i7 e  b. T! Y傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?, V2 V# M$ H7 ]' N( K6 d6 U( v
$ |% s4 E& W3 ~
拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。. Q6 \: M* B5 s5 ?' V

/ G, t! ^. M$ q1 B" C: J/ m( s  ^+ M: _* e2 E

; x! e( D) J3 R' g9 ~& m5 w指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
. R& ~2 Z! I6 U+ a# G) V8 J) J
5 ^/ E" P# y" [有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来, ]( A4 l4 y( ?* A, @3 o9 s" ?. s
以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
: t8 J3 [/ O/ \, s% l5 u$ _高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
: ], b0 `4 X' V( N- i' I
对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
4 u, n# t2 J% W( C' {" ]- s/ y" O4 ^又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
3 b, I( m: s9 c$ L
对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积




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