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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
) x! R- ]' J5 t  ~  {& ]
' ]* i( f" [' r最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
: A# R- K2 A. F. {9 ^9 V9 N' Y1 |# V0 M
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
) c) r% @% a1 x6 n: E% S* z' w8 T1 B* l7 x$ S
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？' W; @* c/ Q" e. x6 A2 R) d5 I5 J

2 F; x5 F4 }- D. f) ]7 O$ b: y8 P
; Y5 Z' U6 L$ ?1 b: T0 U
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：+ c$ a4 n0 ]- ]1 [
/ x! r* M# U( Y$ m/ ?1 r4 c

4 q; u/ n( v' u& P3 i/ A* W$ J0 q+ b8 A& j+ e: ~% k! Z; E
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法  t7 r; ?7 r0 J8 B( w) Y

# f/ N8 g+ a8 |/ u1 y) e- r9 H8 k) U9 h' e4 m- N- ^* B3 @7 O. y
  L5 V" S, ~+ {  `1 Z! I# G4 `+ Y
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
- t6 L! X0 L: V9 E6 P  T( l+ i, r; s
3 q& o( c4 A1 v
* }) T# c, I: Y0 ^/ V  ]& f) S; c0 @( @* t' I
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
  M% D4 K9 N; P8 P3 `  M8 }- Y
$ |4 b- Q  a- u: V0 {  w拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
) C' F* u% B( L8 j' b- h8 t5 M! u* X5 g: [0 i1 x" f
8 R+ N. \- d. a6 A4 b
5 h- M- G% T7 {6 P* o
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。2 ~7 H7 n( q% y, v% i1 ^  b3 {
: B; ]1 e9 W7 k* |# |% J* f5 w
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来7 j5 |$ ^: {& Z  x
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
, {- N0 F! D6 @" ^1 R% a1 [+ u2 S高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
5 h, }! a: F# H" t' r, ~8 I3 ^
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
/ \; W$ A0 d( a3 E: q又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

/ O& X% ?8 @3 [+ w, ?# b对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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