爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
$ l5 ~* `* M5 W3 A1 b& O' z" d  n; M
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
& n, I( z: I5 \0 y0 t# H$ s6 u/ r( g/ l/ y/ l
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
; h' c) j' ^9 Q  Z( f8 o' @* T+ u: e
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
" p) S4 G: F* T) v
5 p- i( w) ?1 {/ p- P
0 M5 K4 c: ^( S. d
9 H* @; \* M6 E+ d2 q翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
7 A% d$ D( o8 m% s- B: v1 y. {& B. C; `: X3 O) Y* T  f
! d. {9 i4 P7 j" D/ x' _

1 c# N% N* A0 l, X不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
$ s7 [& |1 q# w1 l# o6 s+ z/ @+ A& H) A' e* Z. j

2 F$ D4 Z6 Z. B4 l; H( J# n  B0 ^4 a$ C! _" i$ ^- R# n
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。* E& |7 X9 _1 Z  u# P

; h, X" K! ^0 D' u- z
  W, v. C2 {( [" B7 U9 T6 t' w
: P8 A! X2 {( h* c6 [) F傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
' J+ s7 g6 [  U% J- ?$ g. L+ p: q2 ^' u7 Z
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。% t' _$ \  Y: r* A. Z; j! M
0 n0 C3 a: f% Y5 e

& u/ s3 @, J# |5 z7 o8 E7 L) h& i/ e# m* Z3 o7 `5 y
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。: h' j2 i) m6 k2 E9 O  R
% s  b9 F# J! Q5 S: Z" m; g+ x
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
! J$ W; v- R. ]6 a以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
/ [$ z" Z" X! J# B5 \7 Z: r高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

: Z  }& X; N" q" K% j/ p对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
& a5 u7 _' }; c4 @/ R. u9 w又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

! S) a* X  l1 M对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



欢迎光临 爱吱声 (http://aswetalk.net/bbs/) Powered by Discuz! X3.2