爱吱声

标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换

7 r' ~( X, h, [/ F- o# F
, n+ Q8 q: T9 @3 y最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

& B$ _; m* y0 h) o众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
8 q: A4 D+ s8 e! X
7 L  N; |' [) l# _电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
# o3 X! }2 v- H! Y! K) @" s. \


/ a& Z% N- F5 w9 R" d不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
" B. R4 o- N/ O: i
7 c& B6 s7 {: }& k' @- K
1 i5 w) W9 L' H; B1 m7 ~1 q7 U( X
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

1 ^3 P0 J" ^& a+ p  [3 d& u% c6 o5 C
' N/ a' y0 M0 ]$ K, d, y$ M2 c
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
' ~  n2 z2 |6 H9 j4 C- }- Q  ?
4 I; t5 Z. N) R) w
3 A; z$ F- t- R- B$ B; l# a' V
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

& I) \; a. a; t2 @# J$ o% p$ s$ q2 Z有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

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作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
8 k8 i& [3 }) c5 V4 W8 u5 V7 ~以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
9 J) j2 j7 c1 D: ~7 L( o) L: m高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

3 V: H+ q$ J4 g. S对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

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作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

( ]" y+ F6 `4 W7 H: R  @. v对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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