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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 . B& S( i: R1 {+ l2 V
- D! d! {. S( S& r5 }3 ^
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。7 e0 H& Y$ U9 N
: V' Q# ^; d( H
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
5 C+ F  q1 v  g  o7 J$ B  y  K8 e9 y9 M0 o
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？# j. |  c9 Q- {" j: `0 O- z; y

) [" k, Y: A% a. u
# d! C' d$ ^0 R' u) p3 K7 D4 X+ o
* r7 \& |4 u) }& Y+ ]翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：, M  C+ `* K7 A0 ?
, P. \0 Q5 h3 T5 g9 S7 G/ I

/ @# x  V8 S* z9 }% P. j$ G5 A1 ~, s8 r- r! |8 t
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法% ], ?9 l/ w" c; v

) q% X6 w! k$ t. |- x4 v0 Q: B9 d$ z( Z, C& }. m2 V
/ d2 E8 i- g/ E3 A
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。- x& \) w0 h" W) Z0 L0 z

7 r* S+ _* `% {  J5 h2 q* E$ O. f2 L) T
  E; U) Q, z8 @
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？/ `: R/ b, ~6 |; W$ {! j  K0 F
+ u+ @/ k8 m5 u  {, R& }5 z  V
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。; q; ^% ]. J4 f& i3 @6 M( M

1 P; X; S) O+ `3 \1 N$ W# O
0 ]2 i8 ^7 |5 I% \* }
2 D& _- E. Z4 H6 B7 T: f6 ]* V指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。" ^' v# g4 ?# n  i' q
& m% o3 ~8 @; H2 G" q: O( b. a
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
' t3 y) [' ^# L以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05  B! d7 N9 a: T" o* `! s4 v
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
6 x! X# V6 R. U+ S# z( @; \. P
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
1 w9 i% e: N( T: H: M, Z0 I又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
5 |5 @% z3 P6 T2 c5 h# v, q  Q
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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