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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
* l8 I) l- B2 a) J, T" W5 f& l5 O" k. W7 K/ A
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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. J( r. F$ _$ I电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？8 p3 ]$ S7 T8 V8 h% \
7 w5 q+ `. s; `0 c0 w5 m/ \; w

. Q2 u9 J  K- _- f4 w6 u* E& p& A$ g$ ^6 }; u, }  m
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：2 D. I4 H9 a4 }3 v* I2 |' @

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不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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2 h2 z4 z6 U( }  ~0 Z8 t
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数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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7 `* A2 {/ o( }0 }$ e+ q% d/ o# v) z5 f( r. f. f- q
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傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？# l3 d  V% _9 ?& @+ _8 ?8 @
  M0 o6 W  y1 [* ?* Q
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
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指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。6 Z3 W9 j: K! X5 ~" U
: q/ I+ O3 A7 l, ?: b- J
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来( q  D8 C  m2 A1 J9 q
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:059 U) [% X# }- `
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
& L4 r8 z1 N; p
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
! b" N( \0 |- y& \, d又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

, `0 h" l% |' \对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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