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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 . k: t6 x. C7 l, g0 L+ D

6 n; ?+ V$ ?3 k7 k& L" [最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
9 C8 M4 C7 t5 w' H+ |  v& t/ y; W
2 S: n& X! \! l& j1 N  p0 a. {众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
, G. D/ U/ }- P
/ }: @/ x# T/ a电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
4 ~5 G# w9 Z# `: n
, P' o0 N& m( J% ]- V6 i1 U8 [! n, ?

! t4 J  F  S( r6 x3 @3 c翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
7 d: N7 V$ N" o, A6 V
* l' R; r$ m5 h9 p. w! C5 M2 z

- Q3 S% M; ~1 g7 U7 F不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
+ j3 s& |: h, ], Q% i: A& Y8 ~5 X
  ?8 b2 q3 g0 c- U% J5 }# B  R) x1 U4 X9 j: o1 ]; ?# D

7 o6 {$ d2 a* S# j9 E0 p% Q数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。* s- Q" r4 V9 Y" M

3 L- V# \; ^9 G
# D0 D" C7 w3 G
. I" I! Z1 t; n0 P7 x傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？# H7 m- q7 `  y2 ?' h- y, ]! s$ i
. Q! c- z6 Q" x
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。. B8 ?& L5 V! U) L$ O8 M" q% t9 v

/ I$ D- }/ j+ P9 H5 Y: L, \, W% k- v1 I1 t9 J
: q8 T7 ~+ {0 l8 k# a6 \. q
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。  Y! D5 u/ u+ k3 t/ g
+ I  o* ^' r' n4 d, b( F
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来+ U( i( x, P' }- e: B
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
7 f% P4 x) o/ o- W高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

( s7 V" \. `' F对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
5 L' z$ V9 o7 U4 p; X又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

- G$ C& i. P2 r9 v5 \对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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