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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ( M& U$ E& b' c- u
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最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。, p" y6 S! \1 v: |$ X* v9 f
! g: R3 R3 x. I5 y
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。5 |8 c  _  f9 c" j$ Y) @
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电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？* f/ a* v5 H7 {- W& p( I8 i
0 ~7 J/ u- Y$ `$ t7 b) _7 x- @' L

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# ~, F& Z" h9 ]2 G# `+ b翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：4 |: }* B* o* f2 R

( y: ^) B+ W- K# V4 R) n! g4 _

! _/ S* ~; I7 N* u4 v$ L不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法1 @8 q! h" W' [5 F, t

7 H" l, J, Q5 r" v) h. S1 N- j1 A$ f& v$ [4 l6 q' w9 D& U

! ?( f1 k( s. Q" b( O) [数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。( _6 q# }, U; x$ i. r

" f# _0 y  T$ E$ ~4 v" _9 G" s5 D- M. g5 \

' O0 b& X6 P6 l  a6 d+ T傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
, k# J' u+ {$ p
3 X. e; L9 p- }9 Q1 `, I拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。6 l9 i- o) c- B

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: O% m. ]5 ?* R' J3 ]. S4 U! Y4 H指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。1 x& S3 V; M, R$ W1 r

7 C; l9 @- |8 x3 [$ d有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
" u3 ]. U& Z: O4 p以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
& {. N: [4 f1 b! g5 j( g高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

$ v( c9 k6 }1 `# ]. A: s% I7 c* i) p对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
: [- R: ]5 o" P! t. P又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
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对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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