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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 2 q2 `7 L$ Y5 ]3 b, S5 j3 r2 e

4 J( Y* ^* j. j4 q+ Q最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
; p0 r& u& I) s3 ?
6 D8 I5 ~7 `( S众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
$ [# V' n; P( A0 `: ~5 l( b, f$ p. n. N6 H& `' Z
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？8 @  ?  R6 R" T, t$ I. A2 Y
' {# |2 Q$ D# Y0 [, X0 E
0 _5 t) C) N1 m1 I3 u

, y! F1 ~4 S, F. C. ~$ N翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
) A" o; Y2 J! a: D
, \6 t' E8 a4 v1 |
& [4 r" }2 t* q  L# v% s/ ?( f! ~3 Z3 t: h
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法6 |# [5 K( ?( ^( Y3 M! V- u, K

( O7 n4 }( g  }! K0 Y! p
# Z7 o! o- x' h( X& t9 O3 k- R3 `' U0 ]* E) P
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
! O5 z, c4 z& c4 w
" j" Q; T" y0 X- j  S, E& }! t' `
8 `2 Q% O" G/ H" b! P5 v" E+ y3 C. v' o
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？0 o  m; {9 i$ D/ a: v& V. g

4 h4 @+ z" D  w3 g拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
7 m9 r5 `9 V2 ?  [* G# o& z* w1 ~! h7 ]
! k# i2 i  S, l' X3 C9 }( t6 [9 P" l

& R# E9 u; X/ j5 ~# F0 j2 Z+ Y2 ^指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。. g. h7 U& C1 {7 j, A/ M0 a; _

: s) i" m4 M. J4 P3 V2 f9 x6 N有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来! ]/ Z2 m' O) w
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
4 Y8 L$ W0 G5 O/ P( I, J高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

* Y) s& i2 ]' h" u3 N对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40  `( d0 e# B8 v/ X
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
$ z2 v& R. R4 [; t/ {
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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