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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
5 h; i2 o( s2 O0 F8 G/ V4 W& T4 [8 O, G2 j
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
2 h1 b+ d  q! M
1 w) y3 W8 Q4 D3 e众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。+ k- N* N! |+ c9 W+ Z& j
! p& M3 M0 K: W4 R5 S
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
- F& |3 U4 z$ U2 k7 A! g8 p) \+ ~; k! }8 {" k6 q) {6 s
; g7 B* Q( l: M# W

3 _& j8 r- K& ^8 S$ g2 A( R7 c翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：6 z2 B6 B) _$ X8 T% R, p0 m3 u( @# ?
) @' ~# p* \+ [8 y3 d

" Y7 m8 U9 I$ ]2 H4 G
9 A$ S, G( l- ]" l( Y& m不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法. D8 H+ J/ @" o7 S2 u4 j6 O6 k

, [! i/ I# e, [. q* n" L9 G5 i- f: K. h: T4 q6 N

, G! K$ C( N9 s; R数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
( i+ n' B. P9 F' `1 i# L2 n8 g3 y4 I
) I& {' e; q0 Y$ R6 ]

- b) C  `# Q# ~# r  c, M; F% w傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？! |% m  q0 s$ N! U" _

: G0 \) w! e4 @( l, O拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。1 R  B/ f7 x  X7 a$ Q/ P* t+ {$ K+ f

( L8 m, J3 H" W, o
; F' C$ }6 v) ~. I+ S
. j" A; k- c- Q& C指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
* [$ l+ H+ g) N; x0 v, y; h# m9 z* @- v
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来7 l2 g- r2 D( c2 M
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:057 h" ~+ ]; S: G1 Q' S
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
9 }( V% u" }. g6 u, v- ^
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:403 C* ~& t) U+ O& \; m
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
+ X5 M4 ?; i! [5 D
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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