爱吱声

标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


% w$ o& w" o- p( z  W5 E其实是个概率问题。
9 l( N" K# R6 q6 v; |那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
" j  @- F# e3 H* m4 u问题就是这个人的表述
( ^: [: r# b" o0 \" H* xhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ U: B2 E3 h: x3 @6 f6 I
5 W2 |( }: _( Z- a: o* j9 ~" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

% Z6 [7 X8 r" E! |- k! j没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

4 D0 _5 x3 m$ @6 a老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

---

作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

; S; H6 C7 p4 g6 U
您对答案的理解似乎有误。
' `" o- r' c& {, x& d随机变量X是测试过的元素的数目
. {% j' d; |  x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
1 q- E  c) D) g/ r2 o$ q' o0 O+ X" k所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
6 k- \- V6 ], D# b而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

---

作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
" A  F2 w6 K9 B2 ]( x
" J: [  N% ?3 v5 {0 H- ^, TE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
+ B1 S! r+ ~9 }; u, [; Z* g% H( ^
然后从头开始：
E(k|k)=1
% M1 F, M- n5 e# \* M8 g/ YE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ s) }3 [) D! V' \) WE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
, @- l! p% q: g7 G2 v- V+ UFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
6 E/ j' [2 t# G8 D% i0 E随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

- j8 ]+ G3 s7 z) h5 n6 g明白了。
* r$ F/ A( \# Y+ e是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

---

作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
1 T' _/ [/ s3 v& q这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 ]# |, Z9 ]) y
5 Q2 r# c4 ]- f1 ~, e递归法也是可以的。

---

作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

* ^$ [; S3 Q3 Z8 ?其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

---

作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

. B, X7 B' h/ c% t; s

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
" e# Q# a/ @3 o2 M4 x( e所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

---

作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
& x% n: U  o. }: l7 X) ~! l
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

  R" b; S5 r2 i' B. cFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
/ R+ a6 S% [2 |4 Z1 I# ?  |
- R% O9 |5 g9 ~' o, X9 `2 |* [There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

, {+ K) O+ |0 T% `4 P7 Z" r- {8 T理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

---

欢迎光临 爱吱声 (http://aswetalk.net/bbs/)

Powered by Discuz! X3.2