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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题

: K( q# b2 i6 c, A
其实是个概率问题。
5 q! a8 B) G$ a3 z- H$ v那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
  J% g$ Y+ P2 N4 b0 _$ N/ ~; g在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
/ p' a, ], f( [问题就是这个人的表述
8 ]0 m. ?* j* a5 t2 \5 \3 A5 vhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
) H. O7 X" r6 v% e; c5 ?
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
* u# w0 K% h; I8 {# s0 L
" r2 I5 E% V( h" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
, ?, X4 b: S4 ?
9 v3 C$ a0 a. g8 y$ I1 r没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
8 E  E, i1 f- N/ ^3 W) m  d( E0 k- t
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

& e& T7 d% D4 S9 M
  `* X- v2 [5 @0 b您对答案的理解似乎有误。
1 G5 K: h" p3 ]1 ?" E4 @随机变量X是测试过的元素的数目
+ y3 i8 z6 c' a0 M9 ~+ h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
8 U6 h' q4 z) W, X! w而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 K) T! c. j" t您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
' D6 n6 l5 J5 b0 M4 m9 r& d
然后从头开始：
9 t/ x! g" p3 e0 y+ |E(k|k)=1
' @1 J8 M6 p3 H3 T  UE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* {/ j. O* m1 d: t1 z! r8 ]E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
* a: M1 ^6 ~8 n7 N" V+ a
/ u% v7 v) T3 _5 O, c% j9 l原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 ]: W6 w+ ?) `7 N4 k+ y+ B" z7 b您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

) H9 J- U! Q, k( \4 @9 `9 j明白了。
! Q2 ?( T; A7 e% ]" t是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
- t* }; p- A- X( |! c/ }. k* b这个题目可以用递归的方法解决：

- S+ K" r5 x% g4 YE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, L2 Q& V' I' X/ Z; I) s$ V& u
+ z9 r6 i8 n7 [5 w1 l递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

5 u5 z9 ]: n1 s$ k9 L其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

& C2 I7 w0 x7 m: w5 ^+ g

老福 发表于 2022-3-26 12:01
  W" K8 |$ Z/ \9 R% a其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
/ c9 B8 k5 E  l1 E* p# j6 r* z1 h
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
& J9 T7 F5 G2 t3 B$ I( u9 n. [' K所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

) l; ?2 G+ E/ Z0 g- k1 |: e7 `For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

6 v" G; p* v# PFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
# P; w2 G$ o1 Y' D
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
& t  w: S+ e# m  U( w, P1 R
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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