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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


其实是个概率问题。
, d' x8 a3 g, l9 X+ h: t那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

$ s4 |; f3 n) p4 p1 y( Q, c" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& b, |. R. M4 Q  i% R" b
( S1 S( V. S+ }1 a老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32


; z  E% q+ q5 n; W6 ]8 P+ I您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
, u0 S3 q3 ?. ?% j7 V* _7 X所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
3 Q, y9 F8 `: o8 V  M$ j
$ O8 p# y! v5 o7 B$ M& ^E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
- B% B/ n" `: E* B
9 F- i! Y" o4 k; z然后从头开始：
; @7 Z: `/ K  b+ q3 F; ~. ?0 y! |E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
3 g. h9 R% P% ^1 m' Z$ f4 s( `9 \E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

/ n: B$ l: p0 T( i) m, h4 c原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
: E7 {: z3 z5 O7 F1 [4 |) d而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

+ [8 P$ Z. B& y" g" Y明白了。
) K, I0 n) ^! `- D是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
5 s9 `* E! u9 D4 Z1 j
+ \+ ?5 k1 h4 }. V- z8 V2 qE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- b, l, ]/ k- w. q" l3 o
. [; @3 E$ \9 D4 e1 b递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
7 N) n/ E5 E, k' o5 K* \2 p递归法也是可以的。

9 K/ p( s% U5 M; d* n9 G+ L/ _其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

老福 发表于 2022-3-26 12:01
# l: a2 w3 O7 f% T) V# Q0 W其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

: r1 k3 ^% s0 d  u
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
8 Y, @) M2 }1 X* u- V& |8 ]. C
; @5 E/ p: A& F* j: YLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
* J8 {# T6 t. j% g
1 N- x' h6 C5 e& Z& [. U8 RFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
) E. Q1 e# _( N( j4 ~5 F8 a
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
4 A) s- E% G/ N5 [, H
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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